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4.1.2.2 Eudoxos

4.1.2.2.1 Eudoxos von Knidos und die Geburt des modernen arithmetischen Denkens
Die griechischen Zahlzeichen

Die griechischen Zahlen werden durch Buchstaben als Ziffern dargestellt. Seit antiker Zeit sind drei verschiedene Darstellungsarten zu unterscheiden. Die älteste, das akrophone Prinzip, setzte bei den Anfangsbuchstaben der Zahlwörter an, während die beiden anderen jeweils von der Reihenfolge der Buchstaben im Alphabet ausgingen, denen dann entweder nach dem milesischen Prinzip dekadisch gestufte Zahlwerte oder aber nach dem Th s-Prinzip unmittelbar aus deren Stellung im Alphabet abgeleitete Zahlwerte zugeordnet wurden. Letzteres fand aber, da es auf nur 24 Werte beschränkt ist, bei den Mathematikern keine Verwendung.

Die ersten Zahlzeichen basierten auf der hieratischen Notation der Ägypter. Im

4. Jhr. v. Chr. ersetzten die Griechen die ersten drei, der aus jeweils neun Ziffern bestehenden hieratisch-demotischen Zahlenreihen, durch die Buchstaben ihres eigenen Alphabets. Seither spricht man vom „alphabetischen Zahlensystem“ (Abb. 4.19). Es teilt das Alphabet in drei Gruppen von je neun Zeichen für die Darstellung der Einer, der Zehner und der Hunderter. Um die hierfür benötigte Gesamtzahl von 3 × 9 = 27 Zeichen zur Verfügung zu haben, wurden zum Zweck der Zahlendarstellung drei alte Buchstaben, die in der griechischen Schrift bereits ausgeschieden waren, wieder eingegliedert.

• 6 = Digamma – Es entspricht dem lateinischen F.

• 90 = Koppa – Das ist das alte Qoph, also das lateinische Q.

• 900 = Sampi – Sampi oder Tsampi entspricht dem phönizischen Sade (San), sowie dem hebräischen Tzade.

Während F und Q ihren ursprünglichen Platz im Alphabet einnehmen, wurde das alte San oder Tzade, das eigentlich zwischen P und Q steht, als Tsampi, auf den letzten Platz gesetzt. Mit diesen 27 Zeichen und den ihnen fest zugeordneten Zahlwerten ließen sich durch additive Verbindung von Einern, Zehnern und Hundertern die Zahlen 1 bis 999 schreiben, also 8 = η (Eta), 88 = πη (Pi + Eta = 80 + 8), 318 = τιη (Tau + Iota + Eta = 300 + 10 + 8). Ein Zeichen für die Null gab es nicht und war für die Zwecke der Zahlschreibung auch nicht erforderlich, indem man etwa 200 = σ (Sigma), 202 = σβ (Sigma + Beta = 200 + 2), 220 = σκ (Sigma + Kappa = 200 + 20) schrieb. Um die Zahlen im Schriftbild von Wörtern zu unterscheiden, wurden Erstere in den Handschriften meist mit einem Strich überschrieben, beispielsweise τι = 310. Auch die hieratischen Zahlen zwischen 1000 und Etwa zeitgleich mit Platon lebte Eudoxos von Knidos, geb. um 408, gest. um 355 v. Chr., einer der wohl bedeutendsten antiken Mathematiker, der zugleich auch als Astronom, Geograph und Arzt wirkte und in direktem, engen Kontakt mit Platon stand. Von ihm sind zwar keine eigenen Werke überliefert, doch geben die Verweise in den Texten der folgenden griechischen Mathematiker, vor allem die Angaben bei Euklid (dem Autor des ältesten uns überlieferten umfassenden Lehrbuches der beweisenden Mathematik aus der Zeit um das Jahr 300 v. Chr.), genügend Material, um zumindest sein mathematisches Denken in seinen Grundlinien zu umreißen. Überliefert sind zudem einige Beiträge des Eudoxos zur Diskussion innerhalb der von Platon gegründeten Akademie – so eine von Eudoxos formulierte Variation der Ideenlehre sowie Überlegungen zur Ethik. Seine Hauptleistungen bewegen sich aber im Bereich der Mathematik. Er entwickelte eine mathematische Größenlehre, die auch die irrationalen Zahlen mit umfasste. Zudem entwickelte er das Verfahren des indirekten Beweises, demnach er zeigte, wie sich eben bestimmte Verhältnisbestimmungen nicht denken ließen, um so in einem umfassenden Ausschlussverfahren schließlich die Geltung einer mathematischen Aussage beweisen zu können. Das Verfahren erfordert die klare Darstellung der Ausgangssituation, den Aufweis aller Denkmöglichkeiten und ein strenges Auswahlverfahren, das die formal möglichen mathematischen Kombinationen benennt, sie in ihrer Konsequenz aufzeigt und dann diejenigen, die zu keinen sinnvollen Schlüssen führen, ausschließt. Damit ist also eine umfassende Einsicht in den Aufbau eines mathematischen Aussagegefüges und eine strenge Bewertung der Konsistenz mathematischer Aussagen und mathematischer Operationen Voraussetzung solch eines indirekten Beweisverfahrens. Mittels dieses Verfahrens leitete Eudoxos die Sätze über Rauminhaltsbestimmungen nicht ebenflächig begrenzter Körper ab. Damit sind dann etwa die Größen der Platonischen Körper bestimmbar und diese in ihren Maßfunktionen direkt ineinander überführbar. Die Ergebnisse von Eudoxos finden sich eingearbeitet in die Bücher V und XII der Elemente des Euklid.

