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Athen

DieGeschichte der StadtAthen reicht bis in die Jungsteinzeit zurьck.Um1300 v. Chr.

wurde dann auf der Akropolis ein mykenischer Palast errichtet. Die дlteste Stadtanlage beschrдnkte sich auf die obere Flдche eines steilen, nur von Westen her zugдnglichen Felshьgels, der spдter als Burg (Akropolis) (Abb. 4.16) den militдrischen und religiцsen Mittelpunkt Athens bildete. Die Flдche wurde bereits sehr frьhzeitig eingeebnet und mit einer starkenMauer umgeben, diemit neun hintereinander angeordneten Toren gesichert wurde. Innerhalb dieser Burg wohnten die alten Kцnige dieses Teils von Attika. Dem sagenhaften Kцnig Theseus wird zugeschrieben, die verschiedenen Teile der Landschaft Attika zu einer Polis vereinigt zu haben. Athen war fortan der Flдche nach der grцЯte griechische Stadtstaat. Den Hцhepunkt seines politischen und kulturellen Einflusses erreichte Athen als attische Demokratie und Fьhrungsmacht im attischen Seebund wдhrend des 5. und 4. Jahrhunderts v. Chr. 86 v. Chr. wurde Athen dem Rцmischen Reich einverleibt. Die Stadt behielt aber ihren Status als intellektuelles Zentrum und erreichte den Hцhepunkt ihrer urbanen Entwicklung im 2. Jahrhundert n. Chr.

4.1.2.1 Platon

Von Sokrates selbst besitzen wir keine authentischen Niederschriften. Es war dessen Schüler Platon, der in seinen Schriften dem Lehrer ein Denkmal setzte, indem er in seinen Dialogen Sokrates als die Diskussion führende Figur benennt, die die Argumente vorlegt und die Anlage kritisiert, in der ein anderer seine Thesen vorlegt. Platons Texte erscheinen als Dialoge, sie geben eine Diskussion wieder und entsprechen in dieser Form der Darstellung dem methodischen Ansatz des Sokrates, der sich in der öffentlichen Diskussion mit den verschiedenen Themenfeldern beschäftigte, seinen Mitdiskutanten den Wege wies, Sackgassen der Argumentation als solche deutlich machte und so im Gespräch ein Argument konturierte. Dieses Diskutieren eines Sachzusammenhanges ist für unsere wissenschaftliche Kultur bis heute leitend. Es ist nicht so, dass ein Effekt oder ein Phänomen einfach vorgestellt wird. Der Wissenschaftler weiß, dass er das, was er vorstellt, in einer bestimmten Perspektive in Blick genommen und beschrieben hat. Wie verhält sich nun das, was er beschreibt, und die Art und Weise, wie er zu betrachten gewöhnt ist. Wie kann er absichern, dass seine Art und Weise, Dinge zu tun, auch für die verständlich und nachvollziehbar wird, die die Dinge in anderer Weise angehen und so auch ganz andere Aspekte beschreiben. Im Endeffekt kann man dann ggf. meinen, zwei Wissenschaftler reden über ganz verschiedene Dinge. Tun sie das dann aber nicht auch, wenn sie die Welt unter ganz anderen Voraussetzungen betrachten? Ist also das, was wir in den Dingen meinen festmachen zu können, nicht unsererseits ein Konstrukt? Was sind dann die Formen, in denen ich über die Dinge rede, was die Anschauungen, in denen ich mich der Dinge versichere? Und wie kommt es in der Darstellung der Vielen zu der Idee, in diesen ein Ganzes zu sehen, etwas, das ich Welt nenne, und in dem ich einen Reaktionskomplex beschreibe? Auch diese Art, die vielfältigen Erfahrungen zusammen zu denken, ist Teil einer Strategie, nach der wir die Natur in Blick nehmen. Platon setzt in seinen ersten eigenen Arbeiten hier an. Seine frühen Dialoge replizieren dabei noch in sehr offener Form den sokratischen Versuch einer Hebammenkunst der Gedankenlehre, in der er im Gespräch neue Ideen ans Licht kommen lässt. Diese frühen Dialoge zeichnen in diesen Passagen, in denen derart das Denken beschrieben und die Sicherung einer Diskussion in der Darstellung der für diese notwendigen Voraussetzungen erfolgt, viel von dem nach, was Sokrates lehrte. In den späteren Dialogen wird Platon systematischer. Er gibt die Gesprächssituation nicht auf, entwickelt im Gespräch aber zusehends eigene Konzeptionen, die er dann gegenüber möglichen Einwänden sichert. Die offene Anlage eines sich kritisch positionierenden Philosophierens ist damit aufgegeben. Platon offeriert einen Theoriekomplex, entwickelt Positionen. Und dies nun ist der Unterschied des nachsokratischen und des vorsokratischen Denkens. Im Letztern wurden – auch im Kontext der Naturlehren – Positionen expliziert und dann in ihrer Möglichkeit dargelegt. Platon entwickelt ein Konzept ausgehend von der Darstellung dessen, was für uns denkbar ist, setzt das Denkbare in einen Zusammenhang und erlaubt Rückschlüsse auf die Bedingungen, unter denen bestimmte Positionen denkbar werden. Sind entsprechende Positionen benannt und gesichert, schließt er nach den von ihm darlegten Verfahren weiter und entwickelt Folgerungen. So entsteht ein System von Aussagezusammenhängen, in dem sich mehr und mehr von dem, was wir zu wissen meinen, einfügt und – so reflektiert – dann zu einem Wissen über die Welt und unserer Art über die Welt zu wissen abbildet. So stellt er uns einen neuen Typ von Wissenssystem vor, und zwar einen solchen, der nicht einfach dadurch, dass er einen Zusammenhang erstellt – das tat schon Anaximander – zu überzeugen sucht, sondern dadurch, dass er diesen Kontext eben auch in seiner Systematik selbst begründet. Damit wird – und das muss uns im Zusammenhang der Entwicklung des mathematischen Denkens in Griechenland noch eingehender beschäftigen – auch die Art und Weise, in der Gedanken anzulegen, Erfahrungen einzubringen und zu bewerten sind, zentrales Moment dieses Philosophierens. Gewonnen wird also nicht einfach eine Aussagenfolge oder ein plausibel gemachter Satz, sondern eine Wissenssystematik, in der nun auch von vornherein die verschiedenen Arten, die Natur in Blick zu nehmen, in Bezug gesetzt sind. Dabei – auch dies ist noch darzustellen – gewinnt das Mathematische für Platon auch in seiner Art und Weise, Dinge und Zusammenhänge darzustellen, eine erkenntnisleitende Funktion. Es ist die Art und Weise des mathematischen Argumentierens, die Art, in der im Kontext dieser Wissenschaft eine Erfahrung interpretiert und genutzt wird, an Hand der Platon expliziert, wie Zusammenhänge erfahrbar gemacht und in ihrer Systematik zu begreifen sind. Das Wissen ist so auf den Begriff gebracht, und im Naturwissen ist dieser Begriff zu guten Teilen ein mathematischer.

