Zusammenfassende Betrachtung der Szene

Vergleicht man die struktur-fokussierenden Deutungen von Björn und Justus, fällt auf, dass die Kinder vor allem Zahlbeziehungen betrachten. Ihr spaltenweises Vorgehen führt zu einer Vernachlässigung der Operation Subtraktion und hat zur Konsequenz, dass die Zahlen als mehr oder weniger isolierte Zahlenpaare verglichen werden. Dabei scheinen beide Kinder implizit die gesamten Zahlensätze mitzudenken, wie etwa an Justus Vergleich der Differenzen deutlich wird, ohne jedoch Kausalbeziehungen zwischen den Charakteristika der Minuenden und Subtrahenden und den Folgen für die Differenzen zu formulieren. Diese Beziehungen wären jedoch im Hinblick auf den Nutzen von Zahlbeziehungen zur Ableitung von Ergebnissen wesentlich. Obwohl in der Szene vielfältige unterschiedliche Deutungen vorgenommen werden, wird nie in dem Sinne argumentiert wie: „Die Ergebnisse müssen sich ja um einen Zehner unterscheiden, weil die Minuenden sich auch um einen Zehner unterscheiden und die Subtrahenden gleich bleiben“. Ursache und Wirkung von konstanten und sich verändernden Zahlen werden nicht thematisiert.

Mit Fokus auf den zählenden Rechner Björn wird deutlich, dass auch er strukturelle Beziehungen zwischen Zahlen erkennt und formulieren kann. Er verbleibt nicht auf der Ebene der oberflächlichen Betrachtung, sondern deutet bereits Beziehungen. Björn scheint in der Lage zu sein, die Deutungen seines Partners zu verstehen, aufzugreifen und – wie beim Vergleich der Differenzen sichtbar wurde – auch auszubauen. Beide Kinder benutzen beim Vergleich der Karten die mathematische Fachsprache. So sprechen sie nicht von konkreten Zahlen, sondern kennen und benutzen allgemeine Begriffe wie "Reihe", "Tauschaufgaben","Zehner", "gleich". Ggf. deuten sie diese in der aktuellen Situation um und nutzen sie, um diese auf der Ebene mathematischer Beziehungen allgemein und unabhängig von konkreten Zahlen beschreiben zu können. Dabei werden die meisten Begriffe von Justus eingebracht. Ausnahme ist der Begriff "Einer", der von Björn als erstes benutzt wird. Björn scheint jedoch alle Begriffe zu verstehen und kann sie selbst angemessen nutzen.

3. Szene: Thomas und Max beim Vergleich von Aufgabenpaaren im gleichen Zahlenraum

Den Schülern einer 2. Klasse im gemeinsamen Unterricht liegen die Aufgabenkarten im gleichen Zahlenraum vor. Der zählende Rechner Thomas (ein Kind mit Förderbedarf im Lernen) hat große Schwierigkeiten bei der Bearbeitung der Aufgaben, hat einige Aufgaben bei seinem Partner erfragt (u.a. 18 – 7 = 13) und zur Lösung der Karten C und D eine Abdeckfolie von der Lehrkraft erhalten. Die Kinder bekommen nun den Auftrag, die Karten zu vergleichen:

Abbildung 7.9: Stand der Bearbeitung von Thomas und Max nach der Lösung der Aufgaben

Thomas legt sich die Aufgabenkarten zurecht, so dass er beide Karten gut im Blick hat und weist Max an, dass dieser noch nichts sagen soll. Dann zeigt er auf die Aufgabe 18 8 = 10 und sagt:

Thomas Ich hab (fährt mit dem Stift unter der Aufgabe „18 – 8 = 10“ auf seinem Arbeitsblatt entlang ohne zu malen). Hast du achtzehn (zeigt auf die „18“) minus hab ich acht gleich zehn.

