Zusammenfassende Charakterisierung des bisherigen Verlaufs

Kolja und Medima, zwei Kinder mit Förderbedarf im Lernen, die die vierte Klasse einer Förderschule mit diesem Förderschwerpunkt besuchen, haben die Folgen bereits ausgefüllt. Kolja, welcher im Vortest als verfestigter zählender Rechner eingestuft wurde, hat folgende fünf Folgen bearbeitet (vgl. Abb. 6.9).

Abbildung 6.9: ausgefüllte Zahlenfolgen von Kolja

[1]

Die Dokumente zeigen, dass Kolja in der Lage zu sein scheint, Folgen mit Abstand eins korrekt sowohl vorwärts als auch rückwärts fortzuführen. Auch das Vorwärtszählen in Zweierschritten scheint kein Problem zu sein. Allein in der Folge, welche Rückwärtszählen in Zweierschritten erfordert, finden sich Fehler. Hier scheint Kolja entweder nicht erkannt zu haben, dass der Abstand zwischen den Zahlen zwei beträgt, oder er ist nicht in der Lage in Zweierschritten rückwärts zu zählen. Im Hinblick auf die von Fuson beschrieben Entwicklung des Zählens (1987, vgl. 2.1.1) macht Kolja genau die Zahlenfolge Schwierigkeiten, die auch die höchsten Kompetenzen erfordert. Es scheint, dass ihm das Rückwärtszählen in Einerschritten bereits gelingt, während ihm das rückwärts in Schritten Zählen noch Schwierigkeiten macht. Betrachtet man jedoch Koljas Vorgehen im Video so wird deutlich, dass er beim Ausfüllen der Reihe _, _; _, _, _, 6, 7, 8 nicht rückwärts zählt, sondern vorwärts zählt und dabei zu prüfen scheint, mit welcher Startzahl er beginnen muss, damit diese Zählfolge zur ersten (aus der Schreibrichtung gesehen) notierten Zahl führt. Kolja hat also möglicherweise generell mit dem Rückwärtszählen Schwierigkeiten.

Rekonstruktion der Deutungen

Nachdem die Kinder wie oben beschrieben die vorgegebenen Folgen arbeitsteilig ausgefüllt haben, holen sie die Lehrkraft. Diese initiiert den zweiten Bearbeitungsschritt und gibt den Kindern den Auftrag, die Folgen gemeinsam zu ordnen. Kolja schlägt vor, die Folgen, bei denen durch Vorwärtsbzw. Rückwärtszählen der vorgegebenen Zahlen eine Zahlenfolge mit gleichen Zahlen entstanden ist, einander zuzuordnen:

Lehrkraft So, ihr habt jetzt alle Zahlenfolgen ausgefüllt. Guckt mal, ob ihr die passenden Folgen zusammenfindet, ob ihr die ordnen könnt, ob die vielleicht zusammenpassen könnten (schiebt Medimas Streifen neben die von Kolja), ob es was gibt, was zu einer anderen passt. Ne, wir hatten ja vorhin an der Tafel so Sachen gemacht auch, ne?

Kolja Ja, das (zeigt auf den Zahlenstreifen 1 2 3 4 5 6 7 8) passt zu das

(zeigt auf den Zahlenstreifen 1 2 3 4 5 6 7 8)

Kolja Eins, eins, zwei, zwei, drei, drei, vier, vier fünf, fünf, sechs, sechs, sieben, sieben, acht, acht

Medima Achso Lehrkraft Wieso passen die?

Medima Weil die gleich sind (zeigt abwechselnd auf die Zahlen auf dem oberen und dem unteren Zahlenstreifen).

Lehrkraft Die sind völlig gleich, ne?

Kolja beschreibt die Passung, indem er die gleichen Zahlen in beiden Folgen nacheinander nennt. Der Lehrkraft scheint dieses „Vorlesen“ der Zahlen als Begründung für die Passung nicht auszureichen, da sie nachfragt. Darauf nimmt Medima die Idee Koljas auf, indem sie abwechselnd auf die gleichen Zahlzeichen deutet, nennt aber einen allgemeinere Beschreibung „Weil die gleich sind“, welche von der Lehrkraft bestätigt wird. Die Kinder orientieren sich an der äußeren Gestalt und sehen die Passung in übereinstimmenden Identitäten. Es wird damit keine mathematischen Beziehung zwischen den Folgen betrachtet.

