Erkennen und Nutzen von Zahlund Aufgabenbeziehungen
Beim Erkennen von Strukturen in arithmetischen Mustern wie "schönen Päckchen" oder geordneten "Zahlenhäusern" fokussierte Mary auf die Beziehung zwischen Zahlen. Ihre struktur-fokussierende Deutung ist dabei eine kardinale Interpretation der Zahlbeziehung, die sie als „einer mehr, einer weniger“ beschreibt. Zahlen, die sich um eins veränderten, wurden von ihr in diesem Sinne rasch erkannt und sie nutzte diese Struktur, um Aufgabenserien weiterzuführen.
Inwieweit sie andere Strukturen erkannt hat wie bspw. dekadische Analogien zwischen Aufgabenserien oder sich gegensinnige verändernde Zahlenfolgen, kann nur im Rahmen der Bearbeitung der Zahlenhäuser rekonstruiert werden (vgl. 8.3.2). In den Klassensituationen wurde noch deutlich, dass Mary nicht nur die Veränderung der Einer fokussierte, sondern auch Zahlbeziehungen innerhalb der analogen Aufgaben 18 – 8 = 10 und 38 – 8 = 30 wahrnahm, allerdings auf der empirisch konkreten Ebene. Dieses Vorgehen entspricht auch der Deutung im Rahmen der Zahlenhäuser.
Mary nutzte bei einigen operativ veränderten Aufgabenserien (zur Addition, zur Subtraktion und evtl. auch bereits bei den Zahlenhäusern) die Zahlbeziehungen, um Ergebnisse abzuleiten. Dabei scheinen ihre Motivation und ihre Kompetenz, Ableitungen zu nutzen und die Vertrautheit mit der Anwendung von zählenden Strategien miteinander zu konkurrieren. Während Mary bei Additionsaufgaben im Zwanzigerraum als auch bei der Subtraktion im Hunderterraum vorrangig zählenden Strategien verwendet, ist sie in der Klassensituation oder im Beisein der Lehrkraft auch in der Lage Beziehungen zu nutzen.
Kritische Stellen in der weiteren Ablösung vom zählenden Rechnen
Vergegenwärtig man sich die Aspekte, die zur Ablösung vom zählenden Rechnen zentral sind, wird deutlich, dass sich Mary auf dem Weg zur Ablösung befindet, auch wenn das Ziel noch nicht erreicht ist und weitere Begleitung nötig sein wird. Rechtsteiner-Merz (2014, S. 276) stellt in ihrer Studie zur Entwicklung flexiblen Rechnens heraus, dass Kinder, die neben zählenden Strategien beziehungsorientiert vorgehen, möglicherweise den Weg zum flexiblen Rechnen finden. Entscheidend sei, dass die Alternativen zum zählenden Rechnen nicht mechanisch, sondern beziehungsorientiert sind. Hier könnte Mary mit ihrem Fokus auf Zahlbeziehung auf einem guten Weg sein: Bereits von Beginn an scheint sie sowohl erste Einsichten in das Teile-Ganze-Konzept zu haben als auch bei der Anzahlerfassung über Alternativen zum ausschließenden Zählen von Einzelelementen zu verfügen. Zum Ende der Förderung zeigen sich die Motivation und erste Ansätze zum Ableiten sowie einige Aufgaben, die faktenmäßig abgerufen werden können.
Aufgrund der Analyse stellt sich die Frage, ob dem gestützten und dann auch automatisierend, gestützten Üben von Kernaufgaben (Wittmann, 1992b) mehr Zeit eingeräumt werden muss. Im Rahmen der Förderbausteine stand die Erarbeitung dieser Aufgaben im Vordergrund und die Lehrkräfte erhielten einige Anregungen zur Vertiefung, diese waren jedoch nicht als Baustein ausgearbeitet.
Es ist demnach offen, inwieweit also derartige Übungen durchgeführt wurden. Gerade bei den Aufgaben im neu erschlossenen Hunderterraum zeigt sich, dass der Erarbeitung, Vertiefung und Übung der Kernaufgaben eine bedeutende Rolle zukommt, damit diese nicht – wie jetzt bei Mary gesehen – zu schnell im Rahmen symbolischer Aufgabensätze mit Rückgriff auf zählende Strategien gelöst werden. Im Rahmen des Bausteins zum Vermindern zum Zehner zeigte sich deutlich, dass Mary die Ergebnisse an der Felddarstellung ablas, während Pia das Ergebnis notierter Aufgaben abrief.
