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3.3.3.4 Parametrisierung

Um die Eigenschaften der herausgestellten Strukturen darzustellen, wurden sie parametrisiert. Strukturen lassen sich auf unterschiedliche Weise parametrisieren. Das wichtigste Konzept ist dabei die Zentralität. Sie soll in der Folge kurz erläutert werden, um dann auf die weiteren Parameter hinzuweisen und sie kurz darzustellen.

Sowohl in der Netzwerkforschung als auch in den jeweiligen Anwendungsgebieten hat sich bisher noch keine einheitliche Definition von Zentralität durchgesetzt (vgl. Borgatti & Everett, 2006). Dieser Umstand ist im Wesentlichen der Natur der Sache geschuldet, da Netzwerke [1] per se aus unterschiedlichen Blickwinkeln zentral und damit relevant sein können. Diesbezüglich hat sich mit der Zeit eine grosse Bandbreite an unterschiedlichen Zentralitätsmassen entwickelt (vgl. Mutschke, 2010; Borgatti & Everett, 2006), die in der Folge teilweise genauer dargestellt werden sollen. Hinzu kommt, dass das Konzept der Zentralität nach den wegweisenden Arbeiten von Bavelas (1948; 1950) und Leavitt (1951) in verschiedenen Bereichen zu unterschiedlichen theoretischen, empirischen und experimentellen Arbeiten geführt hat (vgl. Borgatti, 2005), und somit in verschiedenen Kontexten interpretiert wird und wurde (vgl. Nenniger, 1980 & 1993).

Die hohe Diversität unterschiedlicher Zentralitätskonzepte ändert allerdings nichts an der Tatsache, dass der Vorstellung von Zentralität der Knoten[2] nicht bestimmte, grundsätzliche Gemeinsamkeiten unterliegen. So wird die Idee der Zentralität von Knoten in Netzwerken bei Mutschke (2010) klar, wenn er die wesentlichen Punkte in den folgenden drei Aussagen zusammenfasst:

1. Zentralität ist ein knotenbezogenes Mass: Zentralitätsmasse liefern keine Aussagen über den betrachteten Graphen selbst, sondern einen positionalen Index für jeden seiner Knoten. Die Grundintention dabei ist die Lokalisierung „zentraler“ Akteure.

2. Zentralität ist ein strukturelles Attribut: Zentralitätsmasse machen Aussagen über die Involviertheit eines Knotens in die Beziehungsstruktur eines Netzwerkes. Ein Zentralitätsindex ist somit ausschliesslich von der Struktur des betrachteten Graphen abhängig.

3. Zentralitätsmasse definieren eine lineare Ordnung auf der Menge der Knoten V eines Graphen durch Zuweisung numerischer Werte zu den betrachteten Knoten v ϵ V, sodass für ein gegebenes Zentralitätsmass C und alle Knoten i,j ϵ V gilt: C (i ) ≤ C (j) oder C (j ) ≤ C (i ). Zentralitätsmasse liefern somit eine geordnete Menge (V,≤), die vergleichende Aussagen über die relative strukturelle Position der Akteure in einem Netzwerk und damit auch eine Identifizierung „zentraler“ Akteure erlaubt.

Bezüglich dieser Auffassung werden in der Folge die für diese Arbeit relevanten Konzepte kurz beschrieben.

Zentralitätskonzepte

Freemann diskutiert 1978 bereits in einem weiteren wegweisenden Aufsatz, dass Zentralität sich nicht auf die bis dahin oft verwendete Degreemasszahl reduzieren lässt.

„Shaw (1954) introduced the idea of using degree as an index of point centrality, and along with other writers (Faucheux and Moscovici 1960; Mackenzie 1964, 1966a; Czepiel 1974; Nieminen 1973, 1974; Rogers 1974) who conceived of point centrality in this way, he apparently found it so so intuitively appealing that he did not bother to discuss or elaborate its conceptual foundations at all. For these writers, centrality means degree.“

Basierend auf dieser Grundlage führt Freeman drei grundlegende Zentralitätskonzepte (Degree, Nähebasierte-Zentralität und Betweenness-Zentralität) ein, die Borgatti und Everett (2006) wiederum in radiale Masse und mediale Masse einteilen.