Abb. 4.19 Die griechischen Zahlzeichen

Eudoxos' mathematische Neuerungen bedeuteten den wohl tiefsten Einschnitt in der Geschichte der griechischen Mathematik. Er fasste die Begriffe der Zahl (arithmos) – worunter er auch die Eins rechnete – der Länge (gramma), der räumlichen und der zeitlichen Ausdehnung (sterea und chronos) zusammen und beschrieb sie, ohne hierzu einen eigenen Begriff zu bilden, schlicht als mathematische Größen. Die damit in ihren Grundzügen konturierte Lehre von den (mathematischen) Größen nahm Aristoteles auf. Dessen Schüler Aristoxenos nutzte dann diese Größenlehre für die mathematische Musiktheorie und beschrieb mit ihrer Hilfe Harmoniebeziehungen. Zentrale Passagen, die Euklid von Eudoxos übernahm, betreffen das sogenannte archimedische Axiom und eine all- gemeine Proportionenlehre, in der auch Größenbeziehungen beschrieben sind, die auf irrationalen Verhältnissen beruhen – wie etwa der Zahl √ oder von Maßzahlen wie der Größe, mit der der Umfang und der Radius eines Kreises in Bezug zueinander zu setzen sind. Ferner findet sich schon bei Eudoxos eine Lehre von den Kegelschnitten, ein mathematisches Verfahren zur Bestimmung des Goldenen Schnittes – also eine direkte Anwendung seiner Proportionenlehre – sowie neben der schon benannten Herleitung der Sätze über Rauminhaltsbestimmungen nicht ebenflächig begrenzter Körper, die später so genannte Exhaustionsmethode. Er bestimmte mit den so gewonnenen Instrumentarien die Volumina von Pyramide und Kegel, wie es Euklid im Buch XII der Elemente darstellt.

