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2.1.2 Besondere Matrizen


Matrizen, bei denen die Zahl der Zeilen und Spalten identisch ist, heißen quadratische Matrizen. Diejenigen Elemente einer quadratischen Matrix, die auf einer gedachten Linie von der oberen linken zur unteren rechten Ecke, der sogenannten Hauptdiagonale, liegen (a1,1, a2,2, ••• am,m) werden als diagonale Elemente bezeichnet. Matrizen, bei denen alle Elemente oberhalb bzw. unterhalb der Diagonale gleich 0 sind, werden als untere bzw. obere Dreiecksmatrizen bezeichnet.

Quadratische Matrizen können (achsen-)symmetrisch sein. In diesem Fall ist der Inhalt der Matrix an der Diagonale gespiegelt, d. h. für jedes Element, das nicht auf der Diagonale liegt, gilt ai,j = aj,i (siehe Gl. (2.4)). Die redundanten Elemente im oberen Dreieck der Matrix werden häufig weggelassen. Die Kovarianzund Korrelationsmatrizen (siehe Abschn. 2.2), die als Ausgangspunkt für die Schätzung von Strukturgleichungsmodellen dienen, sind stets symmetrisch. Kovarianzund Korrelationsmatrizen werden deshalb häufig als untere Dreiecksmatrizen geschrieben, was eine kompaktere und übersichtlichere Darstellung ermöglicht.

Matrizen, bei denen alle Elemente außerhalb der Diagonalen den Wert 0 haben, werden als DIAGONALE MATRIZEN bezeichnet. Ein besonderer Typ von diagonalen Matrizen sind die EINHEITSMATRIZEN. Bei einer Einheitsmatrix haben alle Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1, alle anderen Elemente den Wert 0. Eine solche Matrix heißt auch Identitätsmatrix, weil das Produkt einer Matrix A mit einer Einheitsmatrix wiederum A ergibt (vgl. Abschn. 2.1.3). Einheitsmatrizen haben üblicherweise den Namen Im, wobei der Index für die Zahl der Zeilen/Spalten steht:

2.1.3 Einfache Matrixoperationen

Das Produkt eines beliebigen Skalars k und einer beliebigen Matrix A erhält man, indem man alle Elemente von A mit k multipliziert. Das Ergebnis dieser sogenannten SKALARMULTIPLIKATION ist wiederum eine Matrix.

Matrizen, die dieselbe Anzahl Zeilen und Spalten haben, können elementweise addiert oder subtrahiert werden.

Eine m×n Matrix A und eine p×q Matrix B können multipliziert werden, wenn die Zahl der Spalten von A der Zahl der Zeilen von B entspricht. Das Ergebnis dieser sogenannten MATRIXMULTIPLIKATION ist eine neue Matrix mit den Dimensionen m × q. Die einzelnen Elemente dieser Matrix ergeben sich, indem man Elemente der Ausgangsmatrizen miteinander multipliziert und das Ergebnis aufsummiert. Dabei wird die erste Matrix zeilenweise, die zweite Matrix hingegen spaltenweise abgearbeitet und die Ergebnismatrix wiederum zeilenweise aufgebaut (Gl. (2.8)).

Multiplikation zweier Matrizen:

Tatsächlich ist die Beschreibung der Matrixmultiplikation viel komplizierter als die Prozedur selbst, wie Gl. (2.8) zeigt. Hier werden die 2 × 3 Matrix A und die 3 × 2 Matrix B miteinander multipliziert. Das erste Element der 2 × 2 Ergebnismatrix wird bestimmt, indem in Richtung der eingezeichneten Pfeile das erste Element in der ersten Zeile von A mit dem ersten Element in der ersten Spalte von B multipliziert wird, anschließend das zweite Element der erste Zeile mit dem zweiten Element der ersten Spalte und dann das dritte Element der ersten Zeile mit dem dritten Element der ersten Spalte. Die Summe dieser drei Produkte beträgt 50. Analog dazu wird das zweite Element der ersten Zeile der Ergebnismatrix bestimmt, indem die erste Zeile von A mit der zweiten Spalte von B multipliziert wird. Das erste Element der zweiten Zeile ergibt sich aus der Multiplikation von zweiter Zeile/erster Spalte, das noch fehlende vierte Element aus der Multiplikation von zweiter Zeile/zweiter Spalte.

Anders als bei der gewöhnlichen Multiplikation von Skalaren sind die Produkte AB und BA normalerweise nicht identisch. In Abhängigkeit von der Zahl der Spalten/Zeilen ist es sogar durchaus möglich, dass BA nicht definiert ist, obwohl es sich bei AB um eine korrekte Operation handelt. Um Missverständnisse zu vermeiden spricht man deshalb hier auch davon, dass A mit B postmultipliziert bzw. B mit A prämultipliziert wird.

Nach der gleichen Logik können statt zweier Matrizen auch zwei Vektoren a und b miteinander multipliziert werden, sofern beide dieselbe Zahl von Elementen haben. Das Ergebnis dieser Prozedur ist stets ein Skalar; sie wird deshalb auch als SKALARPRODUKT (manchmal auch inneres Produkt oder Punktprodukt) bezeichnet.

Die TRANSPOSITION ist eine einfache Operation, die Zeilen und Spalten einer Matrix vertauscht. Dies wird durch einen hochgestellten Strich symbolisiert [1]. Ein Spaltenvektor wird durch Transposition zum Zeilenvektor und umgekehrt [2].

  • [1] Manche Textbücher verwenden stattdessen ein hochgestelltes T: A×=AT
  • [2] Nach einer gängigen Konvention sind Vektoren Spaltenvektoren, sofern sie nicht ausdrücklich als Zeilenvektoren eingeführt werden
 
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