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1.4 Modaloperatoren und das Können der Möglichkeit

1.4.1 Modaloperatoren

Ich habe bereits darauf hingewiesen, daß zwischen den Sätzen (K1) und (K6) sowohl ein syntaktischer, als auch ein semantischer Unterschied besteht.

(K1) Der Autor dieser Studie kann Chinesisch sprechen.

(K6) Es kann sein, daß der Autor dieser Studie mit seinem Nachbarn Chinesisch spricht.

Der semantische Unterschied wirkt sich zum Beispiel darin aus, daß (K1) falsch, (K6) aber wahr ist. Der syntaktische Unterschied besteht darin, daß (K1) den Modifikator „kann“ verwendet, (K6) aber den Modaloperator „Es kann sein, daß ...“.[1] Zur Vereinfachung soll dafür im folgenden, wie üblich, der synonyme Ausdruck „Es ist möglich, daß ...“ verwendet werden, wie in (K14):

(K14) Es ist möglich, daß der Autor dieser Studie mit seinem Nachbarn Chinesisch spricht.

Allgemein gesagt entsteht eine Modalaussage, indem einer Aussage ein Modaloperator vorangestellt wird. Hier ist dies die Aussage „Der Autor dieser Studie spricht Chinesisch“ und der Operator „Es ist möglich, daß ...“. Zusätzlich ist bei umgangssprachlichen Beispielen in deutscher Sprache eine oberflächengrammatische Transformation notwendig (das Verb muß umgestellt werden), die aber für die zugrundeliegende logische Struktur nicht relevant ist. Die Logik solcher Modalitäten wie „Es ist möglich, daß ...“ und „Es ist notwendig, daß ...“ ist eingehend erforscht worden.[2] Wie üblich werden auch in dieser Arbeit für diese beiden Modalitäten der Box- und der Diamantoperator verwendet:

Syntaktische Regel für Modaloperatoren. Wenn α eine Aussage ist, dann sind auch ◊α (lies: „Es ist möglich, daß α“) und □α (lies: „Es ist notwendig, daß α“) Aussagen.

Es reicht, einen dieser Modaloperatoren in das basale logische Vokabular aufzunehmen; der andere Operator läßt sich dann definitorisch einführen. Zum Beispiel läßt sich der Boxoperator „□“ („Es ist notwendig, daß ...“) definieren als Abkürzung für die Zeichenfolge „¬◊¬“ („Es ist nicht möglich, daß nicht ...“). Diese Modaloperatoren bilden aus Aussagen neue Aussagen. Ihre Semantik erklärt man in der Regel unter Verwendung einer Menge sogenannter möglicher Welten: Ein Modell für eine modale Aussagenlogik besteht aus einer solchen Menge von Welten, einer darauf definierten Zugänglichkeitsrelation R und einer Interpretationsfunktion I, die Paaren von Aussagen und Welten Wahrheitswerte zuordnet. Dann gelten die folgenden semantischen Regeln:

Semantische Regel für „“. ◊α ist genau dann wahr in w, wenn es eine von w aus zugängliche Welt w* gibt, in der α wahr ist; d.h.: I(◊α, w) = 1 genau dann, wenn es eine Welt w* gibt mit R(w, w*) und I(α, w*) = 1.

Semantische Regel für „“. □α ist genau dann wahr in w, wenn in allen von

w aus zugänglichen Welten w* gilt, daß α wahr ist; d.h.: I(□α, w) = 1 genau dann, wenn es keine Welt w* gibt mit R(w, w*) und I(α, w*) ¹ 1.

  • [1] Diese beiden Beispielsätze diskutiere ich auch in Jansen 2000a. In diesem Aufsatz fehlen leider die Siglen der Beispielsätze. Zur Erleichterung der Lektüre ersetze man die drei Vorkommnisse von „(5)“ auf Seite 186 durch „(2*)“ und numeriere die übrigen Beispiele von (1) bis (11)
  • [2] Einen aktuellen Überblick bieten Hughes/Cresswell 1996
 
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