Rekonstruktion der Deutungen

Nachdem sich die Kinder auf diesem Wege auf die Aufgabe 9+9=18 verständigt haben, finden sie einvernehmlich die Verdopplungsaufgaben 10+10=20 und 11+11=22, die sie als letztes Aufgabenpaar notieren. Bei der Aufgabe 11+11 diskutieren sie länger auf welche Weise diese im Zwanzigerfeld dargestellt werden kann und finden dann eine Lösung, die für den weiteren Verlauf der Interaktion aber keine entscheidende Rolle spielt. Zum Zeitpunkt der im Folgenden ausführlich dargestellten Interaktion mit der hinzu gerufenen Lehrkraft, sieht die Aufgabenbearbeitung wie folgt aus (vgl. Abb. 6.17):

Abbildung 6.17: Stand der Bearbeitung zu Beginn der Szene

Da die Lehrkraft die Bearbeitung der Kinder mit Ausnahme der letzten beiden selbst gefundenen Aufgaben bereits kennt, fragt sie direkt nach den nun neu gefundenen Aufgaben.

Lehrkraft So, wie seid ihr auf zehn plus zehn gekommen?

Max Weil da neun plus neun ist (zeigt auf die Aufgabe „9+9=18) und weil ehm hier ist achtzehn (zeigt auf das Ergebnis der Aufgabe) # und hier ist zwanzig (zeigt auf das Ergebnis der Aufgabe „10+10“)

Thomas # Ach Max wollte das immer nach der Reihenfolge machen.

Lehrkraft Mmh. Hier war euch ja aufgefallen (deutet auf die Aufgaben „1+1=2“ und

„6+6=12“), was ihr hier auch prima gemacht habt (deutet auf die Aufgaben

„4+4=8“ und „9+9=18“), dass immer ein Zehner mehr ist (zeigt auf die Ergebnisse der Aufgaben „1+1“ und „6+6“).

May Mmh.

Lehrkraft Hast du das hier unten auch berücksichtigt? (deutet auf die Aufgaben

„10+10=20“ und „11+11=22“)

Thomas Nein, wir haben da immer nur einen mehr gemacht.

Max Mmm, zwei (zeigt erst auf den zweiten Summanden, die 11 und dann auf das Ergebnis die 22).

Thomas Hm? Ach ja, zwei, doch.

Lehrkraft Ihr habt eine neue Regel gefunden? Thomas Ja.

Max begründet die Frage, wie sie die Aufgabe 10+10 gefunden haben, mit der bereits im Vorfeld erarbeiteten Passung zu Verdopplungsaufgaben (Summanden erhöhen sich im Sinne der Zahlenreihe). Dabei nimmt er die Deutung wieder auf, die zu Beginn der Bearbeitung konstruiert wurde. Zudem nennt er die Ergebnisse, möglicherweise, weil die Passung der Ergebnisse bei Finden der Verdopplungsaufgaben 9+9 entscheidend war. Dass die Ergebnisse 18 und 20 der von ihm genannten Aufgaben in einer anderen Beziehungen zueinander stehen als die zuvor betrachtete Differenz der Ergebnisse von zehn, scheint ihn hier nicht zu irritieren.

Thomas bezieht sich auf die Deutung von Max und versucht eine allgemeinere Erläuterung für die Passung zu finden. Er sieht in dem Muster auf die Folge der Summanden gemäß der Zahlenfolge (vgl. Abb. 6.18). Hierbei zeigt sich wie schon in der Szene zu den Zahlenhäusern, dass die Folge der natürlichen Zahlen als Struktur vom Thomas gesehen wird, hier mit Fokus auf die ordinale Deutung der Reihenfolge. Der querschnittliche Blick über die Kinder der Studie zeigt, dass dies keine rein individuelle Deutung ist, sondern sich die Fokussierung auf die Folge der natürlichen Zahlen bei allen zählend rechnenden Kinder erkennen lässt (vgl. Kap. 7).

Ob Thomas mit dem Zusatz „Max wollte…“ ausdrücken will, selbst keine Verantwortung für die gefundenen Aufgabe zu haben oder deskriptiv den Verfasser der Aufgaben benennt, bleibt spekulativ. Im Weiteren nimmt Thomas jedoch von sich aus eine kardinale Deutung der Veränderung der Summanden ein, indem er sagt: „Wir haben da immer nur einen mehr gemacht“. Hier ist ein Unterschied in der Deutung im Vergleich zur Folge der natürlichen Zahlen, da nun nicht ausschließlich mit Bezug auf die „Zählfolge“ gedeutet, sondern eine Deutung der Zahlen als Anzahlen vorgenommen wird und diese Anzahlen miteinander verglichen werden. Es wird also auf eine Zahlbeziehung fokussiert, die nicht dem Referenzkontext „Zählen“ zuzuordnen ist und deshalb als strukturfokussierend angesehen wird (vgl. Abb. 6.18).