Abbildung 6.10: Erste Deutung von Passung in der Interaktion

Im weiteren Verlauf der Arbeitsphase versuchen die Kinder zunächst, das Ordnungskriterium auch auf weitere Folgen anzuwenden, doch es gibt keine gleichen Folgen mehr. Anschließend versuchen sie, nach dem Kriterium “gleiche Startzahl“ passende Folgen zu finden. Da sie jedoch die gleiche Schrittgröße als weiteres Kriterium einbeziehen, suchen sie letztlich wieder gleiche Folgen. Bei den Folgen 14, 16, 18 usw. und 14, 15, 16 usw., diskutieren sie längere Zeit, ob diese nicht doch passen könnten, bspw. wenn man die Streifen auf dem Tisch so verschiebt, dass gleiche Zahlen untereinanderstehen. Da dies aber immer nur für eine Zahl gelingt, kommen sie zu dem Schluss, dass keine ausreichende Passung besteht. Die Beziehungen, die von den Kindern betrachtet werden, scheinen sich somit an der Oberfläche der Zahlenfolgen zu orientieren. Struktur-fokussierende Deutungen mit Bezug auf Abstände, gerade/ungerade Zahlen oder Folgen in unterschiedlichen Zahlenräumen werden nicht betrachtet.

Erst als das beschriebene Vorgehen zu keinen Ergebnissen führt, schlägt Medima eine neue Sortiermöglichkeit vor, indem sie Folgen mit dem Unterschied 10 zwischen einzelnen Zahlen einander zuordnet. In der Erläuterung der Passung nennt sie wie Kolja zuvor die Zahlwörter „Vierzehn, vier, fünfzehn, fünf, sechzehn, sechs, siebzehn, sieben, achtzehn, acht“ und zeigt dabei auf die entsprechenden Zahlen. Dabei ist nicht zu erkennen, ob sie eine andere Form der Identität, nämlich die gleichen Einerstellen, gesehen hat oder die strukturelle Beziehung des Abstands um zehn in den Blick nimmt. Da sie Zahlen nennt (und nicht einzelne Ziffern) ist zu vermuten, dass sie zwischen Zahlen eine Struktur sieht, also eine struktur-fokussierende Deutung vornimmt (vgl. Abb. 6.11). Dies bestätigt sich in der späteren Interaktion, als Medima der Lehrkraft die Passung zwischen den Folgen erläutert mit den Worten „eine kleine Zahl und eine große Zahl“. Diese Formulierung, die über das Nennen der Zahlen hinaus eine allgemeine Beschreibung anbietet, beinhaltet jedoch nicht die Explizierung des Abstands. Insofern ist unsicher, inwieweit sich bei Medima ein Verständnis von Beziehungen zwischen Zahlen mit äußeren Merkmalen mischt oder bei der Relation von Zahlen die Größenrelationen nicht als bedeutsam betrachtet werden.

Sie findet jedoch mit dieser neuen Idee zwei Paare von Folgen (vgl. Abb. 6.11) und weist Kolja explizit auf ihrer Zuordnung hin, indem sie die Folgen in die Tischmitte schiebt und Kolja anspricht: „siehst du“. In dieser Phase der Interaktion zeigen sich die Lernprozesse Medimas in der aktiven Ausführung der Schlüsselaktivitäten „zeigen“ und „erklären“ (Dekker & Elshout-Mohr, 1998; Pijls et al., 2007).

Kolja scheint die Idee aufzugreifen und seinerseits zu prüfen, ob zwei der noch nicht sortierten Folgen in Hinblick auf dieses Kriterium zusammen passen könnten.

Kolja (schiebt zwei Zahlenstreifen, die vor ihm liegen, zusammen)

Guck. Sechs, zehn, sieben, zwanzig, acht, dreißig (zeigt jeweils auf die genannte Zahl auf den Zahlenstreifen, die genau untereinander liegen) (zeigt auf die „9“ des oberen Zahlenstreifens) (.) passt nicht.