Thomas identifiziert die auf beiden Karten identischen Aufgaben (vgl. Abb. 7.9) und erfragt bei seinem Partner, ob er diese auch hat. Max bestätigt, dass er die Aufgabe auch hat und unterstreicht diese. Dies wird von Thomas übernommen, der die Aufgabe auf seiner Karte ebenfalls unterstreicht. Thomas erfragt die nächste Aufgabe bei Max: „Hast du achtzehn minus sieben?“, beantwortet sich die Frage selbst: „Nein“ und dreht beide Karten um, so dass nun die Karten B zu sehen sind [1].

Thomas Also was haben wir hier gleich? Max Ah

Thomas Gar nichts.

Max Doch. (zeigt erst auf „17 – 10 = 7“ auf Thomas Karte, dann auf

„17 – 10 = 7“ auf seiner Karte und unterstreicht die Aufgabe)

Das gemeinsame Motiv beim Vergleich der Aufgabenpaare ist die Suche nach gleichen Aufgaben, die vor allem von Thomas initiiert und beim Vergleich der Karten A auch weitgehend von ihm allein durchgeführt wird. Der zählende Rechner Thomas, der beim Lösen der Aufgaben große Schwierigkeiten hatte, bringt sich nun beim Vergleich aktiv und selbstbewusst ein. Max lässt ihm den Raum und nimmt die Deutung der Suche nach gleichen Aufgaben auf, wie beim Vergleich der Karten B deutlich wird. Auffällig ist, dass die Ergebnisse beim Vergleichen nur bei der ersten Aufgabe genannt werden. Thomas liest hier zunächst die gesamte Aufgabe 18 – 8 = 10 vor, von Max wird jedoch das Ergebnis nicht mit unterstrichen. Im Weiteren nennen beide Kinder nur noch die gleichen

„Aufgaben“. Entweder ist ihnen klar, dass die Ergebnisse bei gleichen Aufgaben identisch sein müssten und sie formulieren in diesem Sinne „ökonomisch“ oder sie betrachten beim Vergleich nur die vorgegebenen Aufgaben, ohne diesen Schritt mit der Berechnung in Verbindung zu bringen. Beide Kinder bleiben hier auf der Ebene eines Vergleichs, der sich an äußeren (vorgegebenen) Merkmalen ausrichtet. Sie sprechen keinerlei Zahloder gar Aufgabenbeziehungen an.

Abbildung 7.10: Erste Deutungen der Aufgabenkarten A und B durch Thomas und Max

Die Lehrkraft kommt hinzu und fragt nach den anderen, nicht unterstrichenen Aufgaben:

Lehrkraft Also die, die gleich sind, habt ihr unterstrichen. Was ist denn mit den anderen Aufgaben, ist dir da auch etwas aufgefallen?

….

Thomas Da ist einer weniger gegeworden (zeigt mit dem Stift auf die „18“ der Aufgabe „18 – 8 = 10“ auf seinem Arbeitsblatt) und da ist (zeigt auf die

„8“ der Aufgabe) da ist einer weniger ja geworden (zeigt auf die „17“ der Aufgabe „17 – 9 = 8“ auf seinem Arbeitsblatt) da ist ja achtzehn (zeigt auf die „18“), da ist siebzehn (zeigt auf die „17“) da ist neun (zeigt auf die

„9“) also einer mehr geworden und da ist acht (zeigt auf die „8“) Lehrkraft [Ja gut]

Max Warte acht (zeigt mit dem Stift auf die „9“ der Aufgabe „18 – 9 = 11“ auf seinem Arbeitsblatt) neun (zeigt auf die „9“ der Aufgabe) acht (zeigt wieder auf die „8“) [elf] (zeigt auf die „11“ der Aufgabe „17 – 11 = 2“ auf seinem Arbeitsblatt)

Ohne auf die Zuordnung zu den eigentlichen Karten zu achten, vergleicht Thomas positionsgerecht die Zahlen (Minuenden und Subtrahenden) miteinander und erkennt den Unterschied zwischen ihnen.