So erarbeitet Platon einen neuen Typ von Wissenssystematik, nicht im Sinne der Explikation von Prinzipien, sondern in der systematischen Analyse des Systematisierens selbst; von der her dann der Komplex von Einzelaussagen als Beschreibungen von Welt zu interpretieren ist. Dabei ist Platon ein genuin politischer Denker. Er denkt Gesellschaft als Kultur, die Kultur aber als Resultat einer sich ihrer intellektuellen Grundlage versichernden Gesellschaft. Diese Gesellschaft braucht Regeln, damit sie sich entsprechend kultivieren kann. So entwickelt Platon die Idee eines idealen Staates, der geleitet nach Vernunftprinzipien eine Gesellschaft dann auch ganz nach den von Platon einsichtig gemachten Prinzipien aufbaut. Inwieweit diese Vorstellung des idealen Staates dann in der Tat – wie es Popper formulierte – die Urform eines Totalitäten Herrschaftssystems darstellt, oder ob Platon hier unter der Tyrannis der Vernunft einen Staat einfach ebenso aufbaut, wie er auch Leib und Seele in ein hierarchisches Verhältnis setzt, muss uns hier nicht eingehender interessieren. In Platons Idee eines Staates wird die Vernunft wie eine Oligarchie der Weisen repräsentiert. Diese organisiert die Gesellschaft über die Auswahl der Geschlechtspartner, die – zentral gesteuerte – Erziehung der Kleinkinder, Kinder und Jugendlichen bis hin zur Organisation des Arbeits- und Freizeitwesens. Jedes Detail scheint nach festen Prinzipien organisiert, das der Freiheit des Einzelnen verschwindet dabei unter dem Diktat der Freiheit einer Vernunft, die sich eben nur ihrer Einsicht beugt. Auch der Oligarch steht in dieser Notwendigkeit, die ihm keinen Handlungsspielraum gibt, sondern ihn nach einer – von Platon ja schon explizierten – Einsicht leitet. So kennt die Platonische Gesellschaft eine gezielte Kanalisation der Fortpflanzung, heute würden wir von Eugenik sprechen, sie kennt Euthanasie und das Diktat einer über jede Individual(ein)sicht hinwegsehende Vernunft, die auch die Geschlechtspartner nach vorgegebenen Prinzipien einander zuordnet. Dieser ideale Staat formuliert sich als Utopie: Atlantis. In dieser wirkt Platon – auch für die Naturforschung – bis in das letzte Jahrhundert v. Chr.. Atlantis wird zu einer realen Größe, zu einer vorgeahnten Moderne, in der bis in die Renaissance hinein auch die unverstandenen Technologien der Antike als eine Art von Phantasmagorie erscheinen konnten. Nicht sehr viel später wird dieses Atlantis in der Vorstellung zu einem realen Kontinent mit realem Wesen und einer realen Geographie, die man denn auch immer wieder zu verorten sucht. Um 1900 entsteht dann sogar die Idee eines Gegenatlantis, das nicht in der westlichen Hemisphäre, sondern im Pazifik zu verorten sei. Und dieser imaginäre, Lemuria genannte Kontinent wird dann über Jahrzehnte zu einem Spekulationsobjekt derjenigen, die sich die Evolution und die Verbreitung der frühen Menschenarten verständlich machen wollen.

Wobei uns generell interessieren muss, dass schon im Beginn des abendländischen systematischen Philosophierens eine Utopie formuliert wird. Dargestellt wird ein Entwurf des zu denken Möglichen, das der Realität als Ideal entgegengehalten ist. Natürlich müssen wir die konkrete Staatslehre Platons in einer historischen Sicht auf die Wahrnehmung der verschiedenen Diktaturen, die Platon selbst erlebte, auf die Idee der Tyrannis, wie sie etwa in den Staatstaaten Zentralgriechenlands oder in Sizilien in immer wieder unterschiedlichen Formen etabliert war, beziehen. Und doch, Platons Konzept geht weit über das hinaus, was auch nur im Ansatz in diesen Alleinherrschaften von Einzelnen oder Wenigen zu dieser Zeit versucht wurde. Wobei gerade aus unserer Perspektive überraschen muss, welche Bedeutung der staatlich gelenkten Zuchtwahl und der staatlich gelenkten Erziehung in diesem Staatswesen zukam, das so im Endeffekt in seiner idealen Form Selbstzweck wurde. In dieser derart nach der Vernunft strukturierten Gesellschaft war dann der Einzelne – auch der Herrscher – nur als Funktionsträger zu verorten. Mit dieser Utopie offeriert Platon somit zugleich auch eine Kritik der realen Herrschaften, in denen Macht die Vernunft ersetzte. Die Verschiebungen in den daraus resultierenden Konzeptionen eines realen und eine idealen Staates formulieren damit dann aber auch eine Kritik des in der Zeit Platons selbst zu Erfahrenden, gerade da wo Platon zwischen Machtstaat und Vernunftstaat nur leichte Verschiebungen aufweisen kann, wird dann in den entsprechenden Argumentationen und Handlungen zur Sicherung der so zu gewinnenden oder zu verfestigenden Ordnung deutlich, wie sich in einer nach Machtprinzipien strukturierten Tyrannis die mögliche Ordnung einer idealen Gesellschaft pervertiert. Und dennoch wurde Platons Staatsutopie in den unterschiedlichsten ideologischen Kontexten, insbesondere da, wo Gesellschaftsordnungen oder auch Werte biologisch begründet wurden, immer wieder neu vereinnahmt.

