< Zurück   INHALT   Weiter >

3.1.2.1 Mathematik in Ägypten

Zahlzeichen

Im Gegensatz zu den Stadtstaaten Mesopotamiens entwickelte Ägypten sehr früh ein umfassendes Staatsgebilde, das nach der Vereinigung von Unter- und Oberägypten und der Gründung einer neuen Residenz in Memphis für fast ein Jahrtausend Bestand hatte. Die Ausdehnung dieses frühen Großstaates macht bei den großen zu überwindenden Distanzen und der Vielfalt zu integrierender lokaler Kulturen einheitliche Verfahrensweisen und die überregionale Abstimmungen von Handlungen nötig. Hierzu wird schon sehr früh ein umfassendes Regelwerk fixiert. Zugleich wird eine umfassende Infrastruktur aufgebaut, die die verschiedenen, auf jeweils andere Produktionsschwerpunkte ausgerichteten Regionen verbindet. Sicher war durch die alle die verschiedenen Teilbereiche kennzeichnende Lebensader des Nils, die zugleich auch einen gemeinsamen, eindeutig ausgerichteten, natürlichen Transportweg bildete, eine entsprechende Abstimmung erleichtert. Doch ist diese umfassende kulturelle Integrationsleistung in der Bildung eines vereinigten altägyptischen Reiches, das über Jahrhunderte stabilisiert blieb, nicht hoch genug einzuschätzen. Ägypten war damit die erste Hochkultur, die eine derart umfassende Struktur aufbaute. Das hat dann auch zur Folge, dass eine Reihe von kulturellen Entwicklungen angestoßen wurde, die in enger Verzahnung miteinander dann eben auch sehr früh eine Vielfalt von Kulturtechniken etablierten. Das beginnt beim Aufbau einer in ihren Strukturen und ihren Produktionsformen abgestimmten Landwirtschaft, dem Ausbau einer Infrastruktur, die es überhaupt ermöglichte, die gewaltigen Baumaßnahmen, die schon mit der Gründung der neuen Residenz Memphis verbunden waren – wir sind in den Jahren um 3000 v. Chr. (!) – voranzutreiben. Dieser Versuch einer umfassenden Integration manifestiert sich in einer Schrift, die, zum einen, eine Vielfalt lokaler Sprachen sehr rasch vereinheitlichte und, zum anderen, in ihrer kultischen Funktion und der sehr früh erreichten Standardisierung ihres ornamentalen Charakters zur frühen Ausbildung eines für diese Kultur insgesamt kennzeichnenden Spektrums von grafischen Grundformen und damit eines in dieser Kultur beheimateten gemeinsamen Schatzes an ästhetischen Formen führte. Dabei ist diese Standardisierung von bildnerischen Ausdrucksformen, die in den Schriftzeichen deutlich wird, kennzeichnend für die gesamte Kunst Ägyptens. In ihrer umfassenden Ausrichtung an vorgegebenen Normen zur Gestaltung und zum Dekor von öffentlichen Bauten wurde sehr rasch eine mögliche Vielfalt lokaler Kulturausprägungen vereinheitlicht. Diese Vereinheitlichung funktionierte über eine Codifizierung entsprechender Standards. Dies wurde erreicht durch Vorschriften, die dann ggf. schriftlich zu fixieren waren, so dass diesen dann auch über längere Zeitperioden entsprochen werden konnte. Da derart die Ausdrucksformen kodifiziert waren und demnach die einzelnen Bauteile, die derart für eine Darstellung dieser Kultur genutzt wurden, strikten Normen unterworfen waren, war nun wiederum eine nahezu militärische Organisation des Kunstschaffens möglich. Diese ist kennzeichnend für die Organisation des Bau- und Dekorationsbetriebes von Ägypten. Nur so ließen sich die umfassenden Baumaßnahmen dieses Reiches in Angriff nehmen. Dies schließlich erklärt, wie sich in Ägypten eine Vielfalt von monumentalen Baumaßnahmen realisieren ließ, ohne doch die Wirtschaftskraft dieses Landes mitteloder zumindest langfristig zu überfordern.

Dabei sind die großen Pyramiden, die sich von Djoser an als Großleistungen ägyptischer Baukunst erhalten haben, ein Zeichen dafür, wie umfassend hier eine Bauplanung realisiert wurde. Schließlich waren bei der Masse von hier einzusetzenden Arbeitskräften umfassende Abstimmungsarbeiten, beginnend mit der Rekrutierung der Arbeitskräfte bis hin zur Organisation derartiger Arbeitseinsätze und der Versorgung der Arbeitskräfte, notwendig. Zugleich galt es, die notwendigen Investitionen langfristig abzusichern, die Materialien für den Bau und die benötigten Nahrungsmittel jeweils über einen langen Zeitraum bereitzustellen, bzw. deren Versorgung abzusichern. Jan Assmann sieht in diesen Bauten im Übrigen nun auch nicht einfach nur Monumente zur Verherrlichung der herrschenden Pharaonen. Ihm zufolge sind dies nicht einfach nur Monumente zur Demonstration der Macht dieser Herrschergruppe, vielmehr waren dies Inszenierungen, denen schon im gemeinsamen Bauen Bedeutung zukam. Dadurch, dass hier sehr viele Menschen aus den verschiedenen Bereichen Ägyptens interagierten, sich etwa nacheinander am Bau einer Pyramide betätigten, gewannen sie – ihm zufolge – sehr augenfällig eine neue, sie durch das Bauen zusammenschmelzende Identität. Das dann errichtete Bauwerk war so dann nicht einfach nur Demonstration der Macht und Bedeutung des Pharaos, der als Gottkönig für die ägyptische Kultur insgesamt eine zentrale Bedeutung hatte. Es war zugleich auch Dokumentation dieser neu gefundenen kulturellen Identität, die in diesem gemeinsam errichteten Bauwerk ja ihren direkten Niederschlag fand. So beschreibt Jan Assmann, dass durch dieses gemeinsame Tun im Bau dieser zudem religiös motivierten Monumentalarchitekturen große Bevölkerungsteile, die direkt – durch die Arbeit an der Pyramide – oder indirekt – durch die Vorsorgung der an den Pyramiden Arbeitenden – in dieses Werk eingebunden waren, in ihrem Zusammenwirken diesen Staatsverbund Ägypten auch unmittelbar und nachhaltig erlebbar machten.[1] Dabei funktioniert dieses Zusammenwirken nach Regeln, die die verschiedenen Herrschaftsbereiche Ägyptens in ihrer Organisation sehr direkt miteinander verbanden und so gemeinsame Wertsetzungen und Handlungsziele, aber ebenso auch die Formen der Organisation und Lenkung sozialer und wirtschaftlicher Prozesse nachhaltig aufeinander abstimmten.