Das Problem der antiken Mathematik vor Eudoxos – darauf werden wir noch einmal detaillierter in einer umfassenderen Analyse der verschiedenen Entwicklungsschritte des mathematischen Denkens in Griechenland eingehen – bestand darin, dass Konstruktionsverfahren etabliert waren, mit denen sich Zuordnungen von Körpern beschreiben ließen. Nur waren diese Verfahren analytisch, das heißt umgesetzt in ein Berechnungsverfahren, zu großen Teilen nur in Näherungen zu beschreiben. So gilt etwa für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises, dass hierzu mit einer irrationalen Zahl, der Zahl π, zu operieren ist, die sich in der Antike nur in einer Näherungsfunktion ausdrücken ließ. Will ich nun die ggf. auch aus dem babylonischen oder ägyptischen Raum übernommenen geometrischen Konstruktionsverfahren bewerten und ggf. gar beweisen, so ergibt sich die Schwierigkeit, dass für eine arithmetische Fassung solch eines Beweises schlicht die Mittel fehlen. Dabei sind die Verfahren in Ägypten und Babylon auch nicht deckungsgleich. Soll also entschieden werden, wie im Weiteren zu verfahren ist, so ist zu fragen, ob es über die Traditionen hinaus zu beweisende Regeln gibt, nach denen geometrische Größen zu behandeln sind. Sind also unabhängig von den verwandten Notationsverfahren Proportionsverhältnisse darstellbar, über die mathematische Größen – im Sinne des Eudoxos – aufeinander zu beziehen sind. Wenn dies möglich ist, kann ein Kreis vergrößert werden, und die jeweiligen damit einhergehenden Veränderungen der Maße dieses Kreises wie Radius und Umfang sind auch analytisch darstellbar. Wird ein Quadrat unter Beibehaltung des Umfangs in ein Rechteck verwandelt, so verändern sich auch die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten dieser beiden Vierecke und der jeweiligen Diagonalen zueinander. Wie wäre dies nun zu beschreiben, um Umformungen und Praktiken, mit denen Geometer in der Praxis umgehen, analytisch zu bestimmen?

Dabei besteht das Problem, dass schon die einfachen geometrischen Körper in ihren Verhältnisbestimmungen nicht einfach arithmetisch aufzulösen sind. Betrachten wir etwa ein Quadrat. Will ich es teilen, ist die einfachste Art, dies zu tun, eine Diagonale durch zwei schräg gegenüber liegende Eckpunkte dieses Quadrates zu ziehen. Es resultiert ein Dreieck mit einer Grundlänge, die in einem Verhältnis x zu den Längen der beiden Seiten steht. Allerdings gibt es keine Strecke, durch deren Vervielfachung man sowohl die beiden Seiten wie auch die Diagonale erzeugen kann. In die Sprache der Arithmetik übersetzt, bedeutet dies: Es gibt keine Bruchzahl, die das Verhältnis Länge der Diagonalen: Länge der Seite wiedergibt. Zwar ist das Verhältnis mit modernen Mitteln ganz einfach anzugeben, es

entspricht √, nur ist diese Zahl eben nicht rational aufzulösen, es ist keine Bruchzahl.

Eudoxos sucht nun derartige Größenverhältnisse (Proportionen) auch für solche Fälle noch beschreibbar zu machen. Dabei waren in der antiken Mathematik nur natürliche Zahlen (1, 2, 3, ...) und Bruchzahlen bekannt. Demnach konnten dann – wie benannt – in der Geometrie Größenverhältnisse auftreten, die sich nicht mit den Mitteln der (antiken) Arithmetik beschreiben ließen. Strecken, deren Größenverhältnis nicht durch die antike Arithmetik beschreibbar war, hießen inkommensurabel. Dies ist aber unbefriedigend, wäre man doch so auf eine Praxis verwiesen, in der Verfahren angewendet wurden, die so zwar praktikabel und von der Konstruktion her einsichtig sind, die sich aber nicht in den bisherigen Begriffen der antiken Mathematik darstellen ließen. Der hier verwandte Zahlbegriff ist zu eng, er bezieht sich auf Abzählbarkeiten. Die Geometrie arbeitet aber mit Größen, die sich über die angewandten Konstruktionsverfahren direkt aufeinander beziehen lassen. So kann ich das Quadrat teilen, die erlangten Dreiecke neu zusammensetzen, und ich weiß aus dem Konstruktionsverfahren, dass sich in den unterschiedlichen so zu gewinnenden Figuren die Grundfläche der entsprechenden zweidimensionalen Körper nicht ändert. Der Schritt des Eudoxos ist nun, diese Verfahren selbst ernst zu nehmen und die Zuordnungsverhältnisse der verschiedenen Größen, mit denen er in diesen Verfahren umgeht, nicht mehr in abzählbaren Einheiten zu bestimmen und so als Maßoperationen nachzurechnen, sondern vielmehr die Größenordnungen, in denen die Größen zueinander stehen, als eine Verhältnisbestimmung aufzufassen, die in abzählbaren oder eben nicht abzählbaren Maßrelationen auszudrücken ist.