Auch bei Kolja ist zu vermuten, dass er nach einer Struktur zwischen den Zahlen sucht, die möglicherweise auch in der klanglichen Passung der Zahlworte (z.B. „vier“ „vierzehn“) für die Kinder realisiert wird. Kolja spricht sich zur Prüfung der Passung die Zahlen laut vor.

Abbildung 6.11: Deutungen von Medima und Kolja zu Zahlenfolgen mit gleichem Abstand

Insgesamt bleibt an dieser Stelle unklar, inwieweit vor allem Kolja strukturelle Beziehungen zwischen den Zahlenfolgen erkannt hat oder ob er sich eher auf oberflächlich wahrnehmbare Phänomene beschränkt, wie die gleichen Ziffern an der Einerstelle oder gleiche Klang zu Beginn des Zahlworts. Es scheint eher eine Identitäten vorzuherrschen und weniger eine struktur-fokussierende Deutung.

Als die Kinder von der Lehrkraft aufgefordert werden, passende Folgen zu den Streifen zu erfinden, die noch nicht zugeordnet werden konnten, produziert Kolja durch „Kopieren“ der vorliegenden Folgen neue gleiche Paare. Medima führt ihre Idee der Erhöhung um zehn weiter. Dabei scheint sie unterschiedliche Verfahren zu mischen, um analoge Folgen zu konstruieren. Während die einstelligen Zahlen durch Anhängen einer Null verzehnfacht werden, erhöht sie bei den zweistelligen Zahlen die Zehnerziffer um eins, so dass eine Erhöhung um zehn stattfindet. Beide „Wege“ werden auch innerhalb einer Folge angewendet.

Abbildung 6.12: Deutung der konstruierten Zahlenfolge von Medima

Medima betrachtet an dieser Stelle strukturelle Beziehungen zwischen einzelnen Zahlen. In ihrer struktur-fokussierenden Deutung trennt sie entweder die Folge in zwei Teile, zu denen sie jeweils eine analoge Folge entwirft, oder fokussiert auf die Beziehung zwischen je zwei Zahlen. Auch scheint sie an dieser Stelle nicht zwischen der Erhöhung um zehn oder der Vervielfachung um zehn zu differenzieren. Möglicherweise ist der Wechsel der Strategie auch darin begründet, dass die Kinder im Mathematikunterricht erst den Zahlenraum bis hundert erschlossen haben.

Nachdem alle leeren Folgen verbraucht sind und die Streifen zugeordnet wurden, holen die Kinder die Lehrkraft. Als diese ankündigt, dass die Kinder sich noch ganz viele Streifen ausdenken können, entwickelt Kolja eine neue Idee.

Lehrkraft Ich denke mal, da ihr ja so fix seid, könnt ihr euch gleich noch ganz viele ausdenken, die dazu passen -

...

Kolja Was ist mit 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, neun, zehn-

Lehrkraft Das ist ja super. Wo würde die zu passen? Zu welchem, was ihr da geordnet habt? Wenn ihr aufschreibt 100, 200, 300, 400?

Medima (nimmt den abgebildeten Zahlenstreifen, lacht und zeigt ihn L)

Kolja (füllt den Streifen aus)

Ja.

...

Lehrkraft Super. Und dann könnt ihr euch ja überlegen, welche dazu noch passen könnte. (.)Wie die dann (unverständlich).

...

Medima Hast du schon das? Ok. (nimmt zwei leere Zahlenstreifen, die L auf den Tisch gelegt hatte, und legt sie in die Mitte) Dann müssen wir so aneinander machen (schiebt ihren Streifen kurz unter Koljas Streifen, dann wieder etwas zu sich) Aber was sollen wir denn schreiben? (schaut auf den Streifen)

Kolja (zieht seinen Streifen etwas zu sich und schaut ihn an) Unendlich, zweiunendlich, dreiunendlich, vierunendlich, fünf-

Kolja scheint in dieser Szene die Idee Medimas zu einer Idee des Vervielfachens abzuändern. Dabei bleibt fraglich, inwieweit er die Verzehnfachung der ersten Zahlen in Medimas Streifenpaaren weiterführt oder eine eigene, neue Idee entwickelt. Die Lehrkraft bestätigt ihn und lobt die kreierte die Folge, die über den bisher bekannten Zahlenraum der Kinder hinausgeht. Auch Medima kann sofort mit der genannten Folge weiterarbeiten und findet einen Streifen, zu dem die von Kolja genannte Folge passt.