Deutlich wird damit aber auch, dass für die Organisation dieser Kultur somit umfassende und klare Regeln und zur Bewertung und ggf. auch zur Bemessung einzelner Handlungen notwendig sind. So ist denn auch ein Gutteil schon dieser frühen Kultur in Organisationsleistungen abgebildet. Demnach ist denn auch schon früh ein praktisches konzeptionelles Denken entwickelt und – wie zu zeigen sein wird – sind auch schon früh Berechnungen als Grundlage der Integration, Standardisierung und Abstimmung einzelner Handlungsfolgen zu finden. Damit wird dann diese Form der Berechnung und mit ihr das Mathematische zu einem integralen Bestandteil der ägyptischen Kultur. Und so wurde von einem Kulturträger Ägyptens, einem Schreiber, seinerzeit eben auch verlangt, dass er in den entsprechenden Berechnungsverfahren zuhause ist.

Damit ist diese Kultur nun aber nicht einfach als eine analytisch ausgerichtete Kultur zu verstehen. Im Gegenteil, das Vorstellungsgefüge des alten Ägyptens, in das sich dann auch die mathematischen Verfahren einbinden, ist aus einem magischen Verständnis der Organisation der Natur erwachsen. Die Natur, die nach den Regeln funktioniert, in denen die Götter mit ihr und in ihr umgehen, ist ja zugleich auch der Raum, in dem der Mensch sich in seiner Kultur einbindet. Natur und Kultur greifen insoweit ineinander. Sie verzahnen sich und müssen in dieser Verzahnung begriffen werden. Damit sind die vielfältigen Reaktionen der Natur in der Kultur abzubilden, wie denn auch die Kultur in ihren Riten, in den durch sie getragenen Handlungen auf die Natur rückwirkt. Ist diese Wechselwirkung in der rechten Weise geartet, so kann in diesem Gefüge die Vielfalt der an sich turbulenten und ggf. auch gegeneinander agierenden Strömungen im Bereich jeweils der Natur und der Kultur selbst aufeinander abgestimmt werden. Es geht nun darum, eine Balance zwischen den Bereichen der von den Göttern getragenen Natur und den vom Menschen geprägten Strukturierungen, mit denen er ja auch in die Natur eingreift – indem er etwa Feldfrüchte anbaut oder einen Kanal anlegt – zu erhalten, ja gegebenenfalls durch gezielte Eingriffe wieder in ihre Balance zu bringen. Das ist genau das Verständnis von Natur, das wir eingangs für die Hopi charakterisierten, die eine Handlungsfolge entwickelten, in der sie die Natur in ihrer Welt nachstellten und so aus ihrer Kultur heraus zu stabilisieren meinten. Dies geschieht auch im alten Ägypten, und so ist bei aller Diversifizierung der verschiedenen hier nur summarisch angesprochenen kulturellen Praktiken, wie etwa den Produktionen in Architektur und Schrift, der Naturbegriff der alten Ägypter, in diesem Sinne, noch ein Naturbegriff des Magischen, der sich in Mythen abbilden und nach den in diesen Mythen erzählten Geschichten strukturieren lässt. Deutlich wird dies denn auch am ambivalenten Charakter der Hieroglyphen, die nicht einfach nur einen sprachlichen Zusammenhang repräsentieren und demzufolge etwas abbilden. Ihnen kommt in ihren Bezeichnungen in ihrem Charakter als eigenständige, das Andere in sich bindenden Zeichen zugleich auch immer etwas Beschwörendes zu. Sie formieren eine eigene Realität, die das in ihnen Bezeichnete nun ihrerseits beeinflussen und über die ihn ihnen gefundenen Bezeichnungen dann auch verändern kann.

