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4.1.4.3 Die Elemente des Euklid

Von Euklid, der etwa zwischen 365–300 v. Chr. in Alexandria lebte und wirkte, ist selbst nur wenig bekannt. Sein Hauptwerk, die Elemente, entstand wahrscheinlich um 325. In ihren insgesamt 13 Büchern sind die Lehren der griechischen Mathematik seiner Zeit zusammengefasst und, auf Axiomen, Postulaten und Definitionen aufbauend, systematisch zusammengestellt. Es wird immer wieder diskutiert, inwieweit hier ein bloßes Kompilat oder eine eigenständige Leistung des Euklid vorliegt, zumal Verweise auf vor Euklid publizierte Lehrbücher Anleihen nahelegen. Allerdings wurden diese anderen Bücher auch nicht weiter abgeschrieben, und zudem wurde auch nach Euklid kein vergleichbares, eigenständiges Lehrbuch verfasst. Das zeigt uns die Wertschätzung die die Elemente des Euklid schon in der Antike erlangten. Mit seinem mustergültigen Aufbau, in dem sich nicht nur die einzelnen Sätze und Beweise klar formuliert finden, sondern die Gesamtdarstellung des Systems des mathematischen Wissens in eine schlüssige Form gebunden ist, wird ein in sich abgestimmtes Lehrgebäude übermittelt. In seiner Konsistenz und in der Qualität der vorgestellten Verfahren wirkte dieses Buch nachhaltig und bestimmt unser mathematisches Denken und damit unser abendländisches Naturwissen bis heute maßgeblich. Dabei sind es nicht nur die Formeln und die Formen des Mathematischen, es ist selbst unsere Anschauung, die wir nach euklidischen Geometrie ausrichten. In und nach dieser ordnen wir uns die Welt. Nach dieser bestimmen wir zumindest in unserem Alltag noch bis heute die mathematisch zu bemessenden Größen. Euklids Elemente sind damit das maßgebliche Buch abendländischen Wissens. Und so ist es schon kurios, dass sein Autor hinter diesem Werk gerade auch in dem, was wir von ihm als Person wissen, so völlig zurücktritt. Sein Kommentator Proklos Diadochos (um 450 nach Chr.) berichtet: Wenig jünger als diese (die Mathematiker der Akademie) ist Euklid der die Elemente schrieb, der dabei vieles aus Eudoxos verwendete, vieles von Theaitetos Behandelte zum Abschluss brachte und, was von Früheren nur oberflächlich dargestellt war, durch unanfechtbare Beweise stützte. Proklos Diadochos schreibt weiter: Dieser Mann (Euklid) lebte zur Zeit des ersten Ptolemaios; denn Archimedes, der nach dem ersten kam, erwähnt den Euklid; auch erzählt man, dass Ptolemaios ihn einmal nach einem kürzeren Weg durch die Geometrie als das Elementenwerk gefragt habe. Er habe darauf geantwortet, einen besonderen Zugang für Könige zur Geometrie gebe es nicht. Er ist jünger als der Platonische Kreis und älter als Eratosthenes und Archimedes.[1]

Euklids Schriften umfassten zudem mit der Schrift Data eine Arbeit, die die Elemente ergänzt. In ihr finden sich Sätze der folgenden Art dargestellt: Sind bei einer Figur gewisse Stücke gegeben, so sind damit auch andere Teile gegeben. In einer arabischen Abschrift ist zudem ein Werk Über die Teilung von Figuren erhalten. Hier sind Aufgaben beschrieben, die etwa zeigen, wie ein Dreieck durch eine Gerade gegebener Richtung in zwei Flächen von gegebenem Verhältnis geteilt werden kann. Sodann finden wir Schriften aus dem Bereich der Angewandten Mathematik, so zur mathematischen Astronomie (Phainomena), zur Optik – diese Schrift beschreibt die scheinbare Größe und Form der Figuren bei verschiedner Lage und Entfernung, eine Musiktheorie, die aufbaut auf der Lehre von mathematischen Verhältnisbestimmungen (sectio canonis). Fragwürdig ist die Zuschreibung einer Schrift von den Spiegelungen, der Katoptrik, die ggf. erst von Theon von Alexandria verfertigt ist. Unklar ist auch die Autorschaft einer Schrift über die Mechanik, die in arabischer Übersetzung überliefert ist. Nicht erhalten sind Schriften über Fehlschlüsse, Orte auf Flächen und Kegelschnitte.