Es bestätigt sich somit, dass die im Rahmen der Förderung konzipierten Lernumgebungen zum Aufbau eines Verständnisses von "einfachen" Aufgaben geeignet sind. Gleichzeitig zeigt sich, dass Mary noch weiterer Unterstützung und Anregung bedarf, die Aufgaben zu automatisieren. Hier war der Zeitraum für eine Automatisierung sowie die fehlende direkte Anleitung nicht ausreichend. Wie lange der Aufbau faktennutzender Strategien braucht, zeigte sich in der Untersuchung von Thornton (1990): In einer Kontrollgruppenstudie wurden Kinder eines ersten Schuljahres zur Nutzung von effizienten Subtraktionsstrategien mit dem Fokus auf Faktennutzen angeregt. In dem, verglichen mit der vorliegenden Untersuchung, deutlich längeren Förderzeitraum von bis zu einem Schuljahr erreichten 60 % der Kinder der Fördergruppe „a new developmental level“ (Thornton, 1990, S. 261), d.h. auch hier konnte trotz signifikanter Effekte im Vergleich zur Kontrollgruppe (20% auf einem höheren Level) nicht für alle Kinder eine Entwicklung zum nicht-zählenden Rechnen beobachtet werden. Dabei muss berücksichtigt werden, dass die untersuchte Kohorte nicht ausschließlich aus leistungsschwachen Kindern bestand. Für verfestigt zählend rechnende Kinder ist deshalb innerhalb einiger Wochen keine Automatisierung von Fakten zu erwarten. Auch Baroody, Eiland und Thompson (1985) berichten, dass sie in ihrer Förderung von schwachen Vorschulkindern geplante Förderinhalte nicht thematisieren und damit auch Ziele nicht erreichen konnten, weil
„participants started to become confused when these new topics were introduced before previous concepts and skills […] werde consolidated (Baroody, Eiland, & Thompson, 2009, S. 119). An dieser Stelle soll nicht diskutiert werden, ob oder inwiefern Mathematiklernen als Lernen aufeinander aufbauender Fähigkeiten verstanden werden kann. Vielmehr soll unterstrichen werden, dass in einem Zeitraum von zehn Wochen, der sowohl in der Studie von Baroody und Kollegen als auch in der vorliegenden Untersuchung für die Förderung angesetzt wurde, für Kinder mit mathematischen Lernschwächen eine Zeitspanne ist, in der möglicherweise keine großen Veränderungen zu erwarten sind.
Das Erkennen und Verstehen von Aufgabenbeziehungen ist nicht nur für Mary weiterhin eine kritische Stelle (vgl. Kap. 7.3). Die Analysen zeigen, dass Mary die Struktur zwischen Aufgaben, im Sinne der Betrachtung der Wirkung von Veränderungen von Zahlen bei einer Operation, nicht erkannt hat. Während die Veränderung von Mengen zunehmend vorstellbar scheint, wird die Veränderung von Aufgaben bei Darstellungen im Zahlensatz auf die Veränderung von Zahlen reduziert (vgl. Kap. 7.3). Zudem steht die Beziehung zwischen Aufgaben auch nicht im Fokus der Explizierungen durch die Lehrkraft, sondern diese ist mit der Formulierung von Zahlbeziehungen zufrieden.
Eine weitere kritische Stelle scheint bei Mary in der Nutzung der "Kraft der Fünf" bei der strukturierten Anzahlerfassung zu liegen (Krauthausen, 1995). Während die Gliederung einer Punktemenge in Zehner und Einer bereits genutzt wurde, scheitert eine vollständige quasi-simultane Erfassung an der nicht vorgenommenen Bündelung von Einern oder Zehnern in simultan erfassbare Teilmengen. Diese muss noch überwunden werden, damit Anzahlen komplett quasisimultan erfasst werden können.