Max greift die Deutung auf und erweitert sie, indem er die Differenz zwischen den Ergebnissen betrachtet. In der Interaktion werden somit unterschiedliche Deutungen der Kinder zu dem von ihnen fokussierten Muster verbalisiert. Alle sind zu dem betrachteten Ausschnitt passend, allerdings greifen sie nur einen Teil der Strukturen des Musters auf.

Abbildung 6.18: Erste Deutungen der Kinder zur Fortsetzung der Musters

Um die Kinder auf die Veränderung der Struktur des vorgegebenen Gesamtmusters aufmerksam zu machen, erinnert die Lehrkraft an die bereits betrachtete Differenz der Ergebnisse eines Aufgabenpaares und unterstellt, dass die Kinder die Differenz als ein Zehner erkannt hätten. Dies ist, wie oben beschrieben, zumindest in dieser Explizität nicht verbalisiert worden. Beide Kinder sind in der Lage zu sehen, dass das von ihnen gefundene Aufgabenpaar 10+10=20 und 11+11=22 diesem Muster nicht entspricht – Max sofort und Thomas nach konkreter Zeigegeste. Sie scheinen jedoch beide keine Störung zu empfinden, was sich in der Bestätigung ausdrückt, hier eine neue Regel gefunden und angewendet zu haben.

Der Lehrkraft scheint daran gelegen, dass die Kinder die „Störung“ im Muster erkennen und verändern. Entsprechend deutet sie nacheinander auf die jeweils oberen Aufgaben der Paare, die von den Kindern vorgelesen werden (1+1, 2+2, 3+3, 4+4). Nachdem zudem über die Frage „Würdet ihr die da stehen lassen?“ in der Interaktionslogik (Voigt, 1994) deutlich geworden ist, dass die Aufgabe 10+10=20 verändert werden soll, nennt Max „fünf plus fünf“ als zu notierende Aufgabe. Die Lehrkraft bestätigt die Korrektheit dieser Aufgaben, indem sie Max auffordert, Thomas „auch nochmal“ zu erklären, warum.

Max Weil guck mal, hier ist eins plus eins (zeigt auf die Aufgabe „1+1“), da ist zwei plus zwei (zeigt auf die Aufgabe „2+2“), da ist drei plus drei (zeigt auf die Aufgabe „3+3“), da ist vier (zeigt auf die Aufgabe „4+4“)

Thomas Vier plus vier.

Max Und dann muss hier fünf plus fünf (zeigt auf die Aufgabe „10+10“). Thomas Ah, okay.

Max greift nicht die „Reihenfolge“ auf, die von Thomas vorher genannt wurde, sondern erläutert die Passung, indem er die Aufgaben nennt und auf die entsprechende Zahlensätze zeigt. Er verbalisiert nicht, dass er ausschließlich die erste Aufgabe der Paare betrachtet, da die Summanden hier der Struktur der Folge der natürlichen Zahlen folgen. Insofern bleibt unklar, inwieweit Max den Unterschied zwischen der von ihm und Thomas fokussierten Zahlenfolge bei der Konstruktion der Aufgabenfolge (9+9, 10+10, 11+11) und der nun von der Lehrkraft fokussierten Folge (1+1, 2+2, 3+3, 4+4, 5+5) erkennt. Zudem macht eine genaue Beschreibung der betrachteten Folgen schwierig, dass die Summanden der oberen Aufgaben eines Paares im Sinne der Zahlenfolge ansteigen und durch das weitere Muster Partneraufgabe zugleich eine versetzte Fortsetzung der Zahlenfolge im Sinne einer „Wiederholungsschleife“ entsteht. Dies ist bisher in der Interaktion nicht thematisiert worden, sondern die Kinder fokussierten auf die den Paaren zu Grunde liegende Struktur und auf die Folge der natürlichen Zahlen. Beide Deutungen werden in der folgenden Szene wieder aufgebracht:

Max Warte (schaut einen Moment lang auf das Arbeitsblatt). Ah, dahin muss dann zehn plus zehn.

Thomas Oh, okay.

Max Weil guck doch mal. Hier vier plus vier (zeigt auf die Aufgabe „4+4“) und neun plus neun (zeigt auf die Aufgabe „9+9“).

