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20.3.2 Zustandsunsicherheit

Die Zustandsunsicherheit eines detektierten Objektes wird gemäß der Bayes-Theorie durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschrieben, anhand derer der wahrscheinlichste Gesamtbzw. Einzelzustand sowie mit gewisser Wahrscheinlichkeit auch mögliche Variationen hiervon bestimmt werden können. Im Fall einer mehrdimensionalen, normalverteilten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Zustandsunsicherheit durch eine Kovarianzmatrix vollständig repräsentiert.

Bei der Schätzung statischer Größen wie beispielsweise die Fahrzeugabmessungen kann deren Zustandsunsicherheit durch wiederholte Messungen immer weiter verringert werden. Der Schätzwert auf Basis der verfügbaren Messungen konvergiert gegen den wahren Wert, falls kein systematischer Sensorfehler, beispielsweise in Form eines Offsets, vorliegt. Bei der Schätzung von dynamischen, zeitveränderlichen Zuständen wie der Objektposition oder Objektgeschwindigkeit ist aufgrund der Bewegung des Objektes zwischen den Messzeitpunkten die Konvergenz gegen einen wahren Wert nicht mehr gegeben. Bei der Bewer- tung der Güte der Zustandsschätzung wird daher gefordert, dass der Fehler im Mittel null ist und die Unsicherheit möglichst gering.

Das grundlegende Verfahren zur Behandlung von Zustandsunsicherheiten ist das allgemeine Bayes-Filter [10]. Bei ihm werden der geschätzte Zustand eines Objektes und die dazugehörige Unsicherheit durch eine mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p (engl. probability density function, PDF) repräsentiert:

pk +1(xk +1 | Z1:k +1) .

Sie hängt allgemein von allen bis zum Zeitpunkt k + 1 vorhandenen Messungen

Z1:k +1 = {z1,¼,zk +1} ab. Dies wird durch die gewählte Schreibweise einer bedingten Wahr-

scheinlichkeit ausgedrückt, d. h., die Wahrscheinlichkeit für den Zustand des Systems x ist bedingt durch die Messungen Z.

Das Bewegungsmodell eines durch die Sensoren erfassten Objektes für den Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen ist durch eine Bewegungsgleichung der

Form

xk +1|k = f (xk ) + vk

zu beschreiben, wobei vk eine additive Störgröße darstellt, die mögliche Modellfehler repräsentiert. Die Bewegungsgleichung drückt aus, in welchem Zustand wie Ort, Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung sich das Objekt zum nächsten Zeitpunkt wahrscheinlich befindet. Alternativ kann diese Bewegungsgleichung auch durch eine Markov-Übergangswahrscheinlichkeitsdichte ausgedrückt werden:

fk +1|k (xk +1 | xk ).

Die Markov-Übergangswahrscheinlichkeitsdichte ist letztendlich nur eine andere mathematische Schreibweise für dieselben Modellannahmen. Um die Gleichungen praktisch berechenbar zu halten, ist es üblich, eine Markov-Eigenschaft erster Ordnung vorauszusetzen. Diese Eigenschaft sagt vereinfachend aus, dass der zukünftige Zustand eines Systems nur vom zuletzt bekannten Zustand und der aktuellen Messung abhängt, nicht aber von der gesamten Historie von Messungen und Zuständen. Die Markov-Eigenschaft erster Ordnung ist damit eine vorausgesetzte Systemeigenschaft.

Im konkreten Fall hängt der prädizierte Zustand xk +1 des Objektes vor dem Vorliegen der neuen Messung dann nur noch vom zuletzt ermittelten Zustand xk ab, da dieser implizit

die gesamte Messhistorie Z1:k = {z1,¼,zk} enthält.

Die Vorhersage des aktuellen Objektzustandes xk bis zum nächsten Messzeitpunkt k + 1 erfolgt schließlich unter Berücksichtigung der Modellannahmen anhand der Chapman-Kolmogorov-Gleichung

pk +1|k (xk +1 | xk ) = ò fk +1|k (xk +1|xk ) pk (xk )dxk .

Dies wird als Prädiktionsschritt des Bayes-Filters bezeichnet.

Der Messprozess der Sensoren lässt sich allgemein durch eine Messgleichung der Form

zk +1|k = hk +1(xk +1) + wk +1 ,

beschreiben. Die Messfunktion h(.) beschreibt, wie Messungen und Zustandsgrößen zusammenhängen. Kann beispielsweise eine Zustandsgröße direkt gemessen werden, handelt es sich bei h(.) um eine Eins-zu-eins-Abbildung. Die stochastische Störgröße wk +1 repräsentiert hierbei einen möglichen Messfehler. Eine alternative mathematische Repräsen-

tation der Messgleichung ist die Likelihood-Funktion

g(zk +1|xk +1) .

Bei Vorliegen der aktuellen Messungen zk +1 wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Objektzustandes aktualisiert. Die Berechnung der aktuellen Schätzung des Zustands erfolgt anhand der Bayes-Formel

Dieser zweite Schritt zum Einbringen der aktuellen Messung wird als Innovationsschritt bezeichnet.

Das durch Prädiktionsschritt und Innovationsschritt kurz beschriebene rekursive Schätzverfahren wird als allgemeines Bayes-Filter bezeichnet, worauf alle heute üblichen Methoden und Implementationen der stochastischen Zustandsschätzung basieren. Neben den Prozess- und Messgleichungen benötigt das Verfahren nur eine Apriori-PDF für den Ob-jektzustand p0 (x0 ) zum Zeitpunkt k = 0. Das Filter ist in dieser allgemeinen Form jedoch nicht effizient zu implementieren.

Unter der Annahme von normalverteilten Messsignalen sowie linearen Modellen ermöglicht das Kalman-Filter [9] eine einfache analytische Implementation des allgemeinen Bayes-Filters. Da eine Gauß-Verteilung durch ihre ersten beiden statistischen Momente,

d. h. den Mittelwert sowie die zugehörige Kovarianzmatrix, vollständig beschrieben ist, stellt die zeitliche Filterung der Momente eine mathematisch exakte Lösung dar. Eine Anwendung des Kalman-Filters auf Systeme mit nichtlinearen Prozessoder Messgleichungen lässt sich anhand des Extended-Kalman-Filters (EKF) [12] sowie des UnscentedKalman-Filters (UKF) [15] realisieren. Während das EKF die Systemgleichungen unter Nutzung einer Taylorreihen-Approximation linearisiert, ist das Ziel des UKF eine stochastische Approximation anhand sogenannter Sigma-Punkte [15].

Unabhängig von der konkreten Implementation ist allen auf dem allgemeinen BayesFilter basierenden Verfahren gemein, dass sie fortlaufend ein probabilistisches Maß für die Unsicherheit der aus den Sensordaten bestimmten physikalischen Größen liefern. Hierdurch lassen sich Ausfälle von Sensoren, aber auch eine Degeneration der Leistungsfähigkeit einzelner Sensoren zuverlässig erkennen. Weichen beispielsweise Messdaten einzelner Sensoren signifikant, d. h. außerhalb der statistisch zu erwartenden Schwankungsbreite, ab, liegt eine entsprechende Leistungsminderung vor.

Es bleibt jedoch festzuhalten, dass eine Einschränkung der Sensorfunktion nur erkannt werden kann, nachdem sie aufgetreten ist. Außer Trendaussagen bei langsamer Degeneration ist keinerlei Vorhersage der zukünftigen Wahrnehmungsleistung bezogen auf die Zustandsunsicherheit möglich.

 
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