Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Menschen am gleichen Tag Geburtstag haben?

Geburtstag zu haben ist schön. Wenn zwei Menschen am gleichen Tag Geburtstag feiern können, ist es noch schöner. Denn wir glauben, dies sei ein ganz seltenes Ereignis. Ist es aber nicht. Das Geburtstagsparadox besagt, dass es sich schon ab 23 Personen lohnt, darauf zu wetten, dass zwei von ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben. Und bei 40 Personen können Sie fast sicher sein, dass Sie die Wette gewinnen!

Natürlich nicht hundertprozentig sicher. Es kann sein, dass von 40 Menschen alle an verschiedenen Tagen des Jahres Geburtstag haben. Erst bei 367 Personen sind Sie absolut sicher, dass zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Das ist im Gegensatz zum Geburtstagsparadoxon allerdings nicht überraschend.

Um die Aussage des Geburtstagsparadoxons einzusehen, stellen wir uns eine gewisse Anzahl von Menschen vor. Um zu berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass zwei von ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben, kann man auch das genaue Gegenteil ausrechnen, nämlich wie wahrscheinlich es ist, dass alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben. Das geht nämlich viel einfacher.

Die erste Person hat an irgendeinem Tag des Jahres Geburtstag. Die zweite könnte auch an diesem Tag Geburtstag haben, aber mit sehr großer Wahrscheinlichkeit, nämlich in 364/365 aller Fälle, hat die zweite Person nicht am gleichen Tag Geburtstag (wir lassen hier das Sonderphänomen des Schaltjahres weg). Die dritte Person hat in 363/365 aller Fälle nicht mit einer der ersten beiden am gleichen Tag Geburtstag. Die Wahrscheinlichkeit, dass drei Personen nicht am gleichen Tag Geburtstag haben, ist also 364/365 mal 363/365. Und so geht es weiter. Bei 23 Personen muss man die Zahlen 364/365 bis 343/365 miteinander multiplizieren. Wenn man das macht, kommt eine Zahl heraus, die ein bisschen kleiner als 0,5 ist.

Das heißt, die Gegenwahrscheinlichkeit, dass irgendwelche zwei dieser Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern können, ist größer als 0,5.

Übrigens: Bei 40 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, schon fast 90 %!

Dies ist ein allgemeines Phänomen: Wenn man viele voneinander unabhängige Versuche macht, erscheint überraschend bald eine erste Koinzidenz.

Sie können das beim Würfeln beobachten: Wenn Sie mit einem Würfel immer wieder würfeln, wird sehr bald eine Zahl das zweite Mal fallen: Dass bei vier Würfen auch vier unterschiedliche Zahlen fallen, hat nämlich nur eine Wahrscheinlichkeit von % mal V mal V6, und das ist nur knapp 0,28. Dies bedeutet, dass in über 72 % aller Fälle bei vier Würfen zwei gleiche Zahlen vorkommen.

 
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