Baustein IXb: Verwandte Subtraktionsaufgaben
Der Baustein 18 wurde bereits ausführlich in Kap. 7 vorgestellt und analysiert, deshalb soll hier eine Konzentration auf die von Mary gezeigten Kompetenzen sowie die erkannten und genutzten Strukturen erfolgen.
Im Einstieg zum Baustein wird jeweils ein Aufgabenpaar im Zwanzigerraum (16 – 6 =, 16 – 7 =) und ein analoges Aufgabenpaar im Hunderterraum (36 – 6 =, 36 – 7 =) an die Tafel geschrieben. Die Kinder sollen die Aufgaben lösen und erläutern, inwiefern die "einfache" Subtraktionsaufgabe [1] genutzt werden kann, um das Ergebnis der schwierigeren Aufgaben zu bestimmen. Im Vorfeld der folgenden Szene ist die einfache Aufgabe 16 – 6 = 10 bereits gelöst und mit der transparenten Abdeckfolie am Punktfeld an der Tafel dargestellt worden. Mary wird nun aufgerufen, um die Aufgabe 16 – 7 zu lösen.
Lehrkraft Muss man da rechnen, wenn ja, wie kann man das Ergebnis rauskriegen.
Mary Das (zeigt auf Subtrahend 6) ist ja einer weniger als der hier (zeigt auf Subtrahend 7)
Lehrkraft Und dann?
Mary Deshalb sind das hier neun (zeigt auf Platz für Ergebnis der Aufgaben 16 7) und das wieder einer mehr (zeigt auf 10).
Parallel zur Einstiegsszene des Bausteins 16 "verwandte Additionsaufgabe" löst und erläutert Mary im Einstieg die verwandte Aufgabe. Wieder stehen Zahlbeziehungen im Mittelpunkt der Betrachtung. Mary fokussiert auf die Relation zwischen den Subtrahenden und überträgt die Beziehung auf die Differenz. Durch die Zeigegeste und den Verweis zunächst auf die untere Differenz ist wahrscheinlich der Lehrkraft nicht deutlich, inwieweit Mary implizit aussagen will, dass die Beziehung der Subtrahenden sich umgekehrt zu den Differenzen verhält. An dieser Stelle wird jedoch weder noch einmal nachgefragt, noch die Beziehung am Punktfeld mit der Folie expliziert.
Abbildung 8.18: Marys Deutung von verwandten Subtraktionsaufgaben im Einstieg
Wie bereits in Kap. 7 bei der Detailanalyse der verwandten Subtraktionsaufgaben aufgezeigt, ist es gerade bei den Subtraktionsaufgaben jedoch von fundamentaler Bedeutung, die Operation mit zu berücksichtigen und sich am Punktefeld zu verdeutlichen wie sich die Differenz verringern wird, wenn sich der Subtrahend erhöht.
In der Arbeitsphase erhält Mary durch einen Fehler beim Austeilen der Aufgabenkarten die Aufgabenkarten im Hunderterraum, während Pia die Karten für den Zwanzigerraum bekommt (vgl. 7.2).
Abbildung 8.19: Verwandte Subtraktionsaufgaben (Karten A & B) bearbeitet von Mary
Mary beginnt mit der Bearbeitung der Karte B und löst rückwärts zählend die oberste Aufgabe. Bevor sie mit der Lösung der zweiten Aufgabe beginnt, sagt sie zu sich „einer weniger“, notiert dann aber nicht ein entsprechendes Ergebnis, sondern löst die Aufgabe 27 – 10 = rückwärts zählend unter Benutzung der Finger. Anschließend beginnt sie mit der Aufgabekarte A. Bevor sie den Zählprozess startet, schaut sie auf die Aufgabenkarte B und scheint eine Beziehung zwischen den Aufgaben zu sehen (28 – 9 = und 27 – 9 =) und evtl. nutzen zu wollen. Doch dann beginnt sie mit dem Zählprozess, wird jedoch in ihrem Zählprozess von der Lehrkraft unterbrochen. Diese weist sie darauf hin, immer mit der leichtesten Aufgabe zu beginnen. Darauf löst Mary die Aufgaben 28 – 10 = 18 zählend unter Nutzung der Finger. Die Aufgabe 28 – 9 = bleibt unbearbeitet.
Abbildung 8.20: Deutungen von Mary bei der Bearbeitung der Aufgabenkarten
Obwohl Mary Beziehungen zwischen den Zahlen zu sehen scheint, greift sie bei allen Aufgaben auf zählende Strategien zurück. Sie leitet weder unter Ausnutzung der Zahlbeziehung ab, noch ruft sie zu den "einfachen" Subtraktionsaufgaben Ergebnisse ab. Während im Zwanzigerraum bei "einfachen" Additionsaufgaben ein Abrufen von Ergebnissen zu beobachten war, werden nun alle Aufgaben zählend und unabhängig voneinander gelöst. Die Kernaufgaben scheinen noch nicht verfügbar. Dies zeigt auch, dass sie anders als in Baustein XVIIIb nicht mit den "einfachen" Aufgaben beginnt, sondern mit den obersten Aufgaben. Zudem scheint sie den erkannten Zahlbeziehungen nicht zu vertrauen oder diese nicht sicher unter Berücksichtigung der Operation zum Ableiten nutzen zu können. Obwohl sie also Beziehungen sieht im Einstieg, auf der Karte B und zwischen den Karten A und B sowie beim Finden passender einfacher Aufgaben auf den Karten C und D – greift sie zur Lösung der Aufgaben zunächst auf zählendes Rechnen zurück.
Auch zur Lösung der Aufgaben auf den Karten C und D nutzt sie das Rückwärtszählen, um die jeweils obere Aufgabe zu lösen (vgl. Abb. 8.21). Dann jedoch nutzt sie die Beziehung zwischen den Aufgaben 38 – 10 = 28 und 38 – 9 = , sagt: „Das ist dann einer weniger“ und notiert 27 als Ergebnis von 38 – 9. Mary leitet hier aus der bearbeiteten Aufgabe das Ergebnis der zweiten Aufgabe ab. Möglicherweise ermüdet von den zählenden Prozessen, versucht sie den Rechenweg abzukürzen. Vielleicht hat sie auch bei den vorherigen Aufgaben und den richtig zählend gelösten Ergebnissen gemerkt, dass ihre Idee des Ableitens getragen hätte und traut sich nun, diese auch umzusetzen. Dies kann darauf hindeuten, dass Mary bei schwierigeren Aufgaben, die langwieriger zu bearbeiten sind, mehr Motivation hat, sich vom zählenden Rechnen zu lösen als bei den Additionsaufgaben im Zwanzigerraum. Deutlich wird jedoch auch, dass ein reines Erkennen und Nutzen von Zahlbeziehungen hier nicht ausreicht.
Abbildung 8.21: Verwandte Subtraktionsaufgaben (Karten C & D) bearbeitet von Mary
Allerdings berücksichtigt sie die umkehrende Funktion der Subtraktion nicht und fokussiert allein auf die Zahlbeziehungen. Wie bereits bei der querschnittlichen Analyse aufgezeigt, ist es notwendig, dass Strukturen zwischen Aufgaben gesehen werden.
Inwieweit Mary und Pia Beziehungen zwischen Aufgaben erkennen, bleibt unklar, da die Schülerinnen nicht zum Vergleich der Aufgabenkarten aufgefordert werden.
- [1] "Einfache" Subtraktionsaufgaben sind Gegenstand des Bausteins IXa. Hier wird explizit erarbeitet, welche Aufgaben aus welchem Grund als "einfach" betrachtet werden können
