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4.1.4.2 Zahlen und Größen

Ursprung und Ausdeutung dieser Konstruktionsverfahren in der frühen Phase der griechischen Mathematik sind nur aus wenigen Quellen zu rekonstruieren So ist die Geometrie von Eudoxos, die um 300 v. Chr. entstand, selbst nicht erhalten. Allerdings finden sich insbesondere in den Schriften von Platon und Aristoteles ausführliche Referate seiner Ansichten, die dann natürlich auch schon durch die Ansichten dieser Philosophen gewichtet und ggf. auch schon interpretiert sind. Platon und Aristoteles führen Definitionen und Sätze an, die sie auf Eudoxos zurückführen. Sie beschreiben zudem Beweismethoden der tradierten „alten Mathematik“, geben jedoch kein umfassendes Bild der Denksystematik der von ihnen zitierten Autoritäten. Der erste vollständig erhaltene mathematische Text sind die sogenannten Elemente des Euklid. Hier besteht nun das besondere Problem, dass die älteste direkt erhaltene vollständige Abschrift aber erst aus dem 9. Jahrhundert n. Chr. vorliegt. Nun gibt Euklid ja nicht nur einen Text, sondern auch geometrische Konstruktionen. Inwieweit dann die in verschiedenen Abschriften tradierten Abbildungen die Originaldarstellungen reflektieren, muss offenbleiben. Die zentrale Quelle zur Geschichte der griechischen Mathematik ist der Kommentar des Proklos zum 1. Buch des Euklid, das sogenannte Mathematikerverzeichnis des Proklos, der 410 nach Chr. in Byzanz geboren ist. Zudem finden wir einzelne mathematikhistorische Bemerkungen, so bei Alexander von Aphrodisias aus der Wende vom 2. zum 3. Jahrhundert n. Chr. sowie die Kommentare des Simplikios aus dem 6. Jahrhundert n. Chr. und dem etwa zeitgleichen Philipponos. Hieraus und den wenigen erhaltenen Fragmenten der Vorsokratiker lassen sich aber zumindest Linien einer Mathematikgeschichte bis hin zu Euklid zeichnen.

Wie Proklos schreibt, kam der entscheidende Anstoß zur Entwicklung einer griechischen Mathematik aus dem direkten Kontakt der Seehandelsstaaten des griechischen Kulturraumes mit den Phöniziern und dem Kontakt mit der ägyptischen Kultur.: ... Wie nun bei den Phönikern aus Handel und dem Tauschverkehr die genaue Kenntnis der Zahlen ihren Anfang nahmen, so ist bei den Ägyptern die Geometrie gefunden worden. Thales kam nach Ägypten und brachte zuerst diese Wissenschaft nach Hellas hinüber. Vielerlei fand er selbst, zu Vielem legte er auch die Grundlagen, für die, welche nach ihm kamen. Daß der Kreis vom Durchmesser in zwei gleiche Teile zerlegt wird, soll er zuerst dargelegt haben –; [auch] gesagt haben, daß von jedem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel gleich sind, wobei er in einer mehr altertümlichen Weise die gleichen Winkel vielmehr „formähnlich“ genannt habe. Der Satz, daß wenn zwei Geraden einander schneiden, die Scheitelwinkel gleich sind, ist von Thales zuerst gefunden. Es heißt er hat den Abstand der Fahrzeuge auf See berechnet .... Nach ihm war es Mamertios, der Bruder des Dichters Stesichoros, der nach der Überlieferung sich mit dem Studium der Geometrie befaßte, und Hippias von Elis berichtete, daß er wegen der Geometrie zu Ruhm gelangte; ihm folgte Pythagoras . . . [1]

Schon skizziert hatten wir im Zusammenhang der Entwicklung der naturgeschichtlichen Vorstellungen die Bedeutung der Pythagoreer für die Entwicklung des mathematischen Denkens. Diese hatten im Kontext ihrer umgreifenden Harmonielehre eine allgemeine Darstellung von Maßrelationen und darin eine Zahlenlehre formuliert, die von der bloß bemessend skalierenden Nutzung der Zahl absah und sie vielmehr als Relationsbestimmung zu fassen suchte. Eine wichtige Quelle, in der diese pythagoreische Zahlenlehre auszulesen ist, ist die Arithmetik des Nikomachos von Gerasa, der die Zahlen nicht mehr einfach als eine – abzählbare – Reihe von Bemessungsgrößen, sondern als eine Gruppe, der verschiedene Eigenschaften zuzuschreiben sind, beschrieb: Die erste Einteilung der Zahlen ist die in gerade und ungerade. Nach Euklid, der auf diese Tradition verweist, ist dabei dann: Gerade . . . die Zahl, die sich halbieren lässt.[2]