Degree

Die Degree-basierte Zentralität CD (i) oder kurz Degree di (Jansen, 2006) ist ein lokales Mass, dass das direkte Umfeld eines Knoten in einem zu betrachtenden Netzwerk beschreibt. Direktes Umfeld bedeutet dabei alle direkten und indirekten Verbindungen zu adjazenten Knoten. Dadurch ergibt sich für einen Knoten mit hohem Degree eine zentrale Position im jeweiligen Netzwerk, da zum Beispiel nicht nur direkte Beziehungen zu anderen Knoten, sondern unter Umständen auch parallele Interaktionsmöglichkeiten bestehen. So lässt sich der Degree auch als „Potenzial eines Akteurs für Netzwerktätigkeiten“ (Mutschke, 2010) betrachten.

1.1

Streng genommen ist der Degree eines Knotens ein spezieller Fall der k-path centrality die von Sade (1989) eingeführt wurde. In dieser Arbeit wird allerdings nicht weiter darauf eingegangen (s. auch: Sade, 1989; Borgatti & Everett, 2006).

In-Degree, Out-Degree, Tendenz, Senken und Quellen

Darüber hinaus lässt sich der Degree eines Akteurs in In- und Out-Degree differenzieren. Während der In-Degree für die Anzahl der eingehenden Verbindungen steht, bezeichnet der Out-Degree die Anzahl der vom Knoten ausgehenden Verbindungen. Aus diesem Grund wird der In-Degree auch oft mit Macht oder Prestige gleichgesetzt (Jansen, 2006; Jansen & Wald, 2007; Mutschke, 2010). Wird ein Knoten also von vielen anderen Knoten gewählt, ist er mächtig im Bezug auf das betrachtete Netzwerk.

Der Out-Degree hingegen zeigt, wie stark sich Akteure auf andere Akteure beziehen und diese aktiv in das Netzwerk einbeziehen. Die beiden Parameter stehen sich antagonistisch gegenüber. Wie sie im Verhältnis zueinander stehen, wird in dieser Untersuchung mit der Tendenz dargestellt. Dabei steht hier nicht nur der Einbezug der Akteure in das Netzwerk im Mittelpunkt des Interesses, sondern auch die „Ungleichheit der Akteure“ (vgl. Jansen, 2006).

1.2

1.3

1.4

Ein Knoten ohne Eingangsgrad wird als Quelle bezeichnet (1.5), während ein Knoten ohne Ausgangsgrad als Senke bezeichnet wird (1.6).

1.5

1.6

Standardisierung des Zentralitätsmasses (Degree)

Damit die Grösse des Netzwerkes keinen Einfluss auf die Ausprägung für den zu untersuchenden Parameter hat, wird auf die Netzwerkgrösse standardisiert. Die hier vorgestellten Zentralitätsmasse beziehen sich auf ihren maximalen Wert im Netzwerk, der für n Knoten, bei irreflexiven Beziehungen, mit (n-1) bezeichnet ist. Die drei Zentralitätswerte (Degree, In-Degree, Out-Degree) der jeweiligen Knoten werden durch den möglichen Maximalwert geteilt.

1.7

1.8

1.9

Nähebasierte Zentralität

Die nähebasierte Zentralität misst, ähnlich wie der Degree eines Knotens, die Zentralität in einem gegebenen Netzwerk. Der Unterschied liegt darin, dass die nähebasierte Zentralität auch die indirekten Beziehungen erfasst und nicht nur die direkte Umgebung des Knotens im Netzwerk betrachtet. Sie macht eine Aussage zum Abstand zwischen zwei Akteuren in einem Netzwerk und liefert primär die Antwort auf die Frage, wie lange eine Information von einem bestimmten Knoten x braucht, um sich im Netzwerk zu verteilen (vgl. Newman, 2005). Ein Knoten mit insgesamt kurzen Distanzen zu anderen Knoten, besitzt eine höhere nähebasierte Zentralität und ist demnach weniger auf die Vermittlung durch andere Knoten angewiesen (vgl. Mutschke, 2010). Die Distanz zwischen Knoten ist dabei definiert als die Anzahl der Kanten zwischen ihnen d(i,j), die zuerst aufsummiert und dann durch den Kehrwert dargestellt werden. Der Kehrwert transformiert das Distanzmass zu einem Nähemass (2.0). Damit die nähebasierte Zentralität aussagekräftig bleibt, ist die Erreichbarkeit jedes Knotens im Netzwerk eine notwendige Voraussetzung.

