Zusammenfassende Charakterisierung des bisherigen Verlaufs

Den Schülern Thomas und Max aus der zweiten Klasse einer Grundschule mit Gemeinsamen Unterricht wurden die Zahlenhäuser zu sechs und sieben ausgehändigt. Die Kinder sitzen nebeneinander an einem Gruppentisch im Klassenraum und beginnen jeder für sich die Zerlegungen zu den Zahlenhäusern zu finden. Max startet mit dem Zahlenhaus zu Sechs, findet schnell Aufgaben, scheint jedoch nicht sicher, da er häufig radiert. Da er seinen Arm vor die Aufgabenbearbeitung hält, ist nicht zu rekonstruieren, was ihm Schwierigkeiten macht. Das Zahlenhaus zur Sieben füllt er anschließend zügig aus (vgl. Abb. 6.3). Thomas, ein Junge mit Förderbedarf im Lernen, der im Vortest als verfestigter zählender Rechner eingestuft wurde, beginnt mit dem Zahlenhaus zur sieben. Er ergänzt die vorgegebene Zerlegung von „1 + _“ richtig mit 6, notiert dann während fast sieben Minuten die Aufgaben 2+7, 7+0 (diese wird wieder wegradiert), 1+6, 3+5, 1+4, 1+3. Die hinzukommende Lehrkraft weist ihn auf den "Aufzug" hin, indem sie spaltenweise auf die Summanden tippt. Thomas radiert daraufhin viele der Aufgaben aus, bis ihm das unten dargestellte Dokument vorliegt. Max ist mittlerweile mit beiden Zahlenhäusern fertig und holt die Lehrkraft. Als diese den Arbeitsplatz der Kinder erreicht, liegen folgende Zahlenhäuser mit der Dachzahl sieben vor:

Abbildung 6.3: Zahlenhäuser der Kinder zu Beginn der Szene

[1]

Rekonstruktion der Deutungen

Die Lehrkraft kommentiert die Bearbeitung von Thomas nicht inhaltlich, sondern sie schiebt das Blatt in Mitte zwischen die Kinder und fordert Max auf, Thomas einen Tipp zu geben. Max zieht daraufhin das Zahlenhaus von Thomas zu sich hin und radiert die vierte Aufgabe (6+1) vollständig oder sauberer aus. Dann trägt er die Aufgabe 3+4 in die vierte [2] Etage ein. Thomas scheint nicht damit zufrieden, dass Max nun sein Zahlenhaus bearbeitet und zieht das Blatt mit den Worten „Sag mir einfach nur die Zahlen“ wieder zu sich. Ihm scheint deutlich zu sein, dass er Hilfe beim Finden der Aufgaben benötigt und er kann diese Hilfe auch von Max annehmen. Doch zumindest das Notieren der Zahlensätze scheint er selbst erledigen zu wollen. Als er das Zahlenhaus wieder vor sich liegen hat, stellt er folgendes fest.

Thomas Das ist doch ne sieben (tippt mit dem Finger auf die zweiten Summanden 7, 6, 7, 4, unverständlich 2 Worte) sieben, vier, das passt ja gar nicht (streicht mit dem Finger von oben nach unten zuerst über Spalte der linken Summanden dann über die Spalte der rechten Summanden)

Thomas betrachtet hier von sich aus die eingetragenen Aufgaben im Zahlenhaus und scheint zu kontrollieren, ob sie dem Muster entsprechen, das erzeugt werden soll und auf das er im Vorfeld bereits von der Lehrkraft hingewiesen worden ist. Es sieht so aus, als ob er zunächst nur die rechten Summanden betrachtet und prüft, ob diese der Zahlenfolge folgen. Hier scheint es vor allem die Folge von sieben und vier zu sein, die ihn irritiert. Anlass für die Fokussierung der Struktur ist die von Max notierte Aufgabe, welche das Muster stört, so dass zu prüfen ist, ob irgendwo ein Fehler vorliegt. Die vorliegende Folge 7, 6, 7 hat möglicherweise der Deutung von Thomas entsprochen, dass die notierten Zahlen mit Abstand eins aufeinander folgen sollen. Jetzt ist jedoch dieses Muster gestört. Obwohl Thomas hier auf eine mathematische Struktur schaut, nämlich die Folge der natürlichen Zahlen, kann im Hinblick auf die Ablösung des zählenden Rechnens nicht von einer den zählenden Zugang erweiternden Deutung gesprochen werden. Gerade die Folge der natürlichen Zahlen wird als zentraler Referenzkontext beim Zählen genutzt.