Am Beispiel des Zenon hatten wir die Anfänge der Logik bei den Eleaten betrachtet. Einzelne geometrische Verfahren, wie die Darstellung der Flächeninhalte geometrischer Körper, kannten schon die Babylonier, von denen wir Aufgaben beschrieben hatten, nach denen die Verwandlung eines Rechtecks in ein Quadrat unternommen werden konnte. Auch Sätze wie der, dass die Fläche eines Dreieckes halb so groß ist wie die des Rechteckes mit gleicher Grundfläche und Höhe, der Kongruenzsatz und das Verfahren zur Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks, das wir von Thales her kennen, finden sich, zumindest als fallspezifische Konstruktionsanweisungen, in der babylonischen Mathematik. Was hier allerdings fehlt, ist der Versuch zu beweisen. Diese Mathematik scheint noch nicht von der Situation des Einzelfalles auf Grundbestimmungen von geometrischen Konstruktionen abstrahiert zu haben, in denen dann die einzelne Berechnung als Spezialfall einer bewiesenen Konstruktion betrachtet werden kann. Erst bei Thales fanden wir den Übergang von Vorschriften zu allgemeinen Sätzen.

Wie sind aber nun deren Voraussetzungen, d. h. die dann geometrisch zu fassenden Bedingungen einer möglichen Konstruktion zu beschreiben? Hier setzte Platon an, der aus den Grundformen Kreis und Gerade die möglichen Konstruktionsverfahren, d. h. die Regeln des Umgehens mit geometrischen Körpern abzuleiten suchte. Ziel seiner Überlegungen war eine auf Prinzipien basierende Konstruktionsvorschrift.

Die Pythagoreer hatten demonstriert, wie Sätze schrittweise aus anderen Sätzen abzuleiten sind, und hatten so ihre Maßrelationen beschrieben. Die notwendigen Ausgangssätze für entsprechende Verfahren – beschrieb nun Platon – sind dann unmittelbar aus Definitionen abzuleiten. Diese können dann, in der Konstruktion als praktikabel erwiesen, in sich in ihrem Bezug abgestimmt und demnach in Geltung gesetzt werden. Zahlen sind demnach nun nicht einfach Bemessungsgrößen. Zahlen, das zeigt die Geometrie schon des Eudoxos und das beschreibt Platon im Timaios, beschreiben Relationen zwischen Größen. Also entsprechen Zahlen selbst solchen Größen, und die Transformationen, die mit den geometrischen Größen unternommen werden können, zeigen, wie sich Zahlen und Zahlenverhältnisse zueinander verhalten.

Was ist dann eine Zahl? Sie ist dann nicht mehr das bloß Abzählbare, sie ist, das zeigt der Quadratrix des Hippokrates von Kriton, etwas, das aus einer Operation mit geometrischen Größen bestimmt werden kann, etwas, das in seiner Größe aus dieser Operation erwächst und durch diese Operation in Bezug zu andern Größen definiert ist. Nur führt diese Operation, das hatten wir im Verdikt des Aristoteles gegen den Versuch der Quadratur des Kreises mittels eines Approximationsverfahrens gesehen, an Grenzen. Die Darstellung der Operationen setzt voraus, dass deren Elemente aufeinander abgestimmt sind. Die Konstruktion, die sie nutzt und ineinander überführt, zeigt dies. Da, wo dann aber die Elemente aus der Konstruktion definiert sind, ist zu fragen, inwieweit damit andere über diese Konstruktion in ein Verhältnis gesetzte Elemente durch diese Verhältnisbestimmung auch derart definiert sind, wie die Elemente, mit denen in dem ersten Schritt der Konstruktion gearbeitet wurde: Grundelemente und Grundoperationen, in denen mit diesen Elementen umgegangen wird. Damit sind Voraussetzungen in die Konstruktion eingebracht, die selbst in der Konstruktion nicht mehr bewiesen werden, sondern die allein aus dem Vollzug der Konstruktion ihre Begründung ableiten können.

Platons Ideenlehre zeigt nun aber, dass die Konstruktion selbst eben nicht in der Anschauung bestimmt werden kann. Sie kann anschaulich werden, ist aber umgekehrt dann als eine strukturelle Operation zu beweisen, d. h. es ist ein Berechnungsverfahren anzugeben, in dem die Konstruktion beschrieben ist. So gibt es nach Platon bei jedem Ding drei Momente, durch die die Erkenntnis notwendigerweise zustande kommen muss, das vierte ist sie selbst, als fünftes ist das zu setzen, was durch die Vernunft erkennbar und das wahrhaft Seiende ist. Das erste ist der Name, das zweite der Begriff (Logos, die sprachlich ausgedrückte Begriffsdefinition), das dritte das (mit den Sinnen wahrnehmbare) Bild, das vierte die Erkenntnis.

