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2.1.1 Dimensionen, Elemente, Vektoren, Submatrizen, Partitionen

Matrizen sind zweidimensionale Gebilde mit den Dimensionen m (Zeilen) und n (Spalten). Die Matrix D aus Tab. 2.1 hat m = 4 Zeilen und n = 3 Spalten, also 4 × 3 = 12 Elemente. Als Indizes für die Zeilen und Spalten werden häufig die Kleinbuchstaben i und j verwendet. Indizes ermöglichen es, jedes Element der Matrix eindeutig zu identifizieren. Für die Elemente selbst werden dabei zum Namen der Matrix analoge Kleinbuchstaben verwendet: Das Element di=2,j =3 der Matrix D hat den Wert 6. Der Einfachheit halber werden die Kleinbuchstaben oft weggelassen. Wenn m und n kleiner als 10 sind, kann auch das Komma zwischen den beiden Indizes entfallen: di=2,j =3 = d2,3 = d23 = 6. In jedem Fall wird zuerst die Nummer der Zeile, dann die Nummer der Spalte geschrieben (Gl. (2.1)).

Eine Matrix, die nur eine einzige Spalte hat, wird als Spaltenvektor bezeichnet; eine Matrix, die nur eine einzige Zeile hat, nennt man Zeilenvektor (Gl. (2.2)). Generell können Vektoren als Matrizen mit einer einzigen Dimension m verstanden werden [1].

Eine m × n Matrix kann man sich wahlweise als aus m Zeilenvektoren mit jeweils n Elementen oder n Spaltenvektoren mit jeweils m Elementen zusammengesetzt vorstellen. So besteht die Rohdatenmatrix D aus vier Zeilenvektoren, die jeweils die Daten eines Falles enthalten. Alternativ dazu lässt sich D auch in drei Spaltenvektoren unterteilen, die jeweils die Werte einer Variable enthalten.

Löscht man einzelne Spaltenoder Zeilenvektoren aus einer Matrix, so erhält man eine Submatrix. Im Falle von D würden dadurch bestimmte Fälle und/oder Variablen aus dem Datensatz ausgeschlossen. Darüber hinaus ist es möglich, eine Matrix zu partitionieren, indem sogenannte „Blöcke“ gebildet werden, bei denen es sich ihrerseits wieder um Matrizen handelt. Umgekehrt können zwei oder mehrere kleinere Matrizen zu einer größeren Matrix zusammengesetzt werden (siehe Gl. (2.3)). Dies geschieht beispielsweise dann, wenn zu einer Rohdatenmatrix zusätzliche Fälle (beispielsweise aus einem anderen Land) oder zusätzliche Variablen (aus einer zweiten Datenquelle) hinzugefügt werden.

  • [1] Verwirrenderweise wird ein Vektor mit m Elementen manchmal auch als m-dimenensionaler Vektor bezeichnet
 
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