Operationsvorstellungen

Neben Zahlvorstellungen benötigen Kinder tragfähige Vorstellungen der Operationen, um das Zählen bzw. Weiterund Zurückzählen zu Gunsten von Faktenabruf und Ableiten aufgeben zu können. Beide Fakten nutzenden Strategien erfordern eine Vorstellung von Addition und Subtraktion als Veränderung von Mengen. In der fachdidaktischen Überzeugung wird das Ergebnis einer Aufgabe nicht dann automatisiert, indem diese möglichst oft (zählend) gelöst wird, sondern es wird davon ausgegangen, dass Kinder „aus konkreten Darstellungen oder Handlungen an geeigneten Veranschaulichungsmitteln gedankliche Repräsentationen von Zahlen, Operationen und Strategien entwickeln“ (Wartha 2011, S. 10). Dabei muss sich die Aufmerksamkeit des Kindes auf die Veränderung der Mengen richten. Nur durch eine mentale Konstruktion wird eine Beziehung zwischen den mathematischen Aspekten (z. B. Anzahlen) zu Beginn und zum Ende einer Handlung im Sinne einer Zuordnung hergestellt (Dörfler, 1986).

Damit es im kindlichen Denken zu den mathematischen Objekten kommt, bedarf es der Aufmerksamkeitsfokussierung auf die Zahlzusammenhänge, die sich während der Handlung verändern. Aus diesem Grund ist für die Ausbildung von geeigneten arithmetischen Vorstellungen nicht die Handlung mit dem Veranschaulichungsmittel selbst so wesentlich, sondern […] das Nachdenken darüber (Lorenz, 2013, S. 190)

Um also eine Vorstellung von Operationen zu entwickeln, ist es wichtig, nicht nur mit dem Material zu handeln, sondern durch geeignete didaktische Maßnahmen dafür zu sorgen, dass Kinder ihre Aufmerksamkeit auf die Veränderung richten (Schipper, 2007). Wartha und Schulz (2011) formulieren dazu ein didaktisches Stufenmodell, in dem in vier Stufen die Handlung zunächst ausgeführt (1), diese dann beim Ausführen sprachlich begleitet (2), in der dritten Stufe ohne Sicht auf das Material beschrieben (3) und schließlich rein sprachlich gefasst werden kann (4). In diesem Modell finden sich in die Phasen des Verinnerlichungsprozesses von Galperin (1979), der das Lernen allgemein als in Phasen verlaufenden Prozess mit zunehmender Verinnerlichung durch Versprachlichung beschreibt.

Um zählend rechnende Kinder bei der die Aufmerksamkeitsfokussierung auf das sich Verändernde und die auf die Verinnerlichung der Handlung der zu unterstützen, sollte bei den Handlungen nicht mit einzelnen Mengen hantiert werden. Beim Subtrahieren sollten bspw. die Plättchen nicht einzelnen, eines nach dem anderen, weggenommen werden, sondern es muss eine Form der Ausführung und auch Darstellung gefunden werden, die die Veränderung als Gesamtmenge dargestellt. Bei der Subtraktion eignet sich hier das Abdecken mit einer durchsichtigen Folie ((Häsel-Weide et al., 2014), vgl. auch Schütte, 2004; Wittmann & Müller, 2012). Ähnliches gilt für die Addition. Sowohl beim Zusammenfügen vor allem aber beim Hinzufügen einer Menge zu einer anderen sollten nicht sukzessive Einzelelemente hinzugefügt werden, sondern die hinzukommenden Menge als Ganzes. Dies unterstützt zum einen die Vorstellung der Operation und verhindert dass zwar mathematische korrekt Additionen von +1 ausgeführt werden, sich aber andere einfache Rechnung nicht als Stützpunkte ausbilden können (Wittmann, 2011).

Letztlich bleibt es aber ein konstruktiver Akt der Kinder, in die konkreten Objekte die Operationen hineinzusehen. Die mathematischen Operationen sind ebenso wenig wie mathematische Begriffe empirisch greifbar und sichtbar (Steinbring, 2005), sondern müssen von jedem Individuum in die vorgegebenen Zeichen hineingedeutet werden. Hierbei ist zentral, dass die Kinder lernen, Vorstellungen von einer Repräsentationsebene auf die andere zu übertragen bzw. Passungen zwischen Vorstellungen in unterschiedlichen Repräsentationsmodi zu konstruieren. Ein voll entwickeltes Operationsverständnis besteht nach Gerster (2013, S. 209) in der Fähigkeit, „Verbindungen herstellen zu können zwischen [1] möglichst realen, vorgestellten oder verbal beschriebenen konkreten Sachsituationen, [2] modelloder bildhaften Darstellungen der zugrunde liegenden Quantitäten und Beziehungen [und] [3] symbolischen Schreibweisen für die zugehörigen Quantitäten und Rechenoperationen, meist in Form von Gleichungen“.

Geeignete Aktivitäten zu Zahlund Operationsvorstellungen sind die Grundlage dafür, dass Kinder Kernaufgaben wie Verdopplungsaufgaben, Aufgaben mit einem Summanden null oder eins (Gerster, 2013) als "einfach" erkennen können. In der Darstellung einer Verdopplungsaufgabe muss zweimal die gleiche Anzahl von Elementen gesehen werden. Ebenso müssen eine Darstellung im Zwanzigeroder Hunderterpunktfeld quasi-simultan als Gesamtes erkannt und gedanklich in zwei Teilmengen (z. B. Zehner und Einer) zerlegt werden können. Wenn dann noch vorstellbar ist, dass die Zehner oder die Einer abgedeckt werden und die Differenz abgelesen werden kann, sind die Voraussetzungen gelegt, dass die Aufgaben als „einfache“ Kernaufgaben erkannt werden. Die Aktivitäten sollten daher immer auch auf die Bewusstheit der Struktur zielen.

Letztlich muss es Ziel des Mathematikunterrichts sein, dass diese Aktivitäten darin münden, dass Kinder Kernaufgaben der Addition und Subtraktion automatisieren und diese abrufen können (Wittmann & Müller, 2012). Denn an der beschriebenen Aktivitäten zum Darstellung und Vorstellen von Zahlen und Operationen schließen sich Übung zum Blitzsehen bzw. Blitzrechnen (Wittmann

& Müller, 2006; Gerster, 2009) an, die eine Automatisierung der erarbeiteten Strukturen, Zahlen und Aufgaben zum Ziel haben.

 
< Zurück   INHALT   Weiter >