Baustein VIIIb: Verwandte Additionsaufgaben

Der Baustein "verwandte Additionsaufgaben" hat zum Ziel, dass die Kinder die Struktur der operativen Aufgabenserien erkennen und beim Lösen schwierigerer Aufgaben nutzen. Der Baustein ist analog zum ausführlich dargestellten Baustein XVIII "verwandte Subtraktionsaufgaben" (vgl. Kap. 7) aufgebaut, d.h. nach einer Einführung bearbeiteten die Kinder eines Paares zunächst vier Karten zur operativen Aufgabenserie und vergleichen im Anschluss die analogen Aufgabenkarten (Häsel-Weide et al., 2014, S. 146).

Bereits im Einstieg wird Mary von der Lehrkraft aufgefordert, die dritte Aufgabe der Serie zu bearbeiten und zu erläutern, wie sie das Ergebnis erhalten hat.

An der Tafel stehen folgende Aufgaben:

Lehrkraft Vielleicht kannst du mit Björns Aufgabe (zeigt auf die zweite Aufgabe an der Tafel) was anfangen.

Mary (geht zur Tafel, kreuzt die dritte Aufgabe an und schreibt als Ergebnis 21 auf)

Lehrkraft Klar. Kannst du uns sagen, warum das so ist, was du gemacht hast?

Mary Ja, hier sind ja immer fünfzehn (zeigt von oben nach unten über die ersten Summanden bei den drei ersten Aufgaben) und hier ist ja einer mehr immer (zeigt auf den die 6)

Lehrkraft Einer mehr als wo? Mary Als wo.

Lehrkraft Ist richtig.

Schüler Also mehr als zwanzig und als neunzehn. Lehrkraft (tippt abwechselnd auf die Summanden 6 und 5)

Mary Ja, das hier eins weniger ist (zeigt auf die 5) und hier einer mehr (zeigt auf die 6)

Lehrkraft Ja, das ist richtig und was passiert dann am Ende hier im Ergebnis? (zeigt auf die Ergebnisse der zweiten und dritten Aufgabe)

Mary Hier auch wieder mehr oder weniger (zeigt auch auf die beiden Ergebnisse, wendet sich zum Gehen)

Lehrkraft Einverstanden.

Die Szene macht deutlich, dass Mary die Struktur der operativen Aufgabenserie erkannt und möglicherweise auch genutzt hat, um das Ergebnis der Aufgaben 15 + 6 = 21 zu bestimmen. Beim Beschreiben der Struktur fokussiert sie einerseits auf Gleichheiten wie die gleichen ersten Summanden und die Veränderung im zweiten Summanden. Als sie jedoch die Veränderung der zweiten Summanden mit „einer mehr immer“ beschreibt, deutet sie ausschließlich auf die Zahl sechs. Die Nachfrage der Lehrkraft scheint sie zu verunsichern, so dass die Lehrkraft zunächst bestätigt, dass die Aussage richtig ist. Mary formuliert dann eine Zahlbeziehung zwischen fünf und sechs und betrachtet diese jeweils aus beiden Richtungen (fünf ist einer weniger als sechs und sechs ist einer mehr als fünf). Ähnlich beschreibt sie auch die Relation der Summen. Bei der Formulierung fällt auf, dass sie keine kausale Beziehung vom sich verändernden Summanden zur Summe zieht, sondern die Strukturen zwischen den Zahlenpaaren betrachtet.

Abbildung 8.15: Marys Deutungen zur operativen Serie

Bei der Bearbeitung der Aufgabenkarten in der Partnerarbeit scheint Mary sowohl zählende Strategien zu benutzen, als auch Aufgaben mental zu bestimmen oder abzuleiten. Zählendes Rechnen ist deutlich zu erkennen als sie die Aufgabenkarten B bearbeitet (vgl. Abb. 8.16). Hier kreuzt sie zunächst die Aufgabe 10+7 als leichteste Aufgabe an und notiert sofort das Ergebnis 17. Dann löst sie von unten nach oben die drei verwandten Aufgaben, tippt dabei mit den Fingern auf dem Tisch und scheint die Ergebnisse abzuzählen. Bei der Bearbeitung der Karte A schaut Mary immer wieder längere Zeit auf die Punktfelder, so dass nicht ausgeschlossen werden kann, dass sie die Aufgaben durch Zählen am Punktfeld löst, jedoch geben die Bewegungen des Körpers keine weitere Indizien. Möglich ist natürlich auch, dass sie die Struktur des Feldes nutzt, was längere Zeit brauchen könnte, da sie die Aufgaben nicht zunächst im Feld dargestellt hat.