Platon wurde 428 oder 427 als Sohn des Ariston aus dem Geschlechte des Kodros und der Periktione in Athen geboren. Er entstammte aus einer Familie, deren Vorfahren mit Solon verwandt waren und gehörte damit – im Gegensatz zu Sokrates – zur sozialen Elite Athens. Er erhielt – ganz seiner sozialen Position entsprechend – Unterricht in Grammatik, Musik und Gymnastik, betätigte sich in jungen Jahren mit der Dichtung von Dramen und wurde dann durch Kratylos mit den Lehren Heraklits bekannt gemacht. Etwa in seinem zwanzigsten Lebensjahre lernte er Sokrates kennen und wurde über lange Jahre dessen Schüler. Nach dem Tode des Sokrates hielt er sich einige Zeit bei Eukleides in Megara auf und unternahm dann größere Reisen bis nach Unteritalien, wo er durch Archytas von Tarent und Timaios aus Lokri den Pythagoreismus in dessen theoretisch-praktischer Gestalt kennen lernte. Schließlich besuchte er Sizilien und befreundete sich in Syrakus mit Dion, dem Schwager des Tyrannen Dionysios des Älteren. Dieser soll Platon auf Grund seiner Lehren gefangen genommen haben, um ihn als Kriegsgefangenen zu verkaufen. Annikeris soll ihn losgekauft haben. Um 387 v. Chr. begründete Platon in einem nach dem Heros

Akademos genannten Garten eine philosophische Schule, in welcher er viele Jahre lehrte. Trotz seiner Erfahrungen mit Dionysios reiste er dann noch zweimal (367 und 361 v. Chr.) nach Syrakus, 367, um den jüngeren Dionysios zur Einführung einer nach seiner Staatslehre ausgerichteten Verfassung zu bewegen, was ihm nicht gelang. 361 suchte er seinen Freund Dion mit Dionysios dem Jüngeren auszusöhnen. Platon blieb unverheiratet. Er starb 348 oder 347 v. Chr. in Athen.

Zentral im Werk des späten Platon ist sein Buch über den Staat, „Politeia“. Hier finden sich in den mittleren Kapiteln einige der berühmtesten Lehrstücke der platonischen Philosophie, politisch ist dies die Forderung, die Herrschaft den Philosophen zu überlassen. Der resultierende Vernunftstaat, das zeigen schon die oben stehenden Anmerkungen, ist nun in unseren Augen alles andere als ideal, demonstriert aber auch, dass Denken und Vernunft hier eben auch real nicht als ein Individualvermögen, sondern als ein Erbe und eine Äußerungsform einer ganzen Kulturgesellschaft gedacht ist, der sich der Einzelne dann auch konsequenterweise unterzuordnen hat. Dass die Diktionen, das Denken und die Vernunft, die philosophischen Texte dann etwa über Hegel bis in die Moderne bestimmt haben, zeigt die implizite Folgerung dieses Ansatzes, der in dieser Form auch unmittelbar für die Wissenschaftsgeschichte bedeutsam ist. Heißt dies doch nichts anderes, als dass jede Aussage innerhalb eines Wissenssystems nach der Vernunft, das heißt nach allgemein gültigen Prinzipien, zu formulieren ist, die für jeden in dieser Gesellschaft einsichtig und verpflichtend sind. Das die Wissenschaft des Abendlandes fundierende Ethos einer umfassenden überindividuellen Rationalität ist schon hier auf den Begriff gebracht.

Platon unterscheidet zwischen der Meinung, einer bloß vom Individuum aufgenommenen Auffassung und dem Wissen, einer reflektierten Aussage über etwas, das sich im System der möglichen Aussagen über die Dinge verortet und insoweit als Teil eines Systems der uns einsichtigen oder zumindest einsehbaren Aussagen verpflichtend ist. Schließlich findet sich hier in Form des sogenannten Höhlengleichnisses seine Auffassung von Wissenszusammenhängen und Einsicht im Horizont einer als vernünftig begriffenen Kultur des uns möglichen Wissens dargestellt. Daran schließt die Darstellung eines „mathematischen“ Wissenschaftssystems an, das in der Darlegung der „Dialektik“ als Höhepunkt und Grundlage seines System von Wissenschaft im Sinne eines reflektierenden Erwerbens und Sicherns von Wissen schließt. Wobei Platon mehrfach darauf hinweist, dass alle seine vorbereitenden und gleichnishaften Darlegungen das Ziel haben, auf dieses Wissenschaftssystem hinzuführen.

4.1.2.1.1 Das Höhlengleichnis

Im Beginn des 7. Buchs seines Dialogs Der Staat erzählt Platon das sogenannte Höhlengleichnis. Der Dialog beginnt mit einer Erörterung der Frage Was ist Gerechtigkeit? und leitet dann zur Frage nach dem idealen Staat über. Und schließlich findet sich eine Erörterung über das, was wir wissen, und speziell das, was wir aus der Erfahrung wissen. Dem Gleichnis zufolge sitzt eine Gruppe von Menschen in einer Höhle, die nicht vom Sonnenlicht beschienen ist. Im Hintergrund der Höhle befindet sich eine Mauer, hinter dieser Mauer brennt ein Feuer. Dies ist das einzige Licht, das in die Höhle fällt. Die Mauer selbst

Abb. 4.17 Skizze der Anlage im Höhlengleichnis von Platon

ist für die Bewohner der Höhle unüberwindbar, Hinter der Mauer nun können andere Wesen hin und her gehen und auf Ihrem Kopf Gegenstände balancieren. Diese Gegenstände werden vom Licht des Feuers beschienen, so dass sich ein Schatten von ihnen an die innere Wand der Höhle wirft, den die Menschen in der Höhle sehen können (Abb. 4.17). Ansonsten sehen sie nichts. Sie hören vielleicht diese Wesen reden, sehen von ihnen aber nur die Schatten der Gefäße, die über die Mauer an die Wand reflektiert werden. Es ist gleichsam die Höhle ein sozialer Schädel, in den nun über die Sinnesorgane dieser Höhlengesellschaft der Schattenwurf der Dinge, die in diese Höhle hineinspiegeln, abgebildet wird. Diese Schatten werden dann von uns – denn wir sind nach Platon die Bewohner solch einer Höhle, die wir unsere Erfahrungswelt nennen – als Bild der Außenwelt festgehalten. Die Bilder, die wir so erhalten, sind fragmentarisch und nur in Äußerlichkeiten der Wirklichkeit der Dinge entsprechend. So wie die Schatten der Gefäße auf den Höhlenhintergrund fallen – so Platon – so erfahren wir durch die Sinne die Dinge der Welt, die uns demnach nicht in ihrer eigentlichen Qualität, sondern nur in einem einfachen und vereinfachenden Reflex verfügbar sind. Es kommt also nicht darauf an, die Äußerlichkeiten der Formen zu klassifizieren, die Bilder der Schatten nach ihren zufälligen Entsprechungen zu orten, sondern die Dinge der Welt in ihrer eigentlichen Substanz, in ihrem Wesen anzuschauen. Dies stellt sich aber nicht im indirekten Reflex dar, zumal auch das Feuer, das hier das Licht bietet, flackert und schwach nur die groben äußeren Konturen der Dinge vermittelt.