Wie sind nun aber die Momente solchen Erkennens darzustellen und dann in ihren möglichen Kombinationen zu beschreiben? Hierzu, so Platon, sind sie zunächst abzugrenzen und in einer Hierarchie von Bestimmungen zu klassifizieren. Damit erhalten sie ihren Ort in der Hierarchie begrifflicher Bestimmungen. Und derart kann die Ebene bestimmt werden, in der sie Geltung tragen, der Bereich benannt werden, für den sie bestimmend sind, und die übergeordneten Kategorien identifiziert werden, nach und in denen sie sich bewegen können. In dieser Hierarchie werden so die Ordnungsrelationen zwischen Begriffen bestimmt. Diese sind nach Aristoteles in der Abstufung von Art und Gattung zu beschreiben. So kann dann dargelegt werden, was an Spezifikationen in der Art des Umgehens mit Relationen gegenüber der prinzipiellen Bestimmbarkeit auf Ebene der Gattung möglicher Bestimmungsmomente zu beschreiben ist. Regeln sind zu formulieren, in denen die Ordnung der Bestimmungen aufeinander zu beziehen ist. Schlüsse sind zu begründen, und so kann die Logik eines Beweisverfahrens und damit dieses selbst einsichtig gemacht werden.

Das einfache dichotome Schema solchen Klassifizierens gibt der sogenannte Baum des Porphyrios vor, in dem etwas – wie dies Platon ausführte – in einer strikt dichotomen Hierarchie von spezifizierenden Bestimmungen definiert wird. Seine Definition ergibt sich dann, zum Einen in Bezug auf die begriffliche Ebene, in der etwas bestimmt wird, und dann zum Zweiten in der Darstellung der sogenannten spezifischen Differenz zu der alternativen Ordnungseinheit auf eben dieser Ebene: Definitio fit per genus proximum et differentiam specificam. Nach Aristoteles, auch dies hatten wir betrachtet, ist die Größe eine Kategorie, das bedeutet, es ist eine Grundbestimmung unserer Qualifizierung von Realitäten. Die Zahl als kategoriale Bestimmung wäre damit eine operative Größe unseres Verstandes, die in einer internen Abstimmung der Regeln, in denen wir sie anwenden, beschrieben und in Geltung gesetzt wird. Die Zahl ist insoweit etwas, nach dem wir die Dinge bemessen. Sie ist nicht im pythagoreischen Sinne das Maß des Existenten, sie ist vielmehr eine der Grundbestimmungen, nach denen wir die Dinge qualifizieren, und in denen wir Welt und uns überhaupt zu denken vermögen.

Eine Größe – so schreibt Aristoteles – bezeichnet demnach dann auch etwas, was in Bestandteile zerlegbar ist, von denen jeder seiner Natur nach ein Eines und Dieses ist. So sind Größen Werte, sie sind in Zahlen, in Figurationen, in geometrischen Elementen darzustellen, sind aber nicht einfach diese jeweils konkreten Bestimmtheiten. Es sind operative Bestimmungen, die sich in Maßrelationen ausdrücken, und insoweit die formale Grundbestimmung von Einheiten und Einheitlichkeit des Naturalen ermöglichen. Zusammenhängende Größen sind dabei dann solche, die sich als Teilbereiche eines bestimmten Gegenstandsbereichs fassen lassen. Dies definiert Aristoteles im fünften Buch seiner Physik wie folgt: Ich sage ..., „zusammenhängend“ liege dann vor, wenn die Grenze beider [von zwei Dingen], da wo sie sich berühren, eine und dieselbe geworden ist. [3] Größen stehen demnach in einem Wertungsgefüge, sie sind in einem Zahlenraum abbildbar, der sich derart in ihnen strukturieren lässt. Sie erlauben es, in diesem Zahlenraum Teilfunktionen zu definieren, die eben in bestimmten Zahlreihen oder Maßgruppierungen darzustellen sind. Was der Möglichkeit nach in nicht zusammenhängende Teile zerlegbar ist, heißt – für Aristoteles – eine Menge. Was in zusammenhängende Teile zerlegbar ist, heißt für ihn Ausdehnung. Er unterscheidet demnach also zwischen Reihungen und Kontinuitäten. Er beschreibt Expansion und Serie als anschauliche Größen, in denen sich dann aber nun auch wieder bestimmen lässt, was das ist, eine Größe. Demnach hat der Begriff der Menge bei Aristoteles dann aber auch sowohl die Bedeutung von Menge und auch die Bedeutung vom Maß einer Menge – wir sprechen heute von Mächtigkeit.