Abbildung 6.4: Thomas' Deutung der zweiten Summanden

[3]

Als Konsequenz radiert Thomas die Aufgabe 3+4 wieder aus. Max konstatiert zudem, dass die Aufgabe 2+7 falsch ist, so dass Thomas auch diese komplett ausradiert. Im Zahlenhaus stehen nun die Zerlegungen 0+7, 1+6 in den beiden oberen Etagen. Max nennt die Aufgabe 5+2, wahrscheinlich mit der Intention, dass Thomas diese in die nun freie dritte Etage eintragen kann. Dabei schaut er zuvor auf sein Arbeitsblatt, so dass davon ausgegangen werden kann, dass er die Aufgabe vorliest, welche in seinem (analogen) Zahlenhaus in der dritten Etage eingetragen ist.

Max Fünf plus zwei.

Thomas (schaut auf sein Arbeitsblatt und verharrt etwa 3 Sekunden in dieser Position) Zwei plus fünf müssen wir doch (nimmt sich Max' Arbeitsblatt und zeigt darauf mit einem Stift auf die Aufgabe

„5+2“, guckt dann wieder auf sein Arbeitsblatt, nimmt den Finger schnell von Max' Arbeitsblatt weg).

Max (lehnt sich nach vorne an den Tisch) Fünf.

Thomas (zeigt auf das Zahlenhaus auf Max' Arbeitsblatt) Bei dir ist es anders herum (guckt wieder auf sein Arbeitsblatt und zeigt mit dem Stift auf etwas). Ich muss hier, ich muss hier ´ne Zwei hinmachen (zeigt auf Max). Bei dir ist es anders herum.

Max (beugt sich zu Thomas, guckt mit auf sein Arbeitsblatt und zieht dieses ein Stück zu sich heran)

Thomas Guck, da ist die Null und bei dir ist da die Null. (zeigt auf die Aufgabe „0+7“ auf seinem Arbeitsblatt; Max zieht das Arbeitsblatt weiter zu sich, Thomas zieht es zurück, um etwas zu notieren). Also muss zwei plus fünf. (notiert die Aufgabe „2+5“ während er sie leise zu sich selbst sagt) Zwei plus fünf.

Thomas scheint die Passung der Aufgabe wieder in Bezug auf das Muster der Zahlenfolge zu prüfen und stellt fest, dass die Aufgabe in der Form, in der sie Max genannt hat, nicht zum zu erzeugenden Muster passt. Möglicherweise erinnert er sich jedoch, dass er bereits die Aufgabe 2+7 in seinem Zahlenhaus eingetragen hatte und es könnte sein, dass hier die Ursache für die Idee liegt, die Summanden der Aufgabe zu tauschen und aus der Aufgaben 5+2 die Aufgabe 2+5 zu bilden. Thomas sieht hier eine Differenz zwischen den Zahlenhäusern. Seine Beschreibung: „Ich muss hier ´ne Zwei hinmachen“ weist darauf hin, dass er an dieser Stelle vor allem die Positionen der Zahlen beachtet und nicht die mathematischen Gesetzmäßigkeit der Kommutativität erkannt hat. Er scheint seine Beobachtung dann an einem zweiten Beispiel zu überprüfen und wählt hierzu die bereits vorgegebenen Zerlegungen. Der Versuch der Verallgemeinerung geht damit über ein zweites Beispiel, bei dem davon ausgegangen werden kann, dass die Zahl sicher richtig ist.