Führt nun ein Wohlmeinender einen der Insassen der Höhle ans Sonnenlicht, so wird dieser vor der neuen Qualität dieses „wahren“ Lichtes fast erblinden. Er sieht zunächst gar nichts mehr und muss sich dann mühsam an ersten Orientierungsschritten versuchen. Schafft er es dann, die vormaligen Schattenbilder mit den Realia dieser Welt in Verbindung zu bringen, wird er sehr schnell merken, wie oberflächlich und äußerlich seine Erfahrungen waren. Nur im wahren Licht – im Licht der Einsicht durch die Vernunft – sind denn auch die Dinge in ihrem Bezug zueinander einsehbar und so auf ihren Begriff zu bringen. Dieser Begriff fasst sich nicht in den Attributen, die die sinnliche Erfahrung den Dingen zuschreibt, sondern in der Struktur, an der und in der diese Attribute verhaftet sind. Es geht also um die Idee, das Wesentliche, die Qualifizierung des Objektes in seinem Bezug zu den realen Existenzen einer Welt zu erfahren, die für uns so aber nicht direkt erfahrbar sind, weil wir im Licht der reinen Vernunft unsere Sinne verlieren. Also müssen wir die Strukturen erschließen, die Ideen begreifen, nach denen und in denen die Dinge konfiguriert sind. Es geht demnach also nicht um die sensorisch fassbaren Qualifizierungen, sondern um die Verhältnisbestimmungen zwischen den Dingen, wie sie unabhängig von den Skalierungen und Qualifizierungen in Erfahrungswerten festzustellen sind. Diese Art der Verhältnisdarstellung kann also nur eine Wissenschaft leisten, die Maßfunktionen nicht etwa nur zwischen einzelnen Dingen, sondern in prinzipieller Hinsicht erschließt und sie dann ggf. am einzelnen Ding präsentiert. Diese Wissenschaft wäre dann eine solche, die die Relationen, in denen sich die Verschiedenheiten des uns Denkbaren in Bezug zueinander setzen, darstellt. Dies ist die Wissenschaft von Größen und Größenbeziehungen, und dies ist nach Platon die Mathematik.

4.1.2.1.2 Mathesis universalis

Platon entwirft in den Büchern V–VII seiner „Politeia“ ein System einer in diesem Sinne mathematischfundiertenWissenschaft.GegenstanddieserWissenschaftenistein„koinón mathema“, ein „gemeinsames Wissen“, das überhaupt den Anspruch auf Wissenschaftlichkeit begründet. Dieses gemeinsame Wissen leitet sich nach Platon daraus ab, dass jeder Gegenstand des Wissens Einheit und Bestimmtheit aufweisen muss. Die Mathematik ist nun die Lehre, in der derart Größen und Größenverhältnisse bestimmt werden, sie erlaubt es, Größen wie Mannigfaltigkeiten unabhängig von ihrer jeweiligen sinnlich erfahrbaren Realisierung zu erfassen und in einen Bezug zueinander zu setzen, der eben von der sinnlichen Konkretionsebene absieht und umgekehrt diese in der Erfahrung ja nur zufällig zuzuordnenden Bestimmungen überhaupt erst begründet. Da sie die Bedingungen darstellt, unter denen sich Zuordnungen ergeben, zeigt sie, wie sich die Dinge grundsätzlich zueinander verhalten. Damit ist dann eine Wissenschaft, im Sinne einer Darstellung eines reflektierten Wissenszusammenhanges, möglich. Und von den unterschiedlichen, rein begrifflichen Synthesebedingungen, wie „Mannigfaltiges“ auf diskrete oder kontinuierliche Weise zu einer Einheit verbunden werden kann, erfüllt für ihn auf reine und exakte Weise dieses Axiom die Rationalität. Wissenschaft bestimmt sich damit in den zwei Momenten: 1. der Reflexion des Denkens auf sich selbst und 2. dadurch, dass sich hieraus eine methodische Grundlage für jede Art der Sicherung von Wissenszusammenhängen bestimmen lässt.

Damit hat dieser Platonische Text eine umfassende Wirkungsgeschichte. Seit der antiken Renaissance des Platonismus etwa um 200 n. Chr. wurde diese Konzeption von Wissenssystematisierung, im Kontext der Ausbildung zu den Sieben freien Künsten – der antiken Grundausbildung eines Rhetors, „communis mathematica scientia“, grundlegend. So wurde sie zur Grundlage des Ausbildungskonzepts des Philosophieunterrichts der Spätantike. Im „studium generale“ wurde sie über den Zusammenbruch des Römischen Reiches hinweg für alle weiteren Darstellungen von Wissenszusammenhängen vom arabischen Osten bis in den lateinischen Westen grundlegend. Hier ist die Basis des abendländischen Wissenschaftsverständnisses gelegt.

Nur wenige wissen, wie Platon sagt, worin eigentlich das Rationale des rationalen Handelns besteht. Sie können diese Kriterien daher nicht methodisch anwenden, sondern nur in zufälliger Intuition gebrauchen (Politeia 522c–523a). Dies zu wissen, ist aber notwendig, soll sich die Vernunft über ihre eigenen Akte Aufklärung geben. Dieses insoweit für jedes Wissen grundlegende Wissen nennt Platon „koinón máthema“, ein allen gemeinsames Wissen. Die Disziplin, die dieses Wissen vermittelt, ist die „koiné mathematiké epistéme“, eine, wie die Lateiner übersetzt haben, „communis mathematica scientia“ oder eine „mathesis universalis“. „Mathematiké“ heißt denn auch auf Griechisch „zum Wissen gehörig“, und nicht nur „mathematisch“ im modernen – auf Berechnung und Formalisierung zielenden Verständnis. So war für Platon die Grundwissenschaft, in der sich das System des Wissens begründen ließ, die mathematische Wissenschaft. Über dem Eingang der Akademie soll deshalb gestanden haben: Keiner, der nicht mathematisch gebildet ist, soll hier eintreten.