Ziel all dieser Beschwörungen, seien sie als Geschichte aufgeschrieben oder in Monumentalarchitekturen abgebildet, die sinnigerweise ja immer auch beschrieben sind, ist es, die Sphäre des Göttlichen, in der sich das Natürliche organisiert, und die Sphäre des Menschlichen, die mit ihrer Kultivierung die Natur in einer neuen Weise eingebunden hat und ggf. auch weiter einbindet, aufeinander abzustimmen. Dabei ist die Vielfalt der Menschen mit ihren Spannungen und Handlungen wie auch die Vielfalt der Naturkräfte jeweils in ihrem eigenen Bereich in einer Balance zu halten. Dies kann erreicht werden, indem sich diese Bereiche aufeinander beziehen und aufeinander abstimmen. Diese Abstimmung ist in der Gestalt möglich, die als Gott die Natur bestimmt und die als Mensch die Kultur in ihren Regeln hält. Diese zentrale Vermittlung leistet der Pharao, der als Inkarnation des Göttlichen in seiner Kultur als Mittler zwischen dem Göttlichen und dem Menschlichen die Ordnungsmacht repräsentiert, mit der das Gefüge der Welt und die Strukturen des Menschen zusammenzubinden waren. Als ausgleichende Macht lebt er demnach im Ritus und ist in diesem Rituellen durch den Kult, in dem sich seine Präsenz überhöhen lässt, abgebildet. Dieser Pharaonenkult ist demnach nicht einfach Staatsreligion. Dies würde ja eine Zwecksetzung und damit ein Auseinanderlegen von Staat als der Organisationsform eines sozialen Miteinanders und dem Kult zur Voraussetzung haben, wohingegen im ägyptischen Verständnis der Staat nur im Kult ist, und sich demnach als Staat dann auch in der Personifizierung des Kultischen, im Pharao, abbilden lässt. So wird dann eine Pyramide, als Mausoleum, für den im Kult ja noch Weiter- und Fortwirkenden sinnvoll. Ist doch der einzelne Pharao im Kult in eine Folge gesetzt, in der er als Einzelner lebendig bleibt. Damit ist diese Gottheit dann auch nach ihrem irdischen Tod im Kult weiter präsent und wirksam. Resultat ist ein kultisches Gefüge des Abmessens und des Ausgleichens, in dem nun aber der Einzelne keineswegs verschwindet. Dadurch dass er sich zusehends als agierendes Element in diesem Gefüge erfährt, wird er sich zusehends seiner Funktionen bewusst wird so auch langsam als Person – in unserem Verstande – verfügbar.

Nach dem Zusammenbruch der Ordnungsstrukturen des Alten Reiches wird diese Grundidee eines sich im Kult definierenden Staates denn auch keineswegs aufgegeben. Sie erwächst vielmehr nach der Konsolidierung dieses Staatsgefüges erneut. Wie denn das Mittlere Reich das vormalige Alte Reich in all seinen Strukturierungen wiederbelebt und dabei das Herrschaftsgebiet dieser neu erwachsenen Kultur noch erweitert. Auch in diesem neuen Staat bleibt der Pharao der Mittler zwischen den Welten des Göttlichen und des Menschlichen. Er gleicht in seinen Handlungen und durch sein dem Ritus folgendes Tun die Versetzungen in der Welt aus und eröffnet so auch dem anderen sich in seinem Herrschaftsbereich befindlichen Einzelnen, sich in seiner Welt so zu verhalten, dass dieser nun selbst eine dann ebenfalls aus den Begrenzungen des bloß Irdischen herausführende Existenz gewinnen kann. Es ist hier nicht der Ort und der Raum, eingehender darzustellen, was in einem solchen Verständnis der Organisation des Staates formiert wird. Die Idee ist, sehr grob gesehen, dass sich derart im Gefüge der Gesellschaft der Kosmos selbst abbildet, so wie sich im Pharao ja in seinem Auftreten und seinen Handlungen das Prinzip des Göttlichen auf dieser Erde fand. Demnach muss sich dann der Einzelne in seinen Handlungen nach dem Vorbild und nach den Regeln, die der Pharao als Mittler zwischen den Sphären setzt, orientieren. Er bleibt damit noch im Raum des Mythos, der ihn in seinem Handeln bestimmt. Er hat sich in diesem Mythos aber dann doch auch selbst als Person gefunden und sucht so dann im Mythos auch sein persönliches Heil. Das ist dann nicht mehr ein magisches Verständnis, in dem der Einzelne letztlich im Ganzen absorbiert wird und sich nur aus diesem Ganzen definiert. Hier ist der Einzelne für sich, in sich bestimmt und so im Ritus nicht einfach abgebildet, sondern durch den Ritus nur mehr geführt. Er tritt als sich selbst reflektierender Handelnder auf, und sucht so in einer neuen Weise nach Begründungen und Sicherungen für sein Tun. Das finden wir dann auch wieder im Umgang mit und in der Darstellung von Wissen. Allerdings sind Wissen und Mythos auch hier nicht so einfach zu trennen. Auch bleibt zu bedenken, dass in einer Gesellschaft, die ein Gutteil ihrer Produktivität und ihrer Organisationskraft in den Kultus umsetzt – das zeigen die Pyramiden – Naturwissen aus dem in diesem Kultus abgebildeten Mythos nicht einfach auslöst. Doch ist zu beachten, dass in dieser Gesellschaft zumindest ab dem Mittleren Reich der Einzelne und auch der einzelne Pharao sich in Verpflichtungen fanden, die diese ganz persönlich in ihrem Handeln forderten. Er selbst war hier als Einzelner bei etwaigen Verfehlungen Schuld an seinem Unheil und setzte mit dieser Schuld dann aber auch seine Gesellschaft insgesamt ins Unrecht. So war dann Ziel dieser Gesellschaft eine integre Person, ein weises, sich in seinen Handlungen am Ordnungsgefüge des Kosmos ausrichtendes Tun, in dem so auch vom Einzelnen selbst, ausgerichtet an seiner Einsicht in das Ganze, Maß zu finden und Maß zu halten war.