Auch wenn Thomas eine konkrete empirische Deutung der Zeichen einnimmt, kann festgehalten werden, dass er die „vorgelesene“ Zerlegung nicht einfach überträgt, sondern im Hinblick auf die erkannte Struktur überprüft und ihm hierbei eine bisher nicht besprochene Beziehung zwischen den Aufgaben in den Zahlenhäuser auffällt. Das Erkennen der vertauschten Zahlen und damit der erste Ansatz zum Erkennen der Kommutativität scheint durch die analoge Konstruktion der Zahlenhäuser beeinflusst zu sein. Die Konstruktion des Settings löst somit an dieser Stelle eine neue Deutung aus. Allerdings scheint sich auch diese Deutung eher an konkret sichtbaren Elementen zu orientieren, wie die Position der Zahlen und nicht die dahinterliegende mathematische Struktur in den Blick zu nehmen.

Abbildung 6.5: Erste Deutung der Differenzen zwischen Zahlenhäusern

Thomas notiert als nächstes die Aufgaben 3+4 und 2+5, wobei er die Aufgabe 3+4, die zuvor von Max notiert und zwischenzeitlich ausradiert wurde, nun wieder einzutragen scheint. Im Anschluss erfragt er von Max die nächste Aufgabe, worauf Max auf seinem Zahlenhaus die Aufgabe 3+4 sucht und die darunter stehende vorzulesen scheint. Thomas trägt 2+5 in sein Zahlenhaus ein. Als Max die Aufgabe 1+6 vorliest, scheint Thomas stutzig zu werden, denn er hält inne und betrachtet die Summanden der ersten Spalte und liest laut vor „Null, eins, zwei, drei, zwei“. Wieder überprüft er also die Zahlen im Hinblick auf die Passung in der Zahlenfolge und erkennt so den Fehler in der Reihenfolge. Nun betrachtet er jedoch die ersten Summanden. Der zählende Rechner Thomas greift wieder auf die Folge der natürlichen Zahlen zurück – ein Muster, das ihm möglicherweise vertraut ist, aber auch durch die Lernumgebung nahegelegt wird.

Abbildung 6.6: Thomas' Deutung der ersten Summanden

Max ist selbst auch irritiert, betrachtet sein Zahlenhaus und radiert die Aufgabe 1+6 aus, welche er gerade genannt hat und die ihm bereits beim Finden der Zerlegungen Schwierigkeiten bereit hat, die jedoch an dieser Stelle völlig korrekt ist. Max scheint die Passung der ersten Summanden gemäß der Zahlenfolge zu überprüfen, die bei ihm absteigend ist und notiert die eins wieder als ersten Summanden. In diesem Moment ergänzt Thomas die Zerlegung:

Thomas (schaut zu Max herüber) Eins plus (..) sechs.

Max (reagiert nicht, sondern schaut weiter auf sein Arbeitsblatt)

Thomas (beugt sich zu Max herüber) Das, das ist doch die Umkehraufgabe. (nimmt Max' Arm zur Seite und zeigt auf die Aufgabe „7+0“, dann auf die Aufgabe „0+7“, danach auf die Aufgabe „6+1“). Eins. Da hast du sechs plus eins, aber eins plus sechs (zeigt auf Max' Arbeitsblatt auf die Aufgabe „1+6“) (.) geht doch auch.

Max (ergänzt „+6“ in seinem Zahlenhaus)

Thomas Sechs (beugt sich mit seinem Stift über sein Arbeitsblatt, schaut dann zurück auf das von Max)

Max Das ist die Tauschaufgabe und jetzt Thomas Also, Max, hilf mir doch mal.

