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15.2 Ein Modell des Fahrens

Modelle, die beschreiben, wie ein Mensch ein Fahrzeug führt, gibt es schon sehr lange [4]. Sehr viele dieser Modelle (für einen Überblick s. [5], [6], [7], [8]) – seit 1950 sind wohl mehr als 100 Modelle allein für den Prozess des Folgens eines vorausfahrenden Fahrzeuges beschrieben worden – lassen sich ohne Weiteres auch als Modelle für ein autonomes Fahrzeug verstehen – wie bereits in Abschn. 15.1 begründet, mit verschiedenen Parametrierungen für Mensch bzw. Maschine. Damit wird es konzeptionell recht einfach, auch gemischten Verkehr zu modellieren und die Auswirkungen auf das gesamte Verkehrssystem zu quantifizieren.

Abb. 15.1 Visualisierung der verwendeten dynamischen Größen anhand eines SUMO [17]-Screenshots. Fahrtrichtung ist von rechts nach links

Im Folgenden liegt der Fokus auf dem Prozess des Fahrzeugfolgens, welches den wichtigsten, aber nicht den einzigen relevanten Prozess darstellt, der darüber bestimmt, wie sich der Verkehrsablauf auf Straßen entwickelt.

Jedes Fahrzeug wird dabei beschrieben durch seine Position x(t), die von der Zeit t ab-

hängt und in Bezug auf eine Referenz (z. B. Anfang des aktuellen Straßenabschnitts) definiert ist, durch seine Geschwindigkeit v(t) und seine Beschleunigung a(t) (s. Abb. 15.1).

Bei Mehrspurverkehr kommt noch die Spur hinzu, auf der das Fahrzeug sich befindet, oder die sogenannte Lateralkoordinate, also der Abstand des Fahrzeugs vom Fahrbahnrand. Genau genommen müsste auch noch eine Indizierung jedes Fahrzeugs eingeführt werden, was im Folgenden durch die Beschreibung des vorausfahrenden Fahrzeugs mit großen

Buchstaben X (t),V (t), A(t) umgangen wird. Mit den zusätzlichen Variablen Abstand

g(t) = X (t) - x(t) - £ und Geschwindigkeitsdifferenz Äv(t) (s. Abb. 15.1) kann dann die Reaktion des Folgefahrzeugs definiert werden als die Beschleunigung, die das Fahrzeug in einer gegebenen Situation appliziert:

Diese abstrakte Gleichung (15.1) ließe sich noch weiter abstrahieren, z. B. fehlt hier ein Modell für Fahrerfehler und für Fluktuationen ebenso wie die Modellierung einer Reaktionszeit. Ein entsprechendes Fehlermodell wird im Abschn. 15.3 vorgestellt, die Reaktionszeit bleibt ganz außen vor, weil sie ein enorm schwieriges Konstrukt ist: In Messdaten zeigt sich zwar sehr oft, dass die Beschleunigung eines Folgefahrzeugs rund zwei Sekunden der Beschleunigung des vorausfahrenden Fahrzeugs hinterherhinkt, es gibt aber auch Fälle, in denen das Folgefahrzeug rund eine Sekunde vor dem Führungsfahrzeug zu bremsen beginnt – z. B. bei der Annäherung an eine Lichtsignalanlage (Ampel). Im Folgenden soll die abstrakte Gleichung (15.1) genauer spezifiziert werden. Beispielsweise ist es eine wichtige Frage für die folgenden Betrachtungen, wie genau ein autonomes Fahrzeug sich bewegt. Überraschenderweise funktionieren viele der aktuellen adaptiven Abstandsregler und auch veröffentlichte Steuerungsalgorithmen für automatische Fahrzeuge [9], [10], [11] als linearer Regler:

Typische Parameter für die beiden Zeitkonstanten sind dabei durch a = 1 / 20 1/s2 und

b = 1 / 1,5 1/s gegeben; bei diesen Werten sind solche Regler so eingestellt, dass sie von Fahrern als angenehm und natürlich empfunden werden [12]. Für den bevorzugten Abstand

g* (v) = vt wird im Wesentlichen die gesetzliche Regel übernommen, wenn auch mit einem

etwas kleineren Wert der bevorzugten Zeitlücke T, z.B. t = 1,5 s, der auch im Folgenden verwendet wird. Das Modell in Gleichung (15.2) wurde ursprünglich von Helly 1959 [13] als ein Modell eingeführt, das einen menschlichen Fahrer beschreiben soll. Das unterstreicht die Behauptung, dass viele Fahrermodelle und die Modelle für das autonome Fahren mathematisch sehr ähnlich sind. Worin sie sich unterscheiden, wird versucht in Abschn. 15.3 zu spezifizieren.