Sobald ein Knoten des Netzwerkes nicht mehr erreichbar ist, ist die Pfaddistanz zu ihm unendlich und somit nicht mehr bedeutungsvoll. Tritt dieser Fall ein, wird vom maximalen Distanzwert (n-1) ausgegangen (vgl. Jansen, 2006).

2.0

Die nähebasierte Zentralität wurde nach ihrer Einführung durch Bavelas (1948) von Sabidussi (1966) weiterentwickelt und hat seit dem einige weitere Interpretationen, wie zum Beispiel Radiality (vgl. Valente & Foreman, 1998), Eccentricity (vgl. Hage & Harary, 1995), Distance-Based F-Measure (Latora & Marchiori, 2007) oder Markov Centrality (White & Smyth, 2003), erlebt. Auf sie wird in dieser Arbeit nicht genauer eingegangen.

Standardisierung des Zentralitätsmasses (Nähebasierte Zentralität)

Der Höchstwert des nähebasierten Zentralitätsmasses ist 1/(n-1). Um ihn auf die entsprechende Netzwerkgrösse zu standardisieren, wird er mit seinem Kehrwert, also (n-1), multipliziert (2.1).

2.1

Betweenness-basierte Zentralität

Radiale Masse wie die bereits vorgestellten Degreeoder nähebasierteZentralität, beziehen sich in ihren Betrachtungen direkt auf den zu beobachtenden Knoten. Im Gegensatz zu den beiden radialen Massen, die beide Knotenpaare, sogenannte Dyaden, betrachten, zeigt die Betweenness-basierte Zentralität auf, wie ein Knoten zwischen zwei anderen Knoten in einem Netzwerk positioniert ist. Dazu wird zwischen jeder Dyade im Netzwerk die kürzeste Distanz (geodesic) berechnet, um danach zu betrachten, wie oft jeder einzelne Knoten Element dieser geodesic anderer Knotenpaare ist. Er nimmt sozusagen eine „Mittlerfunktion“ ein. Je häufiger der Knoten eine solche Mittlerrolle einnimmt, desto zentraler ist er nach dem Betweennessmass (vgl. Jansen, 2006). Somit wird, anders gesagt, die Abhängigkeit eines Knotenpaares (i,j) von einem dritten Knoten k, der zwischen diesen beiden Knoten liegt, gemessen.

Betweenness-Zentralität basiert auf Wahrscheinlichkeitsberechnungen, die die Verbindung zwischen jedem Knotenpaar im Netzwerk schätzt und dabei berücksichtigt, dass ein bestimmter Knoten eine Mittlerfunktion einnimmt. Dazu werden die kürzesten Verbindungen die von j nach k durch i laufen, ins Verhältnis gesetzt, zu den kürzesten Verbindungen die von j überhaupt nach k laufen (2.2). Es wird dabei unterstellt, dass jede geodesic die gleichen Nutzungschancen hat und die Wahrscheinlichkeiten jedes Knotenpärchens aufsummiert (2.3).