Euklid, der Lehrbuchautor, dessen Elemente im 3. Jahrhundert vor Chr. formuliert wurden und dann bis in das 19 Jahrhundert das mathematische Denken bestimmt haben, und dessen Aufgabentexte bis heute das gymnasiale Lehrprogramm der Mathematik bestimmen, steht in seiner Darstellung in direktem Bezug auf die Position, die Aristoteles vertritt. Sein Lehrbuch basiert auf Axiomen, zeigt, wie sich auf diesen Axiomen basierend, ein ganzes System von Aussagenzusammenhängen darstellen lässt. Seine Mathematik demonstriert die Grundelemente, die Kombinationsregeln und die Beweisverfahren, nach denen die Systematik dieser mathematischen Sätze zu formulieren ist. Sie operiert mit den Zahlen als Größen, die in geometrischen Operationen ins Verhältnis gesetzt werden. Sie offeriert Regeln und Verfahren, mit denen dieses getan werden kann, und entwickelt so ein Gebäude von Aussagen, dessen Funktionalität nun auf einer zweiten Ebene beschrieben werden kann. So sind dann Kombinationsregeln zu formulieren, die in ihrer Konsistenz mit dem Lehrgebäude schon vorhandener mathematischer Sätze aufgewiesen werden und so Elemente des Mathematischen definieren, die in Abhängigkeit von schon gefundenen Regeln zusehends kompliziertere Operationen und damit zusehends komplexere Größen und Größenbestimmungen darzustellen erlauben. Nicht nur, dass so komplizierte geometrische Operationen wie Kegelschnitte möglich werden. Die Schnitte, die in strikt geführten Operationen definiert sind, erlauben es nun auch, im Resultat neue geometrisch zu fassende Körper zu definieren und in ihren Eigenschaften zu bestimmen, die so – wie die Hyperbel – zunächst gar nicht anschaulich waren, nun aber in der geometrischen Konstruktion Anschaulichkeit gewinnen. So konstruiert die Mathematik Formen auch des Anschauens, Bestimmungen der Zuordnung von Größen, in denen das System der in sich abgestimmten Schlüsse von Größenbeziehungen und deren Relationen darstellbar werden.

Das mathematische Denken – das zeigt sich nun in der Systematik des euklidschen Lehrbuches, das dann in der weiteren Entwicklung der Antike auch fortwährend ergänzt wurde – ist bestimmt durch die Konstruktion, die als solche dann in der Mathematik expliziert wird, und so in der Abfolge des in der Konstruktion zu Erfahrenden auch sukzessive auszuweiten ist. Die Kombination von Gerade und Kreis führt zu Regeln der Umlagerung und Transformationen, beschreibt Körper wie Kreis, Kegel oder Pyramide. Die Darstellung einer Fläche in diesen mathematisch konstruierten Körpern schafft Einsicht in komplexe Formzuordnungen und definiert neue mathematische Körper. Auf der Einsicht in deren Konfigurationen aufbauend kann nun wieder die Zuordnung komplexer Größen variiert und erweitert werden. In der analytischen Fassung, die von der konkreten geometrischen Transformation absieht, sind dann auch die abstrakten Regeln zu formulieren, mit denen Zuordnungsbeziehungen zu bewerten und zu erarbeiten sind. Das, was dann dort benannt wird, sind Formeln, in denen sich diese Beziehungen in der Vielfalt ihrer Möglichkeiten ausdrücken lassen. Das Mathematische gewinnt somit neuen Raum und neue Größen, es baut aus diesen Elementen ein Gebäude, das in der inneren Sicherung der Aussagen mit den Mitteln der Logik und der Topik grundsätzliche Sicherheiten zu formulieren erlaubt, die zum einen die Beschreibung der Dinge in eine neue Dimension setzen und zum anderen auch zeigen, was nunmehr die Formulierungen einer idealen Wissenschaft durch Platon faktisch bedeuten.

  • [1] Proklos, zitiert nach W. Kranz. Vorsokratische Denker, Auswahl aus dem Überlieferten. Berlin, Frankfurt 1949, S. 39
  • [2] Euklid, Die Elemente. Darmstadt 1991, VII. Buch, Def. 6, S. 141
  • [3] Aristoteles, Physik. In: Aristoteles, Philosophische Schriften. Hamburg 1995, S. 127
 
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