Natürlich ist in solch einer umfassend organisierten, sich über einen großen Raum erstreckenden Kultur zu bemessen, was sich hier wie ereignete und wie hier etwaigem Unbill gegenüber zu reagieren war. Hierin lag schließlich denn auch die Funktion des Pharaos, der in seiner Person und mit seiner Administration die Ordnung seiner Gesellschaft in ihrer instantanen Organisation und mit dieser aber zugleich auch die Organisation des Weltganzen, die sich in dieser sozialen Organisation widerspiegelte, in ein Gleichgewicht zu führen und in diesem lebendig zu halten hatte. In dieser Kultur war demnach die Berechnung von vornherein ein integraler Bestandteil der Organisation und Abstimmung des Alltagslebens. Nicht nur, dass die regelmäßigen Überschwemmungen des Nils schon früh zu einer differenzierten Darstellung des Jahreskalenders führten. Auch die Organisation der Landwirtschaft in den regelmäßig überschwemmten Gebieten, in der dann nach der Überschwemmung die zu bearbeitenden Areale und die Besitzstände neu zu vermessen und – bei Verlagerungen des Flusses – ggf. auch neu zu ordnen waren, erforderte ein differenziertes Berechnungsverfahren, das es erlaubte, hier Verbindlichkeiten zu formulieren. In der weiteren Organisation der Landarbeit, der Ausrichtung komplexerer Arbeiten und der Bemessung von Warenfluss und Abgaben zwischen den verschiedenen Gebieten dieses Reiches waren ebenfalls schon sehr früh entsprechende Verfahren darzustellen und über einen größeren Kulturraum verbindlich zu machen.

Und so entwickelten sich auch schon im alten Ägypten umfassende Regeln für den Umgang mit den Maßen und Zahlen, über die solch eine Ordnung herzustellen war. Dabei formierte sich schon früh eine eigene Berufsgruppe, die für solche administrativen Tätigkeiten, zu denen dann auch der Umgang mit Zahlen gehörte aus, ausgebildet war. Dies war die Gruppe der Schreiber, denen durch ihre Beherrschung der Schrift und als Administratoren in dem Großstaat Ägypten auch eine hohe soziale Stellung zukam. Über die Aufgaben solch eines Schreibers im Neuen Reich berichtet uns ein Brief, der etwa um 1250 geschrieben wurde. Hierin wirft ein Schreiber einem Kollegen Unwissenheit vor und führt aus, was ein Schreiber denn nun auch wirklich können müsste, und was sein Kollege wohl eben nicht beherrschte.[2] Zu diesen zu fordernden Fertigkeiten gehört dann etwa die Rechnung, nach der der Bedarf an Ziegeln für eine Rampe von vorgeschriebener Form und Größe zu ermitteln ist. Ferner muss der Schreiber die Anzahl der Arbeiter berechnen, die für den Transport eines Obelisken benötigt werden. Berechnen muss er dann auch den Proviantbedarf eines Heeres, oder die Anzahl der Leute, die gebraucht werden, um ein Denkmal innerhalb von 6 Stunden aufzustellen. Hierzu findet sich in diesem Brief folgende Formulierung: Man sagt zu Dir: Leere den Kasten aus, der mit Sand geladen ist unter dem Denkmal deines Herrn, das man aus dem roten Berge gebracht hat. Es mißt 20 Ellen, wenn es auf dem Boden ausgestreckt liegt, und 20 Ellen in der Breite[3]. Der Schreiber muss nun berechnen, wie viele Männer er benötigt, um die entsprechende Statue in einem bestimmten Zeitraum aufzurichten. Dabei sah das Verfahren, nach dem die Statue aufgerichtet wurde, wie folgt aus: Die Statue wurde auf einen Kasten gelegt, der mit Sand gefüllt war und der an dem Ort, an dem diese Statue aufzustellen war, ausgerichtet wurde. Dann wurde der Sand so unter der Statue entfernt, dass diese zum Stehen kam und dann im Untergrund befestigt werden konnte. Wenn nun der Schreiber berechnen soll, wie viele Männer für eine entsprechende Tätigkeit nötig sind, so umfasst die Aufgabenstellung die Kalkulation der benötigten Sandmasse, der erforderlichen Arbeitsleistung und eine präzise Vorstellung zur Organisation der Arbeiten. Die hier aufgeführte Liste zeigt damit nicht nur das Anforderungsprofil an einen Schreiber, dem hiermit – auch das ist zu sehen – keineswegs eine untergeordnete Position zukam, hat er doch die entsprechenden Verfahren zu planen und ihre Ausführung zu überwachen. Sie zeigt auch, dass die technologischen und architektonischen Leistungen der Ägypter auf einer wohldurchdachten Organisation beruhten, die umfassende Planungen zur Infrastruktur, zu den benötigten Materialien, die Rekrutierung von Arbeitern und deren Ernährung mit umfasste. Die Organisation beruhte – das zeigt dieser Text – nicht einfach auf Erfahrungswerten, sondern auf mathematischer Berechnung. Das Mathematische ist also nicht etwa nur in der Proportionslehre der entstehenden Bauten, sondern in viel umfassenderem Sinne eben auch in dem Wissensmanagement dieser Kultur abzulesen.