2.2

2.3

Standardisierung des Zentralitätsmasses (Betweenness-basierte Zentralität)

Auch das Betweennessmass ist abhängig von der Grösse des Netzwerkes. Die grösstmögliche Betweenness-Zentralität lässt sich für einen Knoten in einem Netzwerk durch (n2-3n+2)/2 darstellen. Das Mass wird somit für einen gerichteten Graphen folgendermassen standardisiert:

2.4

Zentralisierung des Netzwerkes

Um Aussagen über das gesamte Netzwerk zu treffen, ist die Einführung weiterer Parameter notwendig. Für die vorliegende Arbeit wurden daher einerseits unterschiedliche Netzwerkparameter benutzt und andererseits das gesamte Netzwerk immer auf die bereits weiter oben beschriebenen Zentralitätskonzepte standardisiert. Auch dies soll in der Folge kurz beschrieben werden.

Ein elementares Mass zur Charakterisierung der Zentralität eines Netzwerkes ist die Dichte. Das Dichtemass macht eine Aussage über das Verhältnis der Kanten, die in einem zu betrachtenden Netzwerk tatsächlich realisiert werden, zu den Kanten, die realisiert werden könnten. Die Ausprägung des Dichtemasses liefert bezüglich der Betrachtungen des Netzwerkes (z. B. Informationsaustausch), wichtige Hinweise zur Vernetzung der Knoten. Je dichter die Verbindungen sind, umso besser läuft z. B. der Informationsaustausch zwischen den einzelnen Knoten.

Die maximal mögliche Anzahl an Kanten in einem Netzwerk liegt bei n(n-1)/2, wobei n die Anzahl der Knoten darstellt. Demnach ergibt sich für die Gesamtdichte eines ungerichteten Netzwerkes folgende Formel:

2.5

Aufgrund der tendenziell gleichen Grösse, lässt sich das Dichtemass für die Charakterisierung der hier dargestellten Netzwerke, sehr gut benutzen. Für ungleich grosse Netzwerke, wäre der durchschnittliche Grad sinnvoller (vgl. Borgatti & Everett, 2013).

Neben der Dichte ist die Kohäsion ein wichtiges Zentralitätsmass zur Zentralisierung gesamter Netzwerke (vgl. Jansen, 2006). Die Kohäsion ist in dieser Arbeit auf zwei Ebenen festgelegt. Einerseits bezüglich der zu betrachtenden Knoten (Mass reziproker Knotenpaare), andererseits bezüglich der zu betrachtenden Kanten (Mass reziproker Kantenpaare). Das Mass reziproker Knotenpaare ist dabei definiert durch das Verhältnis der Anzahl der reziprok verbundenen Knotenpaare zur Anzahl der einfach verbundenen Knotenpaare (Dyaden). Äquivalent dazu ist das Mass reziproker Kantenpaare definiert durch das Verhältnis der Anzahl reziproker Kantenpaare zur Anzahl der Kanten.

Reziprozität trifft eine Aussage über die Stärke der Beziehung zwischen einzelnen Knoten. Reziproke Beziehungen haben einen stärkeren Zusammenhalt als einfache Beziehungen, weil sie auf Gegenseitigkeit beruhen.

2.6

Praktische Implikation

Die Zentralitätskonzepte, die sich auf die Knoten beziehen, werden für jeden einzelnen Knoten berechnet und auch, wie bereits weiter oben dargestellt, standardisiert. Die Standardisierung des gesamten Netzwerkes wird unterschiedlich vorgenommen. Die Zentralitätskonzepte, die sich auf die Knoten beziehen, werden durch die Anzahl der im Netzwerk vorhandenen Knoten n dividiert. Dabei werden aus inhaltlichen Gründen Quellen, Senken und Schleifen nur durch die Anzahl der aktiv involvierten Knoten n-x definiert, weil die Anzahl der Knoten für diese Parameter von der Anzahl der in die Struktur eingehenden prägnanten Strukturen abhängig ist. Für die drei Zentralisierungskonzepte, die sich auf das ganze Netzwerk beziehen, wurden keine Werte für die einzelnen Akteure berechnet. Sie werden in der Ergebnistabelle mit x dargestellt.

  • [1] Nachfolgend werden die beiden Begriffe Struktur und Netzwerk zum besseren Verständnis synonym verwendet.
  • [2] Nachfolgend werden die beiden Begriffe Knoten und Akteure zum besseren Verständnis synonym verwendet.
 
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