Hippokrates von Chios

Mathematiker aus der zweiten Hдlfte des 5. Jahrhunderts vor Chr., der etwa zwischen 450–430 vor Chr. in Athen wirkte. Bekannt ist sein Versuch, das Problem

der Quadratur des Kreises durch die Quadrierung der sogenannten Mцndchen,

d. h. durch Kreisbogen begrenzte mondsichelfцrmige geometrische Kцrper zu lцsen. Diese Mцndchen des Hippokrates sind spezielle aus zwei Sichelbцgen gebildete Zweiecke. Bei ihnen stehen die zu den Kreisbцgen gehцrigenMittelpunktsverhдltnisse im Verhдltnis 2 : 1, 3 : 1 oder 3 : 2. Die Summe der von den Halbkreisen ьber den Katheten und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebildeten Mцndchen

Abb. 4.28 Die Möndchen des Hippokrates von Chios

des Hippokrates ist dem Dreieck selbst flдchengleich. Entsprechend gelang ihm, den Flдcheninhalt solcher Mцndchen sowie auch die Summe eines Mцndchens und eines Kreissegmentes zu berechnen (Abb. 4.28). Unklar bleibt, ob er damit auch das Problem der Kreisquadratur gelцst zu haben glaubte, schlieЯlich wдre, wenn aus der Mцglichkeit der Quadrierung einiger Mцndchen zu folgern wдre, dass auch jedes beliebige Mцndchen zu quadrieren sei, letztlich auch der Kreis, als Summe einer Folge von Mцndchen, quadriert. Das groЯe mathematische Problem seiner Zeit, die Verdoppelung des Wьrfels, hat Hippokrates mit Hilfe der Einschiebung zweier mittlerer Proportionalen zu lцsen versucht und damit die Lцsung des Problems einen wesentlichen Schritt weitergebracht. Zudem werden ihm Neuerungen in der Konstruktionsanalyse zugeschrieben. Er ist der Autor einer nicht ьberlieferten Schrift zu den Elementen der Geometrie.

Die Elemente des Euklid weisen auf eine ältere – uns nicht erhaltene – Elementarlehre des Hippokrates von Chios zurück, die um 439 verfertigt wurde, sie nimmt auch direkten Bezug auf die früheren Werke des Eudoxos und des Theaitetos, ist aber dennoch nicht rein kompilatorisch. Es ist ein Werk für Studenten, das diese systematisch in die mathematischen Verfahren einführt, Beweise darlegt und den Aufbau des mathematischen Denkgebäudes aufzeigt, ohne dass es praktische Anwendungen darstellt. Der Text wurde im Museion in Alexandria tradiert und dort spätestens um 60 n. Chr. von Heron umfassender bearbeitetet, so sind u. a. auch einige der Axiome und Postulate von Heron zumindest umformuliert worden. Eine weitere umfassende Überarbeitung verdanken wir Theon von Alexandria, sie ist etwa in die Zeit um 370 nach Chr. zu datieren, kann allerdings mit Hilfe der Angaben, die sich in dem sogenannten Kodex P finden, einem Euklid-Kommentar aus dem griechischen Raum, der, vor Theons Überarbeitung, etwa um 290 n. Christus entstand, zumindest in ihren grundlegenden Veränderungen rekonstruiert werden. Ins Arabische wurden die Elemente um 900 von an-Nairizi übertragen. Die erste gedruckte Ausgabe der Elemente erschien 1482 in Venedig.

Die Elemente untergliedern sich in 15 Bücher. Wobei das Buch 14 von Hypsikles, einem Mathematiker des 2. Jahrhunderts vor Chr., verfasst wurde. Dieses Buch ist eine Spezialuntersuchung über die regelmäßigen Körper, die sogenannten Polyeder. Das Buch 15 wurde wahrscheinlich von einem Schüler des Isodoros, einem Geographen der augustinischen Zeit, verfasst. Auch dieses Buch handelt über regelmäßige Körper.

Das erste Buch der Elemente beginnt mit Definitionen, Axiomen und Postulaten. Ganz entsprechend dem aristotelischen Wissenschaftsideal sind damit die Grundlagen, auf denen aufbauend nun ein Wissenssystem zu bearbeiten ist, formuliert. Dabei knüpfen die ersten Definitionen an der