Das Modell in Gleichung (15.2) hat Grenzen. Beispielsweise ist es nur für bestimmte Parameter (a , b ) sicher und auch nur für eine kleine Auswahl von Parametern kolonnen-

stabil. Unter Kolonnenstabilität wird verstanden, dass auch eine Kette von mehreren Fahrzeugen, die hintereinander herfahren, nicht anfängt sich aufzuschaukeln: Aus kleinen Störungen, z. B. ein schwaches Bremsen des ersten Fahrzeugs wird entlang der Kette ein immer stärkeres, das im Extremfall bis zum Stillstand eines der Fahrzeuge in der Kette führen kann. Oder auch zu einem Verkehrsunfall. Dieses Verhalten ist bislang nur in sehr speziellen Situationen gefunden worden (s. z. B. [19]), es scheint nicht der Normalfall zu sein.

Allerdings werden die Parameter mit Kolonnenstabilität von menschlichen Fahrern als nicht sehr angenehm empfunden, weshalb AIC-Regler hier meistens einen Kompromiss eingehen, der zu einer schwachen Kolonneninstabilität führt [12].

Daher wird hier ein anderer Ansatz betrachtet, der in der Tradition der Modelle in [14], [15], [16] steht. In einem ersten Schritt wird überlegt, dass eine wichtige Bedingung für sicheres Fahren erfüllt ist, wenn Folgendes gilt:

d (v) + vt £ D(V ) + g .

In dieser Gleichung sind D(V ),d (v) die Bremswege des führenden und des folgenden Fahrzeugs. Offensichtlich setzt dieses Modell voraus, dass der Folgefahrer eine Vorstellung davon hat, ob und wie das Führungsfahrzeug fahren bzw. bremsen wird. Das ist sicherlich nicht vollständig korrekt, dennoch funktioniert Fahren in vielen Fällen unter der Annahme, dass die anderen Fahrer sich so ähnlich verhalten wie man selbst.

Allerdings bedeutet das auch, dass sich der aus dieser und der folgenden Gleichung resultierende Ansatz durch ein „merkwürdiges“ Verhalten des Führungsfahrzeuges austricksen lässt. Verfügt das Führungsfahrzeug z. B. über ein Notbremssystem, das Verzögerungen bis zu 12 m/s2 erlaubt, dann verletzt es die Annahme, dass es sich so ähnlich verhält wie das Folgefahrzeug – typische Verzögerungswerte menschlicher Fahrer liegen im Bereich bis maximal 4 m/s2 –, und weist damit einen viel kürzeren Bremsweg auf. Ein wenig lässt sich das noch ausgleichen, wie auch die folgenden Simulationsergebnisse zeigen, weil die aus diesem Ansatz resultierenden Gleichungen bei starkem Bremsen des Führungsfahrzeugs im Extremfall ihre eigene Bremsverzögerung überschreiten können. Andererseits ist dieser Ansatz auch einer, den man für die Entwicklung von Fahrermodellen für die Verkehrssicherheit weiter treiben könnte.

Das obige Modell lässt sich weiterentwickeln, indem verlangt wird, dass die Sicherheitsbedingung nicht nur zur aktuellen Zeit t erfüllt sein soll, sondern auch noch eine gewisse Zeit t + T in der Zukunft. Die Zeit T ist dabei die Antizipationszeit, also die Länge des Planungshorizonts des Fahrers. Bezeichnet die Notation x den Wert der Variablen x zur Zeit t + T,wird aus der Sicherheitsgleichung:

d (v¢) + v¢t £ D(V ¢) + g¢ .