Bei Koljas Deutung ist ähnlich wie bei Medima zuvor unklar, ob eine Beziehung von Zahlen erkannt ist oder an der Gestalt der Zahlen eine Null angehängt wird. Beide Kinder füllen in der Folge einen Hunderterstreifen aus (100, 200, 300) und ordnen diesem einen Zehnerstreifen zu (10, 20, 30). Anschließend stellt sich die Frage, wie sie weitermachen. Dabei scheint ihnen klar, dass sie weitere passende Folgen finden sollen, es also nicht – wie im letzten Arbeitsschritt – bei Paaren bleiben soll. Der Anspruch einer allgemeineren Passung führt möglicherweise dazu, dass Kolja eine weitere passende Zahlenfolge kreiert. Es scheint so, ob er über die Idee der Vervielfachung des „Unendlichen“ ausdrücken will, dass dieses Prinzip mit jeder großen Zahl funktioniert. Kolja, der sich bis dahin ausschließlich im Zahlenraum bis hundert bewegt, zeigt hier, dass er das Verzehnfachen einer Zahl nutzen kann, um eine Serie von passenden Folgen zu bilden. Er scheint damit eine relationale Einsicht zu nutzen. Ganz auszuschließen ist natürlich nicht, dass die Folgen auch auf der Grundlage des unverstandenen, mechanischen „Anhängens einer Null“ entstanden sein könnten. Dagegen spricht jedoch, dass Kolja sowohl zu Beginn der Szene die Folge zunächst verbalisiert und nicht notiert (vgl. Abb. 6.13). Es könnte sich jedoch auch ähnlich zur beschriebenen „Protocommutativity“ (Baroody & Ginsburg, 1986, S, 83 vgl. 6.2.1) um eine Vorform dekadischen Verständnisses handeln, welches genutzt wird ohne in allen Bezügen verstanden zu sein. Für ein zählend rechnendes Kind mit Förderbedarf im Lernen, welches bisher ausschließlich im Hunderterraum gearbeitet hat, wäre jedoch auch diese bereits einen Erweiterung des Referenzkontextes. Neben der Ablösung vom zählendem Rechnen ist das Verständnis des Stellenwertsystems eine der weiteren in der Literatur beschrieben kritischen Stellen (Freesemann, 2014; Mosandl, 2013; Moser Opitz, 2013; Scherer, 2009a).

Abbildung 6.13: Deutungen von Kolja und Medima in der Interaktion

In der weiteren Arbeit behalten die Kinder die Idee der Vervielfachung bei. Sowohl Medima als auch Kolja kreieren Folgen, indem sie die Folgen um Vielfache von 10 verändern. Hierbei zeigen sich die schon zu Beginn bei Medima gesehenen Schwierigkeiten des Wechsels zwischen Vervielfachung um 100 und Addition um 100 auch bei Kolja; sicherlich auch bedingt durch den für die Kinder unbekannten Zahlenraum. Dies wird auch in den Schwierigkeiten der Kinder deutlich, die von ihnen notierten Zahlen zu lesen.

2

4

6

8

10

12

14

16

200

400

600

800

100

112

114

116

Abbildung 6.14: Analoge Folge, gefunden von Kolja

Trotz aller Hindernisse wird die von Medima entwickelte Fokussierung auf parallele Folgen in der Interaktion nach und nach von Kolja aufgegriffen und gemeinsam weiterentwickelt. Dekadische Zahlbeziehungen oder deren prototypische Vorformen werden von beiden Kindern fokussiert.

  • [1] Fett gedruckte Zahlen waren vorgegeben
 
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