Thomas Aber (…) das ist doch vier plus vier (zeigt auf die Aufgabe „4+4“) Max Ja, aber

Thomas Fünf plus fünf (zeigt auf die Aufgabe „5+5“), dann muss doch sechs plus sechs.

Max Warte, mal überlegen (schaut auf das Arbeitsblatt)

Thomas Max, eins plus eins (zeigt auf die Aufgabe „1+1“), zwei plus zwei (zeigt auf die Aufgabe „2+2“), drei plus drei (zeigt auf die Aufgabe „3+3“), vier plus vier (zeigt auf die Aufgabe „4+4“), fünf plus fünf (zeigt auf die Aufgabe

„5+5“) #

Max # Warte, welche ist denn das? Zehn

Thomas Sechs plus sechs (zeigt auf den leeren Strich unter der Aufgabe „5+5“) muss dann dahin.

Max Nein. Warte. Was gibt denn, da muss, warte (…) zwanzig hin.

Thomas Nee. Da muss sechs, da muss, muss sechs plus sechs hinkommen, Max. Max Sechs plus sechs, warte.

Thomas Da muss sechs plus sechs, sechs plus sechs (sticht Max mit dem Bleistift in die Wange)

Max Lass es, Thomas. Sechs plus sechs Thomas Ja, sechs plus sechs, ne Max?

Max Sechs plus warte (schaut auf das Arbeitsblatt). Aber stimmt, schau doch mal hier (deutet auf den Aufgabenblock mit „2+2“ und „7+7“), zwei plus zwei (zeigt auf die Aufgabe „2+2“), dann muss da sieben plus sieben (zeigt auf die Aufgabe „7+7“) und dann kann doch hier jetzt nicht sechs plus sechs (zeigt auf den leeren Strich unter der Aufgabe „5+5“).

Thomas Max, wir müssen doch immer einen, da, da können wir mit Bleistift hinschreiben und da auch, aber da müssen wir nur, da ist doch vier plus vier (zeigt auf die Aufgabe „4+4“), fünf plus fünf (zeigt auf die Aufgabe „5+5“), sechs plus sechs (zeigt auf den leeren Strich unterhalb der Aufgabe „5+5“) muss dann da doch. Also, schreib sechs plus sechs hin. Sechs plus sechs.

Max Nein, ich mach zehn plus zehn.

Thomas Sechs plus sechs.

Max Nein, zehn plus zehn.

Thomas Wenns gleich nicht richtig ist, ne, schreibst du da sechs plus sechs hin.

In der Interaktion zeigt sich bei Thomas sehr vehement vorgebracht die erkannte Struktur der Folge der natürlichen Zahlen (vgl. Abb. 6.19), die er deutlich formuliert und der Max letztendlich nicht argumentativ begegnen kann. Max scheint deutlich zu sein, dass diese Struktur beim Finden der Partneraufgabe nicht maßgeblich ist. Möglicherweise ist ihm das vorhergegangene Gespräch mit der Lehrkraft noch präsent, in dem es genau darum ging. Es scheint jedoch nicht so zu sein, dass er die erarbeitete Struktur der Differenzen der Ergebnisse um zehn (vgl. Abb. 6.16) zur Erläuterung heranziehen kann und vielleicht auch nicht ganz sicher verstanden hat. Dies zeigt sich daran, dass er sich von Thomas Äußerung verunsichern lässt und zwar auf die Partneraufgaben 2+2 und 7+7 sowie 1+1 und 6+6 deutet, aber weder die Veränderung der Summanden noch die Wirkung auf das Ergebnis beschreibt. Als Gegenargument zur Passung der Aufgabe 6+6 bringt er nur vor, dass diese Aufgabe bereits im Muster vorhanden ist. Max scheint also klar zu sein, dass an dieser Stelle nicht die Folge der natürlichen Zahlen als Struktur herangezogen werden kann, ohne dass er explizit formuliert, welche andere Beziehung zum Finden der Partneraufgabe zentral ist. Thomas versucht gegen Ende des Dialogs Gründe vorzubringen. Die Aussage

„wir müssen doch immer einen“ könnte auf die von ihm bereits im Vorlauf formulierte Beziehung der Erhöhung der Summanden abzielen. Er nennt die Begründung jedoch nur in Ansätzen und untermauert sie dann mit Beispielen. Nachdem Max nicht seine Aussage eingeht, zieht er sich aus dem Diskurs zurück und überlässt Max die Deutungshoheit, allerdings nur wenn die Aufgabe auch richtig ist.

Abbildung 6.19: Zweite Deutung der Kinder zur Fortsetzung des Musters

Zusammenfassende Deutung der Szene

 
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