Einleitung

Anlässlich des zehnten Geburtstags seiner Schwester klappt Malte nacheinander jeden Finger seiner Hand aus und zählt dabei mit angestrengtem Gesicht bis zehn. Danach zeigt er simultan vier Finger seiner linken Hand ähnlich wie im nebenstehenden Bild und sagt: „Und ich bin vier“.

Kai löst im Rahmen des Mathematikunterrichts die Aufgabe 1810 = indem er zunächst die schwarz gefärbten Punkte auf einem Zwanzigerpunktfeld einzeln nachzählt, dann beginnend mit dem „achtzehnten“ Punkt zehn Punkte abzählt, jeden einzelnen mit dem Bleistift tippt und als der auf dem „neunten“ Punkt „landet“ das Ergebnis mit neun bestimmt.

Beide Kinder zählen und zeigen, doch würden die Kompetenzen der Kinder unterschiedlich beschrieben werden. Während es sich um ein altersentsprechendes Vorgehen handelt, wenn sich ein Kind im Kindergartenalter eine Menge von zehn zählend erschließen kann, wird von einem Grundschulkind erwartet, zehn Punkte in einem Zwanzigerpunktfeld quasi-simultan zu erfassen und sich die Aufgabe 18 – 10 = z. B. durch Abdecken der oberen Punktereihe darzustellen und die Aufgabe nicht-zählend zu lösen. Bei der Verwendung von Zählstrategien spielen das Alter sowie Häufigkeit und Art und Weise des Verwendens zählender Prozesse eine Rolle. Zählen ist einerseits ein entwicklungsgemäßer Zugang zur Mathematik, andererseits weist verfestigtes zählendes Rechnen auf grundlegende Schwierigkeiten beim Mathematiklernen hin.

Die allmähliche Ablösung vom zählenden Rechnen stellt einen entscheidenden Schritt für ein langfristig erfolgreiches Mathematiklernen dar. Allerdings reicht es in der Regel nicht aus, Kinder lediglich dazu aufzufordern, nicht mehr zu zählen oder ihre Finger nicht weiter zum Zählen zu nutzen. Die Kinder müssen alternative Strategien zum Zählen (in Einerschritten) aufbauen, welche auf einem fundierten Verständnis von Zahlen und Operationen fußen sowie die Beziehungen zwischen diesen in den Blick nehmen. Kai kann die Aufgabe 18 – 10 = nur dann mit einer alternativen Strategie zum Abzählen von Einzelelementen lösen, wenn er die Zahl 18 einerseits als zerlegbar in Teilmengen und diese Teile-Ganzes-Beziehung andererseits im Hinblick auf die Operation „Subtraktion“ deuten kann also: 18 – 10 = (10 + 8) – 10 = 8 + (10 – 10) = 8 oder 18 – 10 = (10 + 8) – (8 + 2) = 10 + (8 – 8) – 2 = 10 – 2 = 8. Wie das Beispiel zeigt, ist nicht-zählendendes Rechnen untrennbar verbunden mit dem Nutzen mathematischer Beziehungen, hier dem Zerlegen von Zahlen und dem (zunächst impliziten) Nutzen von Rechengesetzen.

Um sich somit vom zählenden Rechnen zu lösen, ist es notwendig mathematische Strukturen zu erkennen – Kinder müssen eine struktur-fokussierende Sicht auf die mathematischen Zeichen einnehmen. Dies ist nicht weiter verwunderlich, gelten doch Muster und Strukturen als Wesen der Mathematik (Wittmann & Müller, 2008). Doch was sind bei der Ablösung vom zählenden Rechnen die entscheidenden Muster und Strukturen und wie können Kinder angeregt werden, diese in den Blick zu nehmen?

Blickt man auf Malte und Kai, so scheint Malte ein Bild zur Zahl „vier“ verfügbar zu haben. Doch kann er dieses Fingerbild in Relation zu anderen Fingerbildern deuten? Inwieweit sieht er, dass ein Finger weniger gestreckt ist als bei der vollen Hand mit fünf Fingern? Ist ihm deutlich, dass vier Finger auch als zweimal zwei Finger interpretiert werden können? Dies ist im Alter von vier Jahren noch nicht zu erwarten, aber zu Schulbeginn sind das entscheidende Fragen, die einen Umgang mit Anschauungsmitteln prägen sollten.

Kai scheint hingegen die Punkte im Zwanzigerpunktfeld als Einzelelemente wahrzunehmen, ohne die dem Feld zugrunde liegende Struktur zu nutzen. Er gliedert die Anzahl nicht in Teilmengen, die er quasi-simultan erfassen kann. Sowohl zur Bestimmung der Anzahl als auch zur Ausführung der Operation nutzt Kai das Zählen. Zählen scheint somit für ihn einerseits Mittel zur Bestimmung von Anzahlen und andererseits die beim Rechnen präferierte Vorgehensweise zu sein. Auf dem Weg zur Ausbildung alternativer Strategien könnte für Kai ein erster Schritt sein, die Zahl 18 in der Struktur des Zwanzigerfeldes zu deuten und zu erkennen, dass die Anzahl von 18 Punkten in zehn und acht Punkte zerlegt werden kann (auch hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten). Zudem muss die Operation Subtraktion als Handlung erfahren und dargestellt werden, um so eine einseitige Interpretation als Rückwärtszählen in Einerschritten abzulösen.

 
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