Thomas ist hier in der Lage von eins auf sieben zu ergänzen. Dabei kann er sich an den zweiten Summanden orientiert oder sich an die Aufgabe erinnert haben, die zum einen in seinem Zahlenhaus steht, zum anderen ihm von Max genannt worden ist. Es bleibt also unklar, inwieweit er in Lage ist, die Struktur zu nutzen, um die Zerlegungsaufgabe selbst zu finden. Davon abgesehen erkennt Thomas in dieser Szene einen neuen Zusammenhang. Er sieht die Kommutativität zwischen den Zerlegungen in einem Haus. Dabei führt die Lücke durch die ausradierte Aufgabe von Max im Muster möglicherweise dazu, dass der Fokus auf die unterste Aufgabe 0+7 und die oberste vorgegebene fällt. Während in der Szene zuvor die Tauschaufgaben horizontal zwischen den Häuser erkannt wurden, wird nun die Beziehung innerhalb eines Hauses in den Blick genommen. Thomas versucht einen Begriff für diesen Zusammenhang zu finden und spricht von „Umkehraufgaben“, was Max korrigiert und seinerseits den korrekten Begriff „Tauschaufgabe“ einbringt.

Wieder ist Thomas derjenige, der eine Struktur im Zahlenhaus erkennt und seinen Partner in der Interaktion darauf hinweist. Es gelingt ihm die erkannte Struktur zu nutzen um die gefundene Zerlegung zu überprüfen. Das Nutzen von Strukturen beim Rechnen ist etwas was bei einer Ablösung vom zählenden Rechnen zentral ist. Insofern könnte Thomas hier eine struktur-fokussierende Deutung vornehmen. Allerding bleibt offen, inwieweit der von ihm verwendete Begriff „Umkehraufgaben“ die Deutung zum Ausdruck bringt, dass die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge notiert sind. Seine Bemerkung „geht doch auch“ scheint darauf hinzudeuten, dass ihm zu diesem Zeitpunkt nicht klar ist, dass die Tauschaufgaben natürlich im Zahlenhaus vorkommen müssen. Max seinerseits korrigiert zwar den Begriff, ergänzt aber die Bedeutung nicht. Es bleibt bei der Formulierung der Auffälligkeit im Sinne eines lokalen Phänomens. Hier zeigt sich möglicherweise die von Baroody und Ginsburg (1986, S. 83) beschriebene „Protocommutativity“. Sie beschreiben sie als Form des Nutzens und Erkennens der Kommutativität, indem Kinder z. B. die Summanden beim Addieren vertauschen, um beim Weiterzählen die Anzahl der Schritte zu minimieren. Damit nutzen sie die Kommutativität, ohne dass ihnen die Gleichheit der Aufgaben 1+6 und 6+1 im eigentlichen Sinne bewusst ist. Ähnliches könnte hier bei Thomas zu sehen sein. Er formuliert die Beziehung zwischen den Aufgaben, ohne dass entschieden werden kann, ob er die Kommutativität im kardinalen Sinne mit Bedeutung füllen kann (also struktur-fokussierend) oder stattdessen auf der empirisch konkreten Ebene an der Position der Zeichen argumentiert.

Abbildung 6.7: Mögliche Deutung von Thomas zu den Strukturen innerhalb des Zahlenhauses

Die Vorgabe, die Aufgaben im Sinne des "Aufzugs" in das Zahlenhaus zu notieren, ist möglicherweise der Anlass für eine Fokussierung auf genau diese Struktur. Auch wenn die Tauschaufgaben bei dieser Art der Strukturierung weniger im Fokus stehen, als wenn die Aufgaben „päckchenweise“ (Nührenbörger & Pust, 2011), also Aufgabe und Tauschaufgaben untereinander, aufgeschrieben werden, kann die kommutative Gesetzmäßigkeit hier besser gesehen werden, als wenn die Aufgaben ohne vorgegebene Struktur eingetragen werden können.