Abbildung 8.16: Karten A & B zu verwandten Additionsaufgaben

Beim Finden von eigenen Aufgabenserien hat Mary zunächst Schwierigkeiten. Dies kann auch darin begründet sein, dass sie mit in der Arbeitsphase mit der Aufgabenkarte D beginnt, ohne zuvor die vorgegebenen Serien A und B gelöst zu haben.

Hier notiert sie zunächst als verwandte Aufgabe zur vorgegebenen und bereits gelösten Aufgabe 19+1=20 die Tauschaufgabe 1+19=20. Sie greift also auf die Kommutativität als bekannte Beziehung zwischen Additionsaufgaben zurück. Dies hilft ihr im Weiteren nicht, die beiden noch fehlenden Aufgaben zu bestimmen. Als die Lehrkraft zum Tisch der beiden Mädchen kommt und Marys Bearbeitung sieht, macht sie deutlich, was hier mit Bezug auf den vorhergegangenen Baustein als „verwandte Aufgaben“ zu verstehen sei, nämlich „plus eins, minus eins oder eins umdrehen“. Ohne dass Marys Bearbeitung gewürdigt wird, entwickeln die Lehrkraft und Pia eine alternative Weiterführung des Musters, welche von Mary notiert wird (19+1, 19+2, 19+3, 19+4), also wie im Einstiegsbeispiel das Konstantbleiben des ersten Summanden und die Veränderung des zweiten Summanden um plus eins. In dieser Art und Weise führt Mary dann auch das Muster zur Karte C weiter (vgl. Abb. 8.17).

Bei der Lösung der selbst gefundenen Aufgaben auf dieser Karte ist kein zählendes Rechnen zu beobachten. Dies kann mehrere Gründe haben. Zum einen enthalten die entwickelten Aufgaben den ersten Summanden fünf und können deshalb möglicherweise leicht am Punktfeld abgelesen werden, auch wenn keine Darstellung eingezeichnet ist. Zudem kann es sein, dass durch das eigene Finden der verwandten Aufgaben Mary die Struktur bewusst ist und sie diese beim Lösen nutzt. Möglich ist auch, dass die neben dem Tisch stehende Lehrkraft allein durch die Anwesenheit zumindest offensichtliches zählendes Rechnen verhindert. Da jedoch keine Nachfrage über die Strategie erfolgt, bleibt unklar, ob und inwiefern Mary die Struktur genutzt hat.

Abbildung 8.17: Marys Bearbeitung der Karte C

Bei der Lösung der selbst gefundenen Aufgaben auf dieser Karte ist kein zählendes Rechnen zu beobachten. Dies kann mehrere Gründe haben. Zum einen enthalten die entwickelten Aufgaben den ersten Summanden fünf und können deshalb möglicherweise leicht am Punktfeld abgelesen werden, auch wenn keine Darstellung eingezeichnet ist. Zudem kann es sein, dass durch das eigene Finden der verwandten Aufgaben Mary die Struktur bewusst ist und sie diese beim Lösen nutzt. Möglich ist auch, dass die neben dem Tisch stehende Lehrkraft allein durch die Anwesenheit zumindest offensichtliches zählendes Rechnen verhindert. Da jedoch keine Nachfrage über die Strategie erfolgt, bleibt unklar, ob und inwiefern Mary die Struktur genutzt hat.

Nach der Bearbeitung der Karten werden die Schülerinnen nicht zum Vergleich der Aufgabenkarten aufgefordert. Die eigentliche kooperative Phase wird von Mary und Pia nicht durchgeführt.

Mary zeigt in der Reflexionsphase, dass sie auch dann eine Aufgabenserie fortführen kann, wenn nicht der zweite, sondern der erste Summand verändert wird und findet zur schon notierten Aufgabenfolge 6+9=15, 7+9=16, 8+9=17 die weitere Aufgabe 9+9=18.

 
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