Euklid beschreibt nun im Buch V der Elemente den Lösungsansatz von Eudoxos: Man sagt, daß Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfältigung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind.[1] Damit erweitert Eudoxos die Proportionenlehre, indem er nicht bei der Darstellung abzählbarer Größenbestimmungen verbleibt. Es geht ihm nicht mehr darum, wie ich etwas abzählen kann, wie also eine Strecke n zu finden ist, die die Strecken a, b derart bestimmt, dass deren jeweilige Ausdehnung über a mal n und b mal n zu zeichnen ist, so dass a und b über eine Maßzahl ineinander überführbar sind. Wenn diese Art des Ins-Verhältnis-Setzens nun a und b in Bezug zueinander bringt, dann wäre doch umgekehrt dieses Ins-Verhältnis-Setzen vielmehr selbst der Maßstab, über den die verschiedenen Größen aufeinander zu beziehen sind. Denke ich dieses sich Ins-Verhältnis-Setzen – modern gesprochen – als eine Funktion, so könnte ich die Idee der abzählbaren Zahl durch diese Idee einer funktionalen Beziehung, respektive den dann in einer arithmetischen Formel auszudrückenden Funktionswert, ersetzen. So weit geht Eudoxos noch nicht. Wenn er aber die Verhältnisbestimmung selbst zum Ansatz nimmt, Größen in Bezug zu setzen, also gleich Großes, Geringeres und Größeres zu beschreiben sucht, um so die Zuordnung der mathematischen Größen zu bestimmen, dann fragt sich in einer anderen Weise nach dem „Wieviel“ der Zuordnung. Auch wenn es für dieses „Wieviel“ keinen abzählbaren Wert gibt, so ist dann doch über die Tatsache, dass sich so allein in der Zuordnung dieser Größen in Bezug zueinander deren relative Größenordnungen beschreiben lassen, ein Maß gegeben. Entsprechend kann in der weiteren Konsequenz die Idee der Zahl, als Darstellung eines Abzählungsverhältnisses aufgegeben werden. Sie ist dann als eine Maßzahl zur Verhältnisbestimmung darzustellen. Damit wird die durch eine Zahl angegebene Beziehung mathematischer Größen schon bei Eudoxos zu so etwas Ähnlichem wie einem Funktionswert. Die Arithmetik gewinnt damit bei Eudoxos eine völlig neue Dimension.

Im Buch XII der Elemente beschäftigt sich Euklid mit Pyramiden, Prismen, Zylindern, Kegeln und Kugeln und bezieht sich hierin explizit auf Eudoxos. Dessen in der Antike besonders gewürdigte Leistung war die Darstellung des Volumens eines Kegels: Eudoxos zufolge entspricht das Volumen eines Kegels einem Drittel des Volumens des umschreibenden Zylinders. Entsprechende Beschreibungen kennen wir – wie benannt – zwar schon aus babylonischen Quellen, und auch Demokrit von Abdera (460–370 vor Chr.) wird eine entsprechende Vermutung zugeschrieben. Eudoxos aber bewies diesen Satz: In Euklids Elementen wird der Satz zum Kegelvolumen als Satz 10 von Buch XII vorgestellt. Der Beweis wird in Form eines indirekten Beweises ausgeführt. Ausgehend von der Annahme, dass das Volumen eines Kegels stets 1/3 des Volumens des umschreibenden Zylinders ist, wird gezeigt, dass sowohl die Behauptung, dass das Volumen eines Kegels kleiner ist, wie die Behauptung, dass sie größer ist, jeweils zu einem Widerspruch führt (Abb. 4.20). Folglich muss das Volumen genau gleich 1/3 des umschreibenden Zylinders sein.