Obwohl Thomas über die erkannten Strukturen der Zahlenfolge und der Tauschaufgabe in der Lage sein müsste, sein eigenes Zahlenhaus eigenständig zu füllen, erfragt er wieder die Hilfe von Max. Sowohl die fehlenden Aufgaben im Zahlenhaus zur Sieben als auch das Zahlenhaus zur Sechs bearbeiten die Schüler, indem vor allem Max die Aufgaben nennt und Thomas diese einträgt. Zum Anfang der Bearbeitung des Zahlenhauses mit der Dachzahl sechs ergänzt Thomas die vorgegebene Zerlegung „5+_“ mit 1 und beginnt die nächste Zerlegung zu notieren: „ 4+“. Hier scheint er die Folge der natürlichen Zahlen zu nutzen, um den ersten Summanden zu bestimmen und scheint zu versuchen, von diesem auf sechs zu ergänzen. Da ihm dies nicht sofort gelingt, wendet er sich an Max, woraufhin das Interaktionsmuster des „Vorsagens und Aufschreibens“ wieder aufgenommen wird.

Als Thomas und Max die fertigen Zahlenhäuser zur Zahl sieben vergleichen, zeigt sich, dass Thomas auch die Ebene der horizontalen Kommutativität noch vor Augen hat.

Thomas Hast du Null plus sieben? (schaut auf sein Zahlenhaus) Max [Wobei? Bei einmal sieben?]

Thomas Ja, bei sieben.

Max Null, (schaut auf sein Arbeitsblatt) ja, null plus sieben, (nimmt einen roten Buntstift aus seiner Federmappe) das machen wir rot (beginnt die Aufgabe „7+0“ rot zu färben)

Thomas Okay, (nimmt sich ebenfalls einen roten Buntstift und markiert auf seinem Arbeitsblatt die Aufgabe „0+7“) null plus

Max (hört auf zu malen) Nee, ich hab sieben plus null.

Thomas Ja egal, aber das ist ja nur umgekehrt bei dir. (markiert dabei weiter seine Aufgabe)

Thomas (schaut wieder auf sein Arbeitsblatt) Hast du eins plus sechs?

Max (hört auf zu malen und schaut auf seine Aufgaben) Äh, ich hab nur sechs plus eins.

Thomas Okay, (nimmt einen orangen Buntstift) das kommt orange (markiert die Aufgabe „1+6“ orange)

Max Orange (sucht in seiner Federmappe nach einem orangen Buntstift und markiert dann die Aufgabe „6+1“ auf seinem Arbeitsblatt)

Thomas (ist fertig mit markieren) So, (schaut auf sein Arbeitsblatt) Hast du, (schaut herüber zu Max) Bist du fertig Max?

Max (legt seinen Stift zur Seite und schaut auf seine Aufgaben) Ja.

Thomas Hast du zwei plus fünf? (zeigt die Aufgabe „2+5“ auf seinem Arbeitsblatt)

Max Ich hab nur fünf plus zwei. (zeigt auf die Aufgabe „5+2“ auf seinem Arbeitsblatt)

Thomas Das ist das Gleiche. (nimmt sich einen braunen Buntstift) Das kommt braun (beginnt die Aufgabe „2+5“ zu markieren)

Thomas scheint klar zu sein, dass es sich um gleiche Aufgaben handelt („das ist das Gleiche“) weil die gleichen Zahlen an unterschiedlichen Positionen stehen:

„aber das ist ja nur umgekehrt bei dir“. Er greift hier seine in der Interaktion entwickelte Deutung auf, das die Zerlegungen aus den gleichen Zahlen besteht, die in der Position der Notation vertauscht sind.

Abbildung 6.8: Thomas' Deutung der Kommutativität zwischen den Zahlenhäusern

Zusammenfassende Deutung der Szene

  • [1] Beim Zahlenhaus von Thomas ist nicht sicher, inwieweit er die Aufgabe 6+1 bereits vollständig ausradiert hat oder sie noch (leicht oder in Teilen) sichtbar ist
  • [2] Da die Kinder die Zahlenhäuser von oben nach unten ausfüllen, werden die Etagen von oben nach unten nummeriert, d.h. die erste Etage entspricht der obersten, die achte Etage der untersten
  • [3] Deutungen in Bezug auf den Referenzkontext „zählendes Rechnen“ werden dünn umrandet dargestellt, während struktur-fokussierende Deutungen dick umrandet werden
 
< Zurück   INHALT   Weiter >