Das Zahlensystem der Ägypter ist ein Dezimalsystem mit Zeichen für 1, 10, 100, 1000, 10.000, 100.000 und 1.000.000. Diese Zeichen wurden – wie bei den Römern – additiv notiert. Grundlage aller Berechnungsverfahren waren Addition und Subtraktion. Und entsprechend diesen Verfahren waren dann auch Multiplikation und die Division in dieser Kultur verständlich. So wurde die Multiplikation als eine Reihung von Verdoppelungen beschrieben und so war umgekehrt die Division als eine Reihung von Halbierungen verstanden. Die Berechnungsverfahren kombinierten dann bei der Multiplikation Verdopplungen und Additionen. Ein Beispiel für eine derartige Berechnung findet sich in einem Papyrus aus der Zeit um 1600 vor Chr. Zu berechnen ist hiernach etwa 11 × 12. Um die Lösung zu finden, ist zunächst eine Tabelle anzulegen Der Multiplikand ist die Zahl 12, der Multiplikator die Zahl 11. Nun ist der Multiplikand (12) so lange zu verdoppeln, bis die Anzahl der Verdopplungen nicht größer als der Multiplikator ist. Daraus folgt dann die Anweisung: (1) verdopple zunächst die 12, 1 mal, (2) dann 2 mal, verdopple anschließend (3) die 2 × 12, das ist gleich 24, (5) dies verdoppele dann wieder, 4 × 12 = 48, auch dies verdoppele wieder, (6) du erhältst 8 × 12. Der nächste Schritt wäre nun die Verdopplung der 8. Nun darf aber nur solange verdoppelt werden, wie der Multiplikator (in diesem Falle 11) nicht überschritten wird. 2 × 8 wäre also 16. Demnach ist dieser nächste Schritt also nicht möglich. Insoweit ist die erste Teilphase der Berechnung dann auch abgeschlossen. Nun sind in dieser zweiten Berechnungsphase nunmehr nur (7) 1 + 1 + 1 × 12 zu 8 × 12 zu addieren, damit ist (3 + 8) × 12 = 11 × 12 errechnet.

Abb. 3.11 Ausschnitt des Papyrus Rhind – Problem 48

Die Division führten die Ägypter auf die einfachen Operationen des Halbierens zurück. Problematisch hieran war nur, dass die Ägypter nur Stammbrüche kannten. Das heißt, bei Zerlegungen von ungeraden Zahlen oder auch solchen Stammbrüchen erwachsen ggf. Schwierigkeiten. Das dann anzuwendende Verfahren ist derart gewählt, dass bei weiterer Zerlegung die nicht einfach zu halbierenden Werte in einer Folge von Stammbrüchen angegeben werden. Die Zerlegung in einer Folge von Halbierungen geschieht dann derart, dass zunächst eine gerade Zahl geteilt wird, dann wird der zur ungeraden Zahl (oder der Stammbruchfolge) fehlende Restbestand aufgewiesen, der nun seinerseits in Stammbrüche zu zerlegen ist. Der Papyrus Rhind (Abb. 3.11) gibt das hier zu verwendende Verfahren genauer an: Bei ungeraden Zahlen ist die Zerlegung von 2:n in Stammbrüche derart vorzunehmen, dass hierzu eine schon erstellte Tabelle zu konsultieren ist. Solch eine Tabelle gibt der Papyrus Rhind auch selbst an. Wobei in den Berechnungsverfahren der Ägypter diese Tabelle die einzige ist, die ein Schreiber konsultieren muss. Mit ihrer Hilfe kann er die verschiedenen Verdoppelungs- und Halbierungsreihen, über die er multipliziert oder dividiert, ausführen. Da beim Halbieren nur Potenzen von 1/2 auftreten, sind die dann erhaltenen Werte auch unschwer zu addieren.

Konkret sieht die Problembearbeitung, in der dann etwa eine Gleichung zu lösen ist, wie folgt aus: In der Aufgabe 24 des Papyrus Rhind ist zu berechnen, welchen Wert x hat, das – in unserer Schreibweise – über die Gleichung x + x / 7 = 19 zu bestimmen wäre. Das für den ägyptischen Schreiber angegebene Vorgehen funktioniert nun wie folgt: Ein Haufen (nämlich x) und ein 7tel dieses Haufens (x / 7) sind 19. Um zu berechnen wie groß x ist, teile man den Haufen x in sieben Teilhaufen. Die Ägypter rechnen also so, als hätten sie eine neue Unbekannte y über y =7 x eingeführt. Dadurch haben sie den Haufen x in sieben Teilhaufen zerlegt. Das bedeutet nun, dass es insgesamt 8 Teilhaufen gibt, die mit dem neuen Faktor y multipliziert 19 ergeben. Also ist nachzusehen, wie oft 8 in 19 enthalten ist. Dazu wird dann 8 so oft wie möglich verdoppelt; es bleibt dann nach 2 mal 8 ein Rest von drei. Um diesen Rest auszuschöpfen wird 8 nun mehrmals halbiert. Da die Hälfte von 8 größer ist als drei, die Hälfte von der Hälfte von 8 aber 2 ist und damit kleiner als drei ist, wäre also festzuhalten, das 8 × 2 in 19 enthalten ist plus 1/4 mit einem Rest von 1. Also muss zu der Hälfte der Hälfte von acht noch einmal die Hälfte der Hälfte der Hälfte von 8 zugezählt werden, das ist 1. Also lässt sich y als 2 1/4 1/8 darstellen. Dieser Wert ist nun noch mit 7 zu multiplizieren. Auch dies geschieht in einer schrittweisen Verdoppelung. Darauf wird dann der Wert eingesetzt und kontrolliert, ob die Rechnung stimmt.