Diese Gleichung kann aber nun nach der Beschleunigung a umgestellt werden. So ist

x¢= x + vT + aT 2 / 2, und zusammen mit einem Ansatz für die Bremswege d (v) = v2 / (2b)

lässt sich dann die Sicherheitsgleichung nach a auflösen. Dafür gibt es verschiedene Ansätze, hier wird vor allem der exakte Ansatz verfolgt:

Interessanterweise führt dieser Ansatz für T --- 0 auf den in SUMO [17] verwendeten zurück.

Eine andere Möglichkeit, [15] folgend, ist eine Taylor-Entwicklung von d (v¢) = d (v + aT ) " d (v) + aTv / b(v) , was interessanterweise auf eine lineare Gleichung für a führt, die einfacher zu lösen und numerisch weniger komplex ist:

V 2 - v2 + 2b(T Äv + g - vt ) .

a = T (2bt + bT + 2v)

Obwohl diese Gleichungen kompliziert aussehen und es einigermaßen unwahrscheinlich ist, dass Menschen tatsächlich eine Wurzel aus einem komplizierten Ausdruck ziehen können, sieht sie grafisch dem Helly-Modell doch sehr ähnlich. Das ist deshalb interessant, weil es sich in der Tat gut vorstellen lässt, dass ein menschlicher Fahrer in der Lage ist, eine lineare Abwägung etwa nach dem Motto „Ich bin etwas schneller als der vor mir, aber der Abstand ist groß, daher muss ich gegenwärtig nichts ändern“ durchführt. Eine Vorstellung, wie diese Beschleunigungsfunktion für realistisch gewählte Parameter aussieht, vermittelt Abb. 15.2. In diesem Zusammenhang ist es noch interessant zu wissen, ob dieser Ansatz tatsächlich zusammenstoßfrei ist. Die simple Antwort lautet: nein. Unter bestimmten Bedingungen lässt sich die Dynamik, die aus Gleichung (15.3) folgt, in der Tat austricksen. Das sei an einer Kette von Fahrzeugen demonstriert, die einem Führungsfahrzeug folgen, das nach

einem bestimmten Protokoll a0 (t) fährt. Dabei lassen sich als wesentliche Parameter in der

Dynamik des Führungsfahrzeugs vor allem die maximalen Beschleunigungen parametrieren. Von besonderem Interesse sind dabei die maximalen Bremsverzögerungen und die Frage, ob man bei dem Modell einen Zusammenstoß produzieren kann.

Abb. 15.2 Darstellung der Beschleunigungsfunktionen. Statt hier die gesamte Funktion zu zeichnen, wird nur der durch zwei Linien begrenzte Bereich im (Äv,g) -Raum dargestellt, in dem die Beschleunigung beider Modelle klein ist. Links von den Linien bremst das Fahrzeug, rechts davon beschleunigt es. Die linke Abbildung ist das Modell von Gleichung (15.3), die rechte das HellyModell (15.2). Die gewählten Parameter sind V = 20, t = 1,5, b = 4, T = 2

Natürlich kann kein Verfahren wirklich alle Möglichkeiten durchtesten. Das folgende Vorgehen ermöglicht aber zumindest eine Abschätzung, wie sicher die Modelle sind. Dazu folgen in einer Simulation n = 50 Fahrzeuge einem Führungsfahrzeug, das nach einem bestimmten Protokoll seine Beschleunigung wählt. Unter anderem verzögert es immer wieder bis zum Stillstand, zum Teil auch mit Bremsverzögerungen, die an der Grenze der derzeitigen fahrdynamischen Möglichkeiten sind. Aus Untersuchungen zu diesem Thema ergab sich sehr schnell, dass die Modelle nur dann ohne Unfall auskommen, wenn die Antizipationszeit T beim Bremsen auf einen kleineren Wert gesetzt wird. Im Folgenden werden die Modelle immer mit T = 2 s beim normalen Fahren und mit T = 0,5 s beim Bremsen betrieben.

Aus den entsprechenden Simulationen geht dann hervor, dass unter diesen Randbedingungen keine Unfälle mit dem Modell in Gleichung (15.3) auftreten, jedenfalls nicht mit dem gewählten Protokoll a0 (t) . Das Helly-Modell ist allerdings mit den gewählten Para-metern nicht so tolerant und produziert gelegentlich Auffahrunfälle.

 
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