Durch die Reflexion auf die Bedingungen, die es erlaubte, die Differenzierungen, die sich im Denken der Welt ergaben, nicht einfach nur aus der Erfahrung aufzunehmen, sondern prinzipiell zu begründen, war es möglich, das Wissen zu systematisieren. Die Variationen des Erfahrungswissens waren nur so als solche in ein in sich bestimmtes System von Aussagezusammenhängen einzulesen. Der neu entstehende Typ einer sich reflexiv sichernden Wissenssystematik unterscheidet sich so prinzipiell von den Entwürfen der vorsokratischen Philosophie: Einheit, Identität, Verschiedenheit, Ganzheit, Teil, Gleichheit, Ähnlichkeit, Diskretheit, Kontinuität, Anfang, Mitte, Ende sind die Kriterien, nach denen sich die Vielfalt des Erscheinenden ordnen lässt und somit vor jeder Erfahrung die Grundbestimmungen des in der Erfahrung Möglichen darzulegen sind: Wer einen Ton hören will, muss bemerken, wodurch er ein Ton ist, d. h. er muss ihn in seiner Identität gegen von ihm verschiedene Töne abgrenzen, muss darauf achten, wann er anfängt, wie lange er gleichbleibt, wann er aufhört. In dieser Art der Bestimmung eines Elementes in Bezug auf die anderen möglichen Elemente einer Erfahrung nutzt er die Begriffe, die die Mathematik geschärft hat. Schließlich formuliert diese die Bestimmungen von dem was Identität, Gleichheit, Ähnlichkeit etc. sind unabhängig von der konkreten Erfahrung als grundsätzliche Operationen, die derart dann auch begrifflich zu bestimmen sind.

Bin ich mir so der Formen sicher, in denen sich die Erfahrungen denken lassen, so kann ich im Denken die (äußere) Wirklichkeit repräsentieren. Derart kann sich nun, geleitet durch das prinzipielle Verständnis von Differenzierung und Zuordnung, entsprechend den

immer neu aufgenommenen Erfahrungen das Wissen zusehends differenzieren. Es löst in dieser Differenzierung dabei die grundsätzlich erschlossene Ordnung nicht auf, sondern gliedert sie immer kleinteiliger und ist damit fortlaufend differenzierter. So sind dann mit Platon auch die Ausdifferenzierung und die Spezialisierung von Wissenschaften beschreibbar.

In seiner Zeit muss Platon diese neue Sicht noch verteidigen. So richtet sich sein Dialog

„Theaitetos“ gegen die Skepsis der Sophisten, insbesondere des Protagoras, der einwirft, dass Vorstellungen eben nicht auf Grund einer höheren Einsicht, sondern letztlich doch auf Wahrnehmungen basieren, die insoweit dann auch das Erkennen als ein Abbilden von Weltverhältnissen im Denken des Einzelnen beschreiben lassen. Stimmt dies, dann wäre die Idee einer mathematischen Wissenschaft im Sinne des Platon unnötiger Ballast, denn schließlich wären dann auch die Vorstellungen, mit denen im mathematischen Sinne gearbeitet wird, nichts als Wahrnehmungen. Platon führt dagegen aus, daß die Wahrnehmungen erst aus der Vorstellung von einem Gegenstand heraus in ihrem Wert zu bestimmen (Theaitetos 151e ff.) seien: Denn mit der Vorstellung bezieht man sich auf den ganzen, der Wahrnehmung gegebenen Gegenstand. Die Richtigkeit der Erkenntnis scheint dann von der möglichst vollständigen und unverfälschten Repräsentation des äußeren Gegenstands in der inneren Welt der Vorstellung abzuhängen. Die um 300 v. Chr. sich entwickelnde Philosophenschule der Stoa vertrat genau dieses Erkenntnisideal: Ein Gegenstand galt ihr dann als objektiv erkannt, wenn er in der Vorstellung genauso, wie er real existiert, klar und deutlich wiedergegeben war. Die Widersprüche und Ausweglosigkeiten, in die man mit dieser Position gerät, hat die beinahe zugleich mit der Stoa entstehende Skepsis an einer Unzahl von Beispielen demonstriert und die alte Position des Protagoras erneuert: Wir stellen uns die Welt nicht vor, wie sie ist, sondern auch mit den klarsten und deutlichsten Vorstellungen nur so, wie sie uns – unter bestimmten Umständen, in bestimmter subjektiver Verfassung, usw. – erscheint. Dabei ist diese Position der Stoa aber nicht die Position des Platon, der eben nicht eine einfache uns zugängliche Erfahrungswelt voraussetzte, sondern – wie sein Höhlengleichnis zeigt – die Vorstellungen weder als eine Art von Synthese der verschiedenen Wahrnehmungen begriff, noch als eine Art der Perspektivierung unter der dann Wahrnehmungen in einen Kontext zu stellen sind, von dem her sie verständlich werden. Die platonische Sicht der Ideen ist um einiges radikaler. Ideen sind für Platon keine Abstraktionen, die er aus einer Serie von Wahrnehmungen heraus destilliert. Für ihn sind Ideen zunächst nicht die Beschreibung von Sachverhalten, sondern Strukturen der begrifflichen Operationen unseres Denkens. Mit diesen können wir dann Wahrnehmungen beschreiben, fassen diese aber immer so, wie wir dies mit unseren Begriffen können. Was wir damit können und wie wir dies anstellen, erläutert uns eine Mathesis universalis, die uns eben darstellt, wie wir unsere Begriffe zueinander stellen können, was sich in diesen wie abbilden lässt. Dann kann diese universale Wissenschaft uns mit dem so gewonnenen Rüstzeug frei lassen, mit dem wir derart dann die uns verfügbaren Beschreibungen von Welt ordnen, sie uns in der so gefundenen Systematik bewusst und damit zum Teil des uns verfügbaren Wissens zu machen: Das, was ich verstehe, kann ich schließlich denken. Das was ich verstanden habe, kann ich dann in der Außenwelt entdecken. In den Wahrneh- mungen finde ich derart die Entsprechungen von Darstellungsmöglichkeiten, wie sie sich mir nun realisieren lassen. Dadurch, dass ich das, was mir prinzipiell zu denken möglich ist, nunmehr in den Erfahrungen konkretisiere, werden mir die Einzelheiten dann überhaupt erst als solche verständlich. Sie sind Einzelheiten immer in Bezug auf eine Weltsicht, die ich mir in der inneren Abstimmung des mir zu denken Möglichen begründe. Damit kann ich mir darstellen, was es bedeutet, wenn ich etwas beschreiben kann. Das, was ich beschrieben habe, kann ich nun in Bezug zu anderen Erfahrungen setzen, in der sich dann aufzeigenden Differenz Neues entdecken und so die Dinge und mit ihnen die Welt fortlaufend konturieren. Dies genau ist dann im Konkreten der Prozess, mit dem zunächst auch das Potenzial der Wissenschaften beschrieben wurde. Kenntnisse sind nunmehr nicht einfach nur anzuhäufen. In diesen fortlaufenden Ausweitungen des Bekannten werden damit dann eben auch die Raster der wissenschaftlichen Sicht zusehends feiner. So lassen sie immer mehr von dem begreifen, was die Welt für uns darstellt.