Papyrus Moskau, Papyrus Rhind

Diese beiden vielleicht wichtigsten mathematischen Papyri entstammen der Zeit um

1600 vor Chr. Der Papyrus Moskau, benannt nach seinem Aufbewahrungsort, ist

5,44m lang und 8 cm breit. Er enthдlt 25 ohne deutlichen Ordnungsbezug aufgelistete mathematische Aufgaben, die sich meist mit Problemstellungen des Alltages beschдftigen. Er wurde von einem Schreiber der 13. Dynastie nach einer Vorlage aus der Zeit der 12. Dynastie verfertigt. Hier finden sich unter anderem Aufgaben, die den Umgang mit Quadratwurzeln, allerdings mit einfachen Radikanden, erfordern. Erforderlich ist fьr das beschriebene Berechnungsverfahren, dass die Seitenlдnge eines Rechtecks aus der Bestimmung der Flдche eines Rechtecks und dem Verhдltnis der Seiten zueinander ermittelt wird. Ferner findet sich eine Aufgabe, die zeigt, wie bei vorgegebener Hцhe und vorgegebenen Seitenlдngen der oberen und unteren Be grenzungsflдchen das Volumen eines quadratischen Pyramidenstumpfes berechnet

werden kann.

Der etwas jьngere Papyrus Rhind ist 5,34m lang und 33 cm breit. Er enthдlt

eine Liste der Divisionen 2 : n und 84 Aufgaben in einer lehrbuchartigen Anordnung. Er beginnt mit den Worten: Genaues Rechnen. Einfьhrung in die Kenntnis aller existierenden Gegenstдnde und aller dunklen Geheimnisse. Dieses Buch wurde geschrieben im Jahr 33, im vierten Monat der Ьberschwemmungsjahreszeit unter seiner Majestдt dem Kцnig von Ober- und Unterдgypten A-user-Re, mit Leben versehen inAnlehnung an eine alte Schrift aus der Zeit desKцnigs vonOber- undUnterдgypten Ne-ma'et-Re (Amenemhet III). Der Schreiber A'h-mosй hat die Abschrift angefertigt.[4] Der weitere Text des Papyrus Rhind schlieЯt mit Divisionsaufgaben und Aufgaben zur Bruchrechnung an.

Wie aber gehen nun aber die Ägypter mit Brüchen um, die nicht mehr die 1, sondern eine größere Zahl im Zähler haben. Solche Brüche können im Verdoppelungsverfahren berechnet werden. Das Verfahren, das hier Anwendung findet, um mit den so gewonnenen Zahlwerten noch rechnen zu können, ist die Zerlegung solch eines Bruches in Stammbrüche, mit denen dann weiterzurechnen ist. Und so ergeben sich dann auch allgemein die Regeln, in denen die Ägypter mit Stammbrüchen umgingen: Sie schreiben solch einen komplexeren Bruch nach folgendem Verfahren als Reihe von Stammbrüchen um:

(1) Finde den größten Stammbruch, der in dem gegebenen Bruch enthalten ist. (2) Bilde die Differenz dieser beiden Brüche. (3) Für die Differenz wiederhole die Schritte (1) und (2), bis der Rest ein Stammbruch wird. Wenden wir diese Methode nun zum Beispiel auf den exemplarischen Bruch 521/1050 an:

• Der größte Stammbruch für 521/1050 ist 1/3.

• Die Differenz lautet: 521/1050 − 1/3 = 171/1050.

• Der größte Stammbruch für 171/1050 ist 1/7.

• Die Differenz lautet: 171/1050 − 1/7 = 1/50.

• Da dieses Ergebnis ein Stammbruch ist, ist die Aufgabe damit gelöst.

• Die Lösung lautet also: 521/1050 = 1/3 + 1/7 + 1/50.

Wenn derart mit Stammbrüchen gerechnet wird, ergibt sich aber das Problem, wie mit Brüchen mit dem Zähler 2 umzugehen ist. Im Papyrus Rhind wurde hierzu die sogenannte 2/n Tabelle genutzt, nach welcher die zuzuordnenden Stammbruchreihen für die Brüche im Bereich von 2/3 bis 2/101 angegeben wurden. Dabei waren in dieser Tabelle allerdings keine Brüche – wie 2/4 oder 2/6 – aufgeschlüsselt, die nach unserem Verständnis „gekürzt“

werden können. Das lässt darauf schließen, dass dieses Verfahren, in dem dann 2/4 als 1/2 und 2/6 als 1/3 bestimmt sind, bekannt war.

In der 2/n Tabelle ist nun zudem auch auszulesen, dass mit den die Primzahlen eine Zahlengruppe, die nicht weiter teilbar ist, bekannt war. Um mit diesen Zahlen rechnen zu können, entwickelten die Ägypter Näherungswerte, nach denen nun auch diese Zahlen zu halbieren waren. Brüche, die eine Primzahl (= Zahlen die nur durch sich selbst oder 1 teilbar sind – etwa 3, 17 oder 43) als erste Zahl im Nenner hatten, wurden wie folgt zerlegt (das „i“ steht für eine beliebige Zahl):

So gilt zum Beispiel: 2/3i = 1/2i + 1/6i. Dies bedeutet etwa für i =3 (wobei man3 × i rechnen muss) folgendes Verfahren:

Der Bruch, den ich darstellen will, lautet 2/9 (da 3 × 3 = 9). Er lässt sich errechnen durch 1/6 (da 2 × 3 = 6) + 1/18 (da 6 × 3 = 18). Zusammengefasst bedeutet dies: 2/9 = 1/6 + 1/18.