Darüber hinaus ist Eudoxos der Erfinder der für die Mathematik so überaus wichtigen Exhaustionsmethode. Die Exhaustionsmethode ist eine Beweistechnik, die bei der Behandlung von geometrischen Problemen angewendet wurde. Die Grundidee besteht darin, dass man die Fläche bzw. das Volumen einer gegebenen Figur durch Ausschöpfung (Exhaustion) bestimmt. Dazu zerlegt man im einfachsten Fall eine gegebene Figur in endlich viele Teilfiguren und ermittelt dann die Fläche bzw. das Volumen der Ausgangsfigur durch Addition der entsprechenden Werte der Teilfiguren. So kann ich die Fläche unter einer gekrümmten Strecke in eine Folge von Säulen zerlegen und nun die Säulen sehr schmal werden lassen. Ich kann dann die Folge der Säulen bemessen und die Fläche qua Addition ermitteln. Natürlich bleibt dann ein Rest von Bogenfläche über den Säulen stehen. Dem kann ich begegnen, indem ich die Säulen immer kleiner werden lasse. Zusätzlich zu diesem Ausschöpfverfahren kann nun die entsprechende gekrümmte Fläche so bestimmt werden,

Abb. 4.20 Der von einem Zylinder umschriebene Kegel hat 1/3 des Volumens des Zylinders

dass Säulen gebildet werden, die über diese so hinausführen, dass immer noch ein Eckpunkt der Säule auf der Umhüllenden der Fläche liegt. Demnach habe ich eine Unter- und eine Obersumme zu der gekrümmten Fläche. Ziehe ich dann die beiden Flächen der kleineren und der größeren Säule voneinander ab, so gewinne ich einen Näherungswert für die Fläche oberhalb der Untersumme, die durch die dicht stehenden Säulen, die unter der Begrenzungslinie der Fläche verbleiben, nicht abgedeckt ist. Diese entspricht der Hälfte der Differenz von Ober- und Untersummen. Wird dieser Wert der Untersumme hinzugezählt, so ist insgesamt ein Näherungswert für die zu bemessenden gekrümmte Fläche gewonnen (Abb. 4.21).

4.1.2.2.2 Das kosmologische Modell des Eudoxos

Als Astronom begriff Eudoxos den Kosmos nicht mehr einfach als eine undifferenzierte Einheit, sondern als ein nach regulären mathematisch darstellbaren Beziehungen organisiertes Gefüge von Körpern, die sich nach bestimmten Maßzahlen zueinander in Bezug

Abb. 4.21 Exhaustionsmethode

Abb. 4.22 Querschnitt durch die homozentrischen Kugeln des Modells von Eudoxos (schematische Skizze)

setzten und entsprechend dann auch nach diesem Maß zueinander bewegt sind. Die Erde – wie auch alle anderen Himmelskörper – begriff er als Kugeln. Dabei soll er als Geograph auch den Umfang der kugelförmig gedachten Erde näherungsweise berechnet haben. Er soll zudem auch die Grundsätze für die Bestimmung des geographischen Ortes aufgestellt haben. Ferner wird ihm auch eine Sternenkarte zugeschrieben.

