Abrufen

Von Abrufen einer Lösung spricht man, wenn die Lösung ohne Zähloder Rechenprozess sofort aus dem Gedächtnis „abgerufen“ werden kann. Dieser Faktenabruf ist das Ergebnis eines Automatisierungsprozesses (Carpenter & Moser, 1984, S. 185). Als Aufgaben, deren Ergebnisse durch die elementaren Operationen Zählen und Verdoppelten gewonnen werden können, gelten Aufgaben des Typen a + 1 und a + a (Müller & Wittmann, 1984). Diese elementaren Aufgaben scheinen von Kinder schnell automatisiert werden zu können. In einer Untersuchung mit Kindern zu Schulbeginn zeigt Gaidoschik (2010, S. 328), dass das Abrufen als Lösungsstrategie am häufigsten bei Verdopplungsaufgaben zu beobachten war.

Ableiten

Beim Ableiten von Aufgaben aus Lösungssätzen, die abgerufen werden, müssen die Kinder die Beziehungen zwischen den Aufgaben erkennen und nutzen. Wie Oehl (1935, S. 341) analysiert, bedeutet dies, dass „zwei Beziehungen gleichzeitig zu beachten sind (die bekannte und die neue Zahlbeziehung) und ihr Zueinander festzustellen [ist].“ Wird z. B. das Ergebnis 11 der Aufgabe 5+6 aus der Aufgabe 5+5=10 abgeleitet, muss die Zahl 6 als 5+1 "gesehen" werden. Die bekannte Beziehung ist somit die Teile-Ganzes-Beziehung von 6=5+1 und die neue Beziehung ist die assoziative 5+(5+1)= (5+5)+1= 10+1. Oehl geht dabei davon aus, dass die Kinder diese Beziehung nicht aufgrund von logischen Schlussfolgerungen sehen – auch nicht, wenn die Erläuterung nach dem Lösen der Aufgabe diesen Charakter hat, „sondern was das Kind dazu tut, ist lediglich ein Konzentrieren auf die gestellte Aufgabe, ein Vorstellen des Bezirks der Zahlenreihe, in dem die Operation auszuführen ist“ (Oehl, 1935, S.341). Dabei nähmen die Kinder eine Vorstellung wie „4…9…“ und „4.. 8, 9“ vor um die Aufgaben 4+5 aus der „festen Beziehung“ 4+4 abzuleiten (Oehl, 1935, S. 341). Gemäß Oehl handelt es sich beim Ableiten also nicht (zwangsläufig) um eine bewusste Nutzung der Teile-Ganzes-Beziehung, sondern um eine intuitive Nutzung der angenommene Bedeutsamkeit des Zählens und die Vorstellung der mentalen Zahlenreihe (Lorenz, 1992).

Andere Autoren gehen von einer bewussten Ableitung gemäß des Assoziativgesetzes aus (Wittmann, 2011). Rechtsteiner-Merz (2014) spricht von analytischem Vorgehen, Gaidoschik von „klarer Einsicht in operative Zusammenhänge“ (2010, S. 426). Nachbaraufgaben werden also bewusst genutzt. Die Aufgabe a + b wird über die Aufgabe a + (b – 1) bzw. (a – 1) + b oder über a + (b + 1) bzw. (a + 1) + b gelöst. Möglich ist auch die Konstanz der Summe für das Ableiten auszunutzen, also Aufgaben der Form a+b auf Aufgaben (a + 1) + (b – 1) bzw. (a – 1) + (b + 1) zurückzuführen. Werden, wie in der Untersuchung von Schmidt und Weiser (1982), kommutative Aufgaben direkt nacheinander berechnet, kann die bereits gelöste Aufgabe genutzt werden, um das Ergebnis der Tauschaufgabe zu bestimmen.

Subtraktionsaufgaben können ebenfalls auf Nachbaraufgaben zurückgeführt werden. Hier ist die Besonderheit, dass sich die Veränderung des Subtrahenden gegensinnig auf die Differenz auswirkt (z. B. a – [b + 1] = [a – b] – 1), während die Veränderung des Minuenden eine gleichsinnige Veränderung der Differenz zur Folge hat (z. B. [a + 1] – b = [a – b] + 1). Ableiten von (Nachbar-) Aufgaben kann analog zur Addition wieder intuitiv oder bewusst geschehen. Subtraktionsaufgaben können zudem durch die umkehrende Addition gelöst werden (Oehl, 1935; Gaidoschik, 2010), d.h. die Aufgabe a – b = c wird auf die Aufgabe b + c = a oder kommutativ auf c + b = a zurückgeführt. Dazu müssen die Kinder die Addition als Umkehrung der Subtraktion erkannt haben und im Sinne des Teile-Ganzes-Konzepts das entsprechende Zahlentrippel abrufen.

Insgesamt ist beim Ableiten die Frage, wie bewusst Kinder die Beziehung, also die Struktur, zwischen den Aufgaben erkennen und nutzen. Möglicherweise gibt es einen Unterschied in der Entwicklung zwischen einem eher intuitiven Sehen einer Beziehung und einem bewussten Nutzen derselben. Hierin spiegelt sich möglicherweise ein ähnliches Spannungsfeld wie in der Interpretation des Zahlensinns als „gute Intuition von Zahlen und ihrer Beziehungen“ oder der „erlernten Fähigkeit eines flexiblen Umgangs mit Zahlen“ (Rechtsteiner-Merz, 2014, S. 97) wider.

Zusammenfassend können folgende vier Hauptstrategien bei der Lösung von Additionsund Subtraktionsaufgaben unterschieden werden: "Alles zählen", "Weiterzählen", "Abrufen" und "Ableiten". Es wird davon ausgegangen, dass sie in der beschriebenen Reihenfolge von Kindern erworben bzw. gezeigt werden.

 
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