Stoa

Die Schule der Stoa wurde von Zenon von Kition im 3. Jahrhundert v. Chr. initiiert. Seine Schüler versammelte er in einer Säulenhalle in Athen, der Stoa poikilie, daher entstand ihr Name. Nach der Stoa waren Gott und Natur eins, der Mensch war eingebunden in diese Gott-Natur und hatte sich entsprechend nach den Gesetzmäßigkeiten dieses Wirkgefüges auszurichten. Sittliches Handeln ist nach der Stoa letztlich denn auch nichts anderes als Selbsterhaltung und Selbstbehauptung, die aber eben nur dann effektiv wird, wenn sie in der rechten Weise geschieht. Unsittlichkeit und jedes Fehlverhalten sind für die Stoa schlicht Selbstzerstörungen. Diese führen zum Verlust der eigentlichen Natur des Menschen, da es sich nicht nach seiner Natur verhält. Entsprechend ist das Ziel der Stoa eine sittliche Existenz in Abstimmung mit der Natur und der Gesellschaft. Demnach bedeutet für die Stoa die Förderung des einzelnen Ichs aber immer auch die Förderung des allgemeinen Wohls. So forderte Kleanthes, dass der Mensch, der im Gott-Kosmos lebt und sich in ihm formt, seine Existenz auch nach diesen Formnotwendigkeiten auszurichten hat. Hierin zitiert ihn später selbst noch der Apostel Paulus. Weitere Vertreter der Stoa sind Chrysippos, Panaitios und Poseidonios, sowie später – in der römischen Zeit – Seneca, Epiktet und der Kaiser Marc Aurel. Seneca wurde im Mittelalter ein Briefwechsel mit dem Apostel Paulus zugesprochen, so dass dessen Lehre auch im christlichen Kontext wirksam blieb.

Nach der Naturphilosophie der Stoa ist die Wirklichkeit nach einem Prinzip, als stofflich strukturierte Welt zu erfassen. Auch Kräfte sind nicht abstrakte Wirkprinzipien, sondern Substanzen. Strukturiert wird die Welt durch eine alles durchdringende Gottheit, die Weltseele, die sich so in den Strukturen der Wirklichkeit ausdrückt und nur in diesen zu fassen ist. Die Konfigurationen der Welt sind nur die Modifikationen dieser Weltseele, wie sie sich in der Stofflichkeit ausdrückt und derart die Welt in ihrer Dynamik als Ausdruck des ihr eigenen Lebens erfahren lдsst. So formiert

sich dieWelt in derNotwendigkeit der ihr eigenen Prinzipierung und expliziert

so in der sich derart darstellenden Notwendigkeit immer auch schon an sich ihren

Zweck. Dabei spricht die Stoa dem sich in dieser Natur entfaltenden Menschen eine Willensfreiheit zu. Entsprechend erwдchst die ethische Forderung, in bewusster Ьbereinstimmung mit der Natur zu leben.

Werden Merkmale zu einer Beschreibung umrissen, kann ich diese Merkmale dann auch in anderen Sachverhalten wiederentdecken. Damit kann ich Verschiedenes in immer differenzierterer Weise aufeinander beziehen. Ich erhalte ein Raster von Beschreibungen, das sich zusehends enger zieht, dabei immer detailliertere Differenzierungen aufzuweisen vermag und in seinen Abstimmungen so immer feiner wird: Dadurch, dass sich das, was ich wissen kann, immer klarer darstellt, kann ich nun neben dem Bekannten auch Neues entdecken. Voraussetzung dafür, dass ich mir in diesem Tun sicher sein kann, dass ich mir also auch das Neue – das mir ja eigentlich fremd ist – verfügbar machen kann, ist die Sicherheit meines Urteils. Diese gewinnt sich darin, dass mir die Strukturen des Urteilens, die Bedingungen der begrifflichen Bestimmungen einsichtig werden.

Damit bin ich nun aber weit weg von der Stoa. Der spätantike Neuplatonismus sucht dann auch nicht etwa für die Darstellung von Wahrnehmungsinhalten, sondern für die Begründung dieser inneren Schau der Möglichkeit einer Ordnung von Wahrnehmungen Argumente. Diese findet er in der Idee, die Welt als Schöpfung und damit nach einem Plan erarbeitet zu sehen, der uns ja zumindest prinzipiell einsichtig ist. Mit dieser höheren Einsicht kann ich dann begründen, wie ich was sehe und in welcher Ordnung ich das, was ich weiß, zu setzen vermag. In dieser Idee einer gottbestimmten Darstellung dessen, was für uns zu wissen ist, wendet der Neuplatonismus später um 200 n. Chr. die bei Platon noch analytisch zu verstehende Ideenlehre spekulativ um. Ist sie bei Platon noch Kritik an unserem Erfahrungswissen und einer sich unmittelbar darauf beziehenden spekulativen Naturphilosophie, findet dieser Neuplatonismus in Gott die Sicherheiten, mit denen wir unsere Urteile auch außerhalb der Zufälligkeiten einer sinnlichen Vergewisserung fundieren können. So greift diese Philosophie bei ihrem Begründer Plotin spekulativ aus und findet die Sicherheiten ihres Denkens in einem letztlich theologischen Rahmen. In dieser Interpretation wird Platon dann in der mittelalterlichen Philosophie erneut zu einer zentralen Referenz, die ihn aber nun als einen Systemdenker begreift, der eine Ideenwelt (re-)konstruiert, in der dann auch die flüchtigen Erfahrungen zu sichern und zu begründen sind. Doch ist dies nicht Platon. Der historische Platon suchte nach den Kriterien, begriffliche Bestimmungen in sich, und nicht etwa in Blick auf Anderes, ggf. Höheres, zu begründen. Platon zog damit die Konsequenz aus der kritischen Haltung des Sokrates, der die spekulative Naturphilosophie verdammte, die über Dinge redet, die ihr nicht einsichtig waren und dabei Einsicht mit Plausibilität verwechselt. Platon setzte dieser Kritik nun nicht einfach ein neues System von Weltinterpretationen entgegen. Vielmehr formulierte er das Programm eines kritischen Umgangs mit dem, was wir zu wissen meinen, und formulierte dabei die Grundlagen dessen, was wir bis heute als wissenschaftlich beschreiben.

Neuplatonismus

Der spätere, nur bedingt an Platon anschließende Neuplatonismus entstand in der Phase von der Mitte des 3. bis zum 6. Jahrhundert n. Chr. In ihm verschmolzen Elemente der platonischen Ideenlehre mit aristotelischen, stoischen und pythagoreischen Lehren sowie mit Aspekten Momente der orientalischen Mystik und der christlichen Religion. Begründet in seiner systematischen Form durch Plotin wird hier die strikt analytisch, rational vorgehende Philosophie des Platon zu einer sich mit Momenten des Mythisch Intuitiven vermischende Lehre, die versucht auch über das Höchste, der Vernunft selbst nicht mehr Einsichtige Anschauungen zu gewinnen. So ist denn auch Ziel dieser Entwürfe, wie sie im Weiteren vor allem Jambilchos, Porphyrios und Proklos vertreten, den Menschen zu einer reinen Geistigkeit zu führen. Wobei wir den letztgenannten Philosophen eine Reihe historischer Angaben verdanken, über die die vormaligen von ihnen amalgamierten Traditionen gerade auch des Bereichs der Wissenschaften auf uns überliefert wurden. Der Neuplatomismus selbst zielt auf eine Einsicht, die nicht nur über das Verständige, sondern auch über das Vernünftige hinauszuführen sucht. Die Idee einer mathesis universalis wird hier aufgegebenen zugunsten eines Versuchs, die Selbsterfahrung des Menschen gänzlich aus seiner sinnlichen Beschränkung und der diskursiven Verengung seiner doch immer nur endlichen Einsichtnahme qua Vernunft hinauszuführen, und das so zu erlebende Geistige in der reinen Anschauung seiner selbst auch über das uns direkt Intelligible hinaus erfahrbar zu machen.

Was war nun die Mathematik, auf die sich Platon in seinen Schriften beziehen konnte. Explizit erwähnt er Theaitetos von Athen: Theaitetos lebte etwa von 410–368 v. Chr. und war selbst Schüler Platons, der von ihm in einem nach diesem dann auch benannten Dialog berichtete. Dieser Theaitetos war ein Mathematiker, der nun beschrieb, was in den Formeln des Mathematikers zu denken ist. Dabei benennt der Mathematiker Operationen,

wie etwa √a, für die nun aber für den Fall der 2 keine ganzzahligen Lösungen zu finden

sind. Dennoch kann ich aber mit diesen Einheiten umgehen, ich kann diese kombinieren und mit ihnen rechnen. Für bestimmte Berechnungen ist diese Art der Kombination von Werten, die an sich nicht einsichtig sind, sogar notwendig. So kann ich beschreiben, wie mit (a + √b) umzugehen ist, wann solch ein Wert, wie in einen Zusammenhang mit anderen Aussagen zu bringen ist, um etwa über ihn Größenbeziehungen darzustellen. Theaitetos arbeitet also mit abstrakten Größen, die nicht einfach anschaulich zu machen sind. Allerdings kann ich die Bezüge dieser Größen demonstrieren und so in einer Ope- ration zeigen, dass solche eine Größe wie √a nicht nur Sinn macht, sondern mit ihr auch schlüssig zu operieren ist. Dass das Verhältnis von x mal a, das in √a und √b über ihre Quadrate in einem Verhältnis steht, kann ich im Satz des Pythagoras beschreiben. Damit zeigt sich zugleich, dass über solch ein Verhältnis die Beschreibung bestimmter geometrisch darzustellender Körper möglich ist, die sich so in ihrem exakt zu bemessenden Bezug zueinander einstellen lassen. Die so beschriebenen Körper stehen damit nun in einem rationalen Verhältnis, das jedoch durch nicht einsichtige (irrationalen) Werte bestimmt ist. Das scheint paradox, zeigt aber auf, dass die bloße Anschaulichkeit nicht zureicht, mathematische Größen und ihre Beziehungen darzustellen. Um hier nun weiterzukommen, hilft es also nicht, zu beobachten, vielmehr sind die Beziehungen, unter denen solche Verhältniszuordnungen sinnvoll zu denken sind, zu bestimmen. Von daher kann dargestellt werden, was in diesen Zuordnungen einsichtig werden kann und was nicht. Nun muss es darum gehen, Regeln festzumachen, die mir diese Art des Operierens sichern. Und genau hierin entspricht Theaitetos in seiner mathematischen Problemstellung dem Denken Platons. Und so studiert er, im Anschluss an die Untersuchungen des Theodoros von Kyrene über das Irrationale, zusammengesetzte Irrationalitäten der Gestalt und deren Zusammenhang mit den regelmäßigen Körpern. Diese Ergebnisse sind eingegangen in die Bücher X und XIII der Elemente des Euklid.

Theaitetos

Der Dialog Theaitetos ist eines der mittleren bis späteren Werke des Philosophen Platon. Der Hauptteil des Dialogs schildert ein fiktives Gespräch, das Sokrates mit dem jungen Theaitetos und Theodoros, dessen Mathematiklehrer, geführt hat. Gleich zu Beginn stellt Sokrates die Leitfrage des gesamten Gesprächs: Was ist Wissen? Theätet antwortet zunächst mit einer Aufzählung verschiedener Wissensarten. Sokrates möchte jedoch auf eine allgemeine Definition hinaus. Theätet ist diese Art von Allgemeinheit aus der Mathematik zwar schon bekannt, aber er ist unsicher, ob er Sokrates' Ansprüchen genügen kann. Daraufhin beschreibt Sokrates seine philosophische Tätigkeit durch den berühmten Vergleich mit derjenigen seiner Mutter, die Hebamme war (nach dem griechischen Wort für die Hebammenkunst wird Sokrates' Methode auch Maieutik genannt). Wie eine Hebamme den Frauen bei der Geburt durch die Steuerung des Geburtsprozesses helfen könne, so helfe auch Sokrates jemandem, der mit einem Gedanken schwanger gehe, diesen Gedanken zur Welt zu bringen. Seine Hauptaufgabe sei jedoch, die Gedankengeburten darauf zu prüfen, ob sie wirklich etwas taugen oder bloße Scheingeburten sind. Theätet ist daraufhin bereit, sich dem von Sokrates anberaumten Dialog zu stellen. Er schlägt dann auch eine erste Definition des Wissens vor: Wissen sei Wahrnehmung. Diesen Vorschlag greift Sokrates auf und bringt ihn mit der These des Philosophen Protagoras in Verbindung, der sagt, dass der Mensch das Maß aller Dinge sei, der Seienden, dass sie sind, der Nichtseienden, dass sie nicht sind. Zudem habe Heraklit nun aber gesagt, dass nichts sei, sondern alles werde. Wie sind nun die beiden Positionen für die Ausgangsfrage fruchtbar zu machen. Sokrates prьft die Positionen und verwirft sie, und versucht nun erneut,

Wahrnehmung eingehender zu erfassen, bestimmt dabei dann aber die Wahrnehmung als einen physiologischen Prozess.Wenn dies nun aber der Fall ist, das heiЯt, dass ich die Wahrnehmung als solch einen Prozess zu beschreiben habe, dann ist damit nicht Wissen zu begrьnden. SchlieЯlich kann sich in einem physiologischen Prozess ja kein Urteil, keine Reflexion auf den Gegenstand, der hier wahrgenommen wird, begrьnden.Daraufhin folgt SokratesmitTheaitetos einem zweitenDefinitionsvorschlag: Wissen sei wahreMeinung. Hier zeigt nun Sokrates, dass es nicht zureicht, dass eine Meinung wahr ist, um als Wissen zu gelten, schlieЯlich kцnne man auch auf zufдllige Weise zu wahren Meinungen kommen. Demzufolge wдre also zu begrьnden, warumdieMeinung wahr sei, und es reicht eben nicht zu zeigen, dassman sie besдЯe. Nun folgen beide einer erweiterten Definition, dass nдmlich Wissen eine wahreMeinung sei, die mit einer Erklarung (Logos) versehen wдre.Woraus sich nun nach Ablehnung auch dieser Definition dieses Gesprдch darauf richtet, zu erfassen, was Logos sei.

Im Dialog Timaios beschreibt Platon fünf geometrische Körper, an denen sich zumindest implizit aufweisen lässt, was mathematische Strukturen für Platon bedeuten. Diese nach Platon dann Platonische Körper genannten Objekte sind aus regelmäßigen, gleichseitigen n-Ecken zusammengesetzte, symmetrische Konfigurationen. Bei ihnen sind demnach die Relationen, wie sie ein Mathematiker beschreiben kann, jeweils in sich abgestimmt. Hier zeigen sich Grundformen von Verhältnisbestimmungen, die in ihrer Symmetrie und organischen Harmonie die Figuration von Ideen verkörpern, wie sie sich Platon als ideale Vorstellung von Figurationen in der Welt vorstellte. Er kann nun darlegen, dass es möglich ist, mit diesen Körpern und deren Attributen – Längen der die Kanten bestimmenden Strecken, Winkeln, Anzahl und Verteilung von Eckpunkten, Mittelpunkten der Flächen – und der relativen Zuordnung all dieser Bemessungen Verhältnisbeziehungen aufzuweisen. Damit sind dann die verschiedenen Platonischen Körper auch in ihrer Vielfalt direkt in Bezug zueinander zu setzen und sind dann als eine aufsteigende Reihe mathematisch/geometrischer Grundfigurationen zu beschreiben.

Schließlich sind diese Körper nach Platon aufeinander zu beziehen und so in einen direkten Bezug zu setzen: Wenn man einen Körper in einen anderen einschreiben kann, dann sind diese Körper dual zueinander. Regelmäßige Dualitäten entstehen immer dann, wenn jede Ecke des einbeschriebenen Platonischen Körpers jede Fläche des äußeren, umschreibenden Platonischen Körpers in der Mitte berührt. Zudem lässt sich zu jedem Platonischen Körper eine eingeschriebene Innenkugel, auf der die Mittelpunkte sämtlicher Flächen des Körpers liegen, und eine umschreibende Außenkugel, auf der sämtliche Körperecken liegen, finden. Auch von daher sind die Körper in eine Beziehung zu setzen.

Abb. 4.18 Darstellung der Platonischen Körper durch Kepler, der mit ihnen die Bahnverhältnisse der Planeten zueinander beschrieb

Der einfachste Körper ist das Tetraeder, das vier (tetra) Flächen besitzt. Dies sind vier regelmäßige, kongruente Dreiecke, die die Form einer Pyramide bilden. Es hat vier Ecken, sechs Kanten und einen Flächenwinkel von ca. 70°. Das Hexaeder, der Würfel oder Kubus, besteht aus sechs (hexa) regelmäßigen, kongruenten Quadraten mit 12 gleichen Kanten und 8 Ecken. Platon hat die Platonischen Körper den Elementen Feuer, Wasser, Luft, Erde und dem Weltganzen zugeordnet. Das Hexaeder ist der Erde zugeschrieben. Das Oktaeder hat acht (octa) Flächen, sechs Ecken und zwölf Kanten. Es besteht aus zwei regelmäßigen Pyramiden zu je vier regelmäßigen, kongruenten Dreiecken und einem Quadrat als Grundfläche. Das Oktaeder steht für Luft. Das Dodekaeder besteht aus zwölf (dodeka) regelmäßigen, kongruenten Fünfecken. Es besitzt 20 Ecken. Das Ikosaeder besteht aus 20 (ikosa) regelmäßigen, kongruenten Dreiecken. Es besitzt zwölf Ecken und 30 Kanten, welche sich paarweise parallel gegenüber liegen. An einer Raumecke stoßen fünf Flächen aneinander. Das Dodekaeder und das Ikosaeder sind dual zueinander, d. h. man kann den je anderen Körper (z. B. Ikosaeder-Dodekaeder, Dodekaeder-Ikosaeder) einschreiben. Das Isokaeder entspricht nach Platon dem Wasser. Die Platonischen Körper zeigen in ihrer Zuordnung und allmählichen Komplexitätssteigerung, wie sich nach Platon die Darstellung von Figurationen mathematisch geometrisch fassen ließ (Abb. 4.18). Diese Darstellung der Grundkörper und die ihnen inneliegenden Lage- und Größenzuordnungen werden dann in der Diskussion der Mathematik nach Platon auch selbst bedeutsam.

 
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