Abbildung 7.11: Zweite Deutung der Aufgabenkarten A und B durch Thomas und Max

Ob er an dieser Stelle einen kardinal orientierten Vergleich vornimmt und damit Beziehungen zwischen Mengen betrachtet oder er auf die Position in der Zahlreihe fokussiert und Vorgänger bzw. Nachfolger einzelner Zahlen erkennt, ist aus seiner Äußerung nicht klar zu erkennen. Seine Formulierung „einer weniger geworden“ deutet auf ein kardinales Verständnis hin. Da Thomas bei der Lösung der Aufgaben mit dem Punktefeld und der Folie gearbeitet hat, ist dies vielleicht noch präsent. Sicher ist, dass Thomas auf Zahlbeziehungen fokussiert. Welche Bedeutung diese Beziehung innerhalb der verwandten Subtraktionsaufgaben hat, erkennt er von sich aus jedoch nicht. Max betrachtet dann die Subtrahenden der von ihm gelösten Karten A und B. Er tippt mit dem Stift auf die Zahlen und scheint sie in eine Reihenfolge bringen zu wollen. Der leistungsstärkere Schüler Max greift also die Idee der Folge der natürlichen Zahlen auf und führt sie weiter (vgl. Abb. 7.11).

Die Lehrkraft unterbricht an dieser Stelle und fordert die Schüler auf, nur die Aufgaben eines Kartensatzes miteinander zu vergleichen. Thomas legt sich die Karten zurecht und sagt:

Thomas Hey hier ist das ja neun (zeigt auf die „9“ der Aufgabe „18 – 9 = 11“ auf Ms Arbeitsblatt) und da ist es acht (zeigt auf die „8“ der Aufgabe „18 – 8

= 10“ auf seinem Arbeitsblatt) also einer mehr ist es dann und da (zeigt auf die „18“ der Aufgabe „18 – 7 = 13“ auf seinem Arbeitsblatt) ist einer weniger.

Lehrkraft Mhm. (7 sec. Pause) Stimmen denn dann auch alle Ergebnisse so wie sie sind?

Thomas Mmm nein. Da hab ich zehn (zeigt auf die „10“ der Aufgabe „18 – 8 = 10“ auf seinem Arbeitsblatt) und dreizehn (zeigt auf die „13“ der Aufgabe „18 – 7 = 13“ auf seinem Arbeitsblatt) und Max hat zehn (zeigt auf die

„10“ der Aufgabe „18 – 8 = 10“ auf Ms Arbeitsblatt) und elf (zeigt auf die „11“ der Aufgabe „18 – 9 = 11“ auf Ms Arbeitsblatt).

Thomas beschreibt zunächst die Beziehungen der Subtrahenden. Zunächst scheint er die Idee des Vergleichs der Minuenden auf die Subtrahenden der Karte A zu übertragen. Von den Minuenden spricht er nicht, ebenso wenig zieht er aus der Struktur Folgerungen für die Differenzen. Er betrachtet somit nicht die Beziehungen zwischen Aufgaben, sondern die Relation der Zahlen. Auch Max formuliert nichts Entsprechendes, so dass nach der obigen letzten Aussage von Thomas und einer Pause von sieben Sekunden, in der die Lehrkraft abzuwarten scheint, ob die Kinder von sich aus Schlussfolgerungen ziehen, die Lehrkraft den Blick auf die Ergebnisse lenkt, indem sie sagt: „Stimmen denn dann auch alle Ergebnisse so wie sie sind?“ Die Formulierung „denn dann“ weist darauf hin, dass der Blick der Kinder auf den Zusammenhang zwischen der Beziehung der Subtrahenden und den Differenzen gelenkt werden soll. Thomas betrachtet daraufhin die Ergebnisse der verwandten Aufgabenpaare, findet allerdings die Unstimmigkeit nicht. Die Lehrkraft fordert die Kinder daraufhin explizit auf, die Ergebnisse der Aufgaben zu kontrollieren. Thomas überprüft mit Unterstützung der Lehrkraft seine Aufgabe 18 – 7 mit der Folie und korrigiert sein Ergebnis. Er entdeckt darauf eine neue Gemeinsamkeit zwischen den Aufgaben und tippt auf die nun gleichen Ergebnisse der Aufgaben:

Thomas Hey Max Max mir ist noch was aufgefallen. Hier du ich hab da oben zehn (zeigt auf das Ergebnis „10“ auf seinem Arbeitsblatt) und du hast da unten zehn (zeigt auf das Ergebnis „10“ auf Ms Arbeitsblatt).

Thomas führt den spaltenweisen Vergleich der Zahlen weiter und nimmt hier gemäß der Anregungen der Lehrkraft die Ergebnisse in den Blick. Analog zur ersten Phase der Szene, in der die gleichen Aufgaben unterstrichen wurden, sucht Thomas nach Gleichem und nimmt die gleichen Ergebniszahlen in den Blick. Dies scheint er unabhängig von seinen zuvor formulierten Zahlbeziehungen zu tun. Ansonsten müsste ihm auffallen, dass bei gleichbleibenden Minuenden und sich verändernden Subtrahenden die Ergebnisse nicht gleich sein können. Sein Vorgehen führt zu der Hypothese, dass ihm die operative Einsicht fehlt oder er diese zumindest in diesem Moment nicht aktiviert.

Abbildung 7.12: Dritte Deutung der Aufgabenkarten A und B durch Thomas und Max

Max scheint erst durch die Aussagen von Thomas auf seinen Rechenfehler aufmerksam zu werden, da er erst während der Aussage von Thomas zum Radiergummi greift und sein Ergebnis korrigiert. Trotz der vorhergegangenen Aufforderung der Lehrkraft zu prüfen, ob die Ergebnisse stimmen, scheint er zuvor die potentiellen Fehler in den von Thomas gelösten Aufgaben zu vermuten und wartet bis dieser seine Aufgaben korrigiert hat. Die dann von Thomas vorgebrachte Entdeckung der Gleichheit der Ergebnisse, scheint bei ihm ein Nachdenken über sein Ergebnis von 18 – 9 ausgelöst zu haben, welches nun identisch war mit dem der korrigierten Aufgabe 18 – 7 = 11. Thomas, der den Fehler nicht bemerkt hat, scheint verwirrt, dass das von ihm erkannte Muster nun „zerstört“ wird. Max erläutert erklärend: „Weil guck doch mal (zeigt auf die „18“ der Aufgabe): neun plus neun sind ja achtzehn“. Er begründet also das korrigierte Ergebnis mit Bezug auf die Umkehraufgabe. Max nutzt zur Erläuterung der Aufgabe den in dieser Stunde bislang nicht thematisierten Zusammenhang zu den Umkehraufgaben. Dies ist überraschend, da aufgrund der Darbietung der Aufgaben als Nachbaraufgaben und der intensiven Beschäftigung der Kinder mit den Gemeinsamkeiten und Unterschieden zwischen den Aufgaben eine Erläuterung über die Nachbaraufgabe zu erwarten gewesen wäre. Doch Max wählt – möglicherweise nach der üblichen Gewohnheit im Unterricht – die Umkehraufgabe, um die Korrektheit seines Ergebnisses zu erläutern. Nach einem kurzen Blick auf die Karte scheint Thomas einverstanden oder zumindest zufrieden mit dem nun erreichten Ende der Arbeitsphase und ruft: „Fertig!“

  • [1] Die Lehrkraft hat beide Karten auf ein DIN A5 Blatt kopiert und nicht auseinander geschnitten
 
< Zurück   INHALT   Weiter >