Ein weiteres Beispiel, in dem nun i = 5 gesetzt ist, skizziert das vorgenannte Verfahren wie folgt: Hier lässt sich der Bruch folgendermaßen aufspalten:

2/15 = 1/10 + 1/30

Für alle Brüche mit Nenner auf der Basis 3 gilt, wie wir gesehen haben: 2/3i = 1/2i + 1/6i. Für alle Brüche mit Nenner auf der Basis 5 gilt nunmehr aber 2/5i = 1/3i + 1/15i Für alle Brüche mit Nenner auf der Basis 7 gilt dann: 2/7i = 1/4i + 1/28i. Für alle Brüche mit Nenner auf der Basis 11 gilt entsprechend: 2/11i = 1/6i + 1/66i. Weitere Primzahlen und deren Zuordnungen werden im Papyrus Rhind nicht aufgewiesen. Die Tabelle endet denn auch bei 101. Zusätzlich werden die Brüche 2/55, 2/35, 2/91 und 2/95 noch auf eine andere Art und Weise bestimmt, hierzu liegen demnach eigene Lösungen vor. Ferner werden dann auch komplexe Brüche in Stammbrüche aufgelöst: So schreibt sich dann 3/4 als 1/2 + 1/4. Und 2/3 bestimmt sich als die Summe von 1/3 + 1/4 + 1/12.

Diese, insoweit aus dem Mittleren Reich übermittelten Berechnungsverfahren, zeichnen also analog dem, was wir schon für die Mathematik in Mesopotamien aufweisen konnten, Fallbeispiele nach. In diesen Fallbeispielen sind Regeln dargelegt, die zeigen, wie in einer entsprechenden Problemstellung mit den dann jeweils einzusetzenden Zahlwerten umzugehen ist. Diese Darstellungen erläutern eine Handlungsfolge. Sie demonstrieren, wie die einzelnen Berechnungsschritte anzulegen sind. Zudem offerieren sie für bestimmte Lösungsverfahren Tabellen, in denen den Anweisungen entsprechend nachzuschauen ist, um die für diesen Berechnungsschritt maßgeblichen Werte einsetzen zu können.

Darüber hinaus lassen sich im Papyrus Rhind auch Darstellungen geometrischer Probleme aufweisen, die zeigen, dass hier algebraische Lösungen gesucht und nach zum Teil vorgegebenen Verfahren gefunden wurden. Beschrieben sind Verfahren zur Addition von geometrischen Größen, Darstellungen des Verhältnisses der Größen von Längen und der Ausdehnung der zugehörigen Flächen sowie Aussagen über die Berechnung des Inhaltes von Dreiecken und rechtwinklig begrenzten Flächenstücken mittels Zerlegung.

Die Musteraufgabe 50 des Papyrus Rhind lässt denn auch erkennen, dass die Ägypter einen erstaunlich genauen Wert von π besaßen.

Die Aufgabe lautet:

Beispiel der Berechnung eines runden Feldes vom (Durchmesser) 9 ht (ein Längenmaß). Was ist der Betrag seiner Fläche? Nimm 1/9 von ihm, (dem Durchmesser), weg. Der Rest ist 8. Multipliziere 8 mal 8. die Primzahlen. Es wird 64,[5]

Nach diesem Verfahren also subtrahiert man in diesem Fall 1/9 vom Durchmesser d und quadriert. Die Fläche ist dann (dd/9)2 ; demnach hätte hier π den ungefähren Wert von 56/81, d. h. 3,16.

Inschrift Sethos I (1304–1290 v. Chr.) in seinemTempel im WadiMia

Jahr 9, Monat 3 der Sommerzeit. Tag 20 unter der Majestдt des Horus . . . , Sohn des Re Seti-Merenptah, dem Leben geschenkt ist ewiglich. An diesem Tage.

SeineMajestдt durchzog dieWьste bis zu den Bergen. Sein Herz hatte gewьnscht,

die Gruben zu sehen, aus denen Gold geliefert wird. Nachdem seine Majestдt viele

Meilen hinaufgezogen war, machte er Rast am Wege, mit seinem Herzen Rat zu

halten. Er sprach: wie schwierig ist ein Weg, der kein Wasser hat. Was geschieht fьr die Marschierenden, dass es den Brand ihrer Kehlen lцscht? Wer stillt ihren Durst? Das Land ist fern, die Wьste weit. Weh ihm, dem Mann, der in der Einцde dьrstet. Wie kann ich fьr sie sorgen und ihnen etwas, das sie belebt,machen, so dass sie nach Jahren, die kommen werden, Gott auf meinen Namen preisen, dass kьnftige Mannschaften kommen, mich wegen meiner Tьchtigkeit zu rьhmen, weil ich umsichtig war, einer der sich um Grenzwachen kьmmert.

Nachdem seine Majestдt dieseWorte zu seinem eigenen Herzen gesprochen hatte,

zog er in derWьste umher und suchte einen Platz, eineWasserstation anzulegen.

Gott aber leitete ihn, umdie Bitte dessen, den er liebt, zu gewдhren. Es wurden Steinarbeiter beordert, einen Brunnen in den Bergen zu graben, damit es den ermatteten aufrichte und das Herz dessen kьhle, der durch Sommerhitze gebrannt wird. . . .

Die behandelten Fragen betreffen praktische Probleme. Behandelt werden mathematische Verfahren, die in der Landvermessung, für die Berechnung des Baus von Pyramiden, Tempeln oder Bewässerungsanlagen sowie für die Abrechnungen von Lohn, Material und Abgaben notwendig sind. Die Aufgaben betreffen ferner die Organisation, den Aufbau und die Kalkulation von Aufwendungen oder auch die Optimierung von Infrastrukturen Wie in Mesopotamien folgt die Berechnung vorgegebenen Traditionen. So finden sich etwa für die Berechnung von Volumen Tabellen, in denen bei vorgegebenen Werten zu Fläche und Umfang das Volumen von Halbzylinder und Halbkugel auszulesen ist. In gleicher Weise ist dann auch der Inhalt eines Korbes oder einer Vase zu berechnen. Dabei werden für diese keine Berechnungen, keine Formeln, sondern nur Verfahren angegeben. Für die einzelnen Maßkombinationen sind dann aber bezogen auf eine bestimmte Form Zahlenwerte ermit-telt, die angegeben sind und so für die weitere Berechnung übernommen werden können. Dabei ist es unklar, ob diese Rechenanweisungen, die für die einzelnen Werte Lösungen angeben, einer analytischen Darstellung geometrischer Formverhältnisse entsprechen, oder ob die Darstellung der Werte für diese Formeln schlicht das Resultat einer experimentellen Ermittlung darstellt. Schließlich wären solche Näherungswerte auch dadurch zu ermitteln, dass die Hohlkörper mit Sand oder Wasser gefüllt werden, und so dann das jeweilige Volumen einfach ausgemessen wurde. Wir finden denn auch in all diesen Beschreibungen keine Begründungen, die zeigen, dass eine Vorschrift im Allgemeinen zu einem richtigen Ergebnis führt. Wohl aber findet sich eine Gegenprobe, die darstellt, ob die je errechneten Werte in der Tat den Lösungen für die vorgegebenen Aufgaben entsprechen, doch fehlen eben Beweisverfahren.

Der Zahlenraum erwächst in einer anderen Tradition als in Mesopotamien. Natürliche Zahlen werden durch Zeichen für Zehnerpotenzen additiv im Dezimalsystem dargestellt. Brüche sind mit wenigen Ausnahmen (etwa 2/3) als Stammbrüche resp. als Summe von Stammbrüchen dargestellt. Multipliziert wird durch sukzessive Verdoppelung. Für die nach diesen Verfahren notwendige Summierung von Stammbrüchen existiert eine Tabelle mit Darstellung der Brüche 2/n mit ungeradem Nenner für die Werte zwischen 5 und 101. Wobei dann die entsprechenden Brüche 2/n in der Tabelle als Summen von Stammbrüchen dargestellt sind. Demnach kann in einer Multiplikationsreihe dann auch eine Folge von Stammbrüchen immer wieder in eine Folge von Stammbrüchen aufgelöst werden. So ist 1/15 × 2 ein Wert 2/15, der dann in eine Folge von Stammbrüchen 1/n, 1/n′ ... aufgelöst werden kann, mit denen dann wieder jeweils einzeln nach der Tabelle umzugehen ist.

Insoweit stehen sich dann in Mesopotamien und Ägypten nicht nur zwei unterschiedliche Zahlensysteme, sondern unterschiedliche Berechnungsverfahren gegenüber, die nun auch nicht einfach ineinander abbildbar waren. Beide Kulturen arbeiteten nach tradierten Regeln. Beide umfassen Zahlenräume, die sich aus den tradierten Verfahren bemessen und in ihrer Struktur erklären lassen. Diese Zahlenräume sind aber wie die Regeln, nach denen mit ihnen umgegangen wird, jeweils in unterschiedlichen Traditionen erwachsen. Da die einzelnen Verfahren nur auf eine innere Konsistenz in dem jeweiligen Aussagesystem achten, in dem sie erwachsen sind, und die entsprechenden Regeln nicht durch Beweis abgesichert sind, bleiben sie nebeneinander stehen. Wohl gibt es Verfahren zur Umrechnung der Maße der einen Kultur in die der anderen. Nur sind die Verfahren, nach denen dann solche Volumina bemessen oder Flächen berechnet wurden, nicht ineinander abbildbar. So finden sich für die Stammbruchtafeln Ägyptens in Babylon keine Entsprechungen. Die beiden erwachsenen Kulturpraktiken bleiben nebeneinander stehen. Zudem werden diese Verfahrenweisen durch Konventionen ergänzt, nach denen etwa geometrische Größen wie der Umfang eines Kreises oder die Volumina von Körpern bestimmt werden konnten. Auch diese Konventionen stehen nebeneinander und lassen sich nur über die Umrechnungstabellen vom Maß der einen in das Maß der anderen Kultur übersetzen.

Ägyptische Maße

Längenmaße

1 Elle = 7 Handbreiten = 28 Finger entspricht etwa 52 cm

1 khet = 100 Ellen

Flächenmaß

1 setat = (1 khet)2 entspricht etwa einem Morgen

Volumenmaß

1 hekat (Scheffel) = 4,8 Liter

1 kahr (sack) = 20 hekat = 2/3 Kubikellen

Abb. 3.12 Darstellung des Echnaton

  • [1] J. Assmann, Das kulturelle Gedächtnis. München 2002, S. 146f
  • [2] Papyrus Anastasi , vgl. I. A. Erman, Die Literatur der Ägypter. Leipzig 1923
  • [3] Zit. nach H. Gericke, Mathematik in Antike und Orient. Berlin, Heidelberg 1984, S. 50
  • [4] Zit. nach H. Gericke, Mathematik in Antike und Orient. Berlin, Heidelberg 1984, S. 51
  • [5] Zitiert nach H. Gericke, Mathematik in Antike und Orient. Berlin, Heidelberg 1984, S. 55
 
< Zurück   INHALT   Weiter >