Um nun die Bewegung der Himmelskörper zueinander zu verstehen, versuchte Eudoxos die Bewegung der Himmelskörper durch ein System von rotierenden Sphären darzustellen (Abb. 4.22). Dieses Modell hat im Weiteren dann Aristoteles mit einigen Modifikationen von ihm übernommen. Trotz des Verlustes seiner Werke ist eine Rekonstruktion dieses Modells möglich, da Aristoteles in Kapitel 8 des XII. Buches der Metaphysik wie auch der spätantike Aristoteles-Kommentator Simplikios (Simplicius) ausführlich auf die Vorstellungen des Eudoxos eingehen.

Vorausgesetzt wird die Kugelgestalt der Erde, die Eudoxos in den Mittelpunkt des Kosmos setzt. Die Erde führt ihm zufolge keine eigenen Bewegungen aus. Um diese bewegen sich nun der Fixsternhimmel und 7 astronomische Objekte: Sonne, Mond und die fünf Wandelsterne Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn. Für jedes dieser astronomischen Objekte hat Eudoxos je ein eigenes Modell entwickelt. Darin beschreibt er die Bewegung der einzelnen 7 astronomischen Objekte relativ zu dem Fixsternhimmel. Er nimmt also die Beobachtungen der Astronomen auf, die die Bewegungen der verschiedenen Planeten in Bezug auf den Fixsternhimmel registrieren. Sie bestehen jeweils aus der äußeren Fixsternsphäre und 2 oder 3 inneren Sphären. Die innerste Sphäre trägt dabei jeweils das astronomische Objekt. Mit jedem der 7 Modelle kann nur die Bahn eines einzigen der 7 Himmelskörper modelliert werden. Er zerlegt also in seinem Modell den Kosmos in einzelne Figurationen, die er zwar zusammen denkt, für seine Berechnung aber als jeweils unabhängige Größen beschreibt.

Die Fixsternsphäre dreht sich einmal pro Tag um 360°. An der Fixsternsphäre ist die erste innere Sphäre über eine Drehachse befestigt. So wird die erste innere Sphäre einerseits mit der Fixsternsphäre mitgeführt, andererseits dreht sie sich aber auch relativ zur Fixsternsphäre. Ganz analog ist die zweite innere Sphäre an der ersten inneren Sphäre befestigt. Für die Darstellung der Bewegung der Sonne und des Mondes benutzt Eudoxos jeweils zwei solche innere Sphären, die miteinander verknüpft sind, so dass sich die Bewegungen der beiden Sphären dann insgesamt aufaddieren. Auf der zweiten inneren Sphäre ist denn auch jeweils der Mond oder die Sonne zu denken. Deren zu registrierende Bewegung ist nun die Resultierende der beiden jeweils zu addierenden einfachen Bewegungen der zwei Sphären. Damit kann Eudoxos die komplizierte Gesamtbewegung als Komposit von jeweils zwei perfekten Kreisbewegungen beschreiben. Für die Wandelsterne Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn setzt Eudoxos drei innere Sphären ein, deren sehr viel komplexere Bewegung relativ zum Fixsternhimmel wird demnach als das Resultat von drei sich überlagernden Teilbewegungen dargestellt. Dabei stehen auch hier die einzelnen Modelle nebeneinander, sodass Eudoxos jeweils für einen Wandelstern dessen Bewegung gegenüber dem Fixsternhimmel darstellen kann. Dieses Modell ist somit zunächst ein mathematisches, in dem nun die Bewegungen der Himmelskörper durch Überlagerung perfekt kreisförmiger Bewegungen nachgeahmt werden. Damit verbindet Eudoxos in seinen sieben Modellen das Streben nach genauer Modellierung der Naturphänomene mit den philosophisch-ästhetischen Grundsätzen aus Platons Überlegungen zur Himmelsmechanik. Für Platon kamen nämlich nur gleichwie kreisförmige Bewegungen als Grundlage der Himmelsmechanik in Betracht.

  • [1] Def. 5; Euklid, Die Elemente. Darmstadt 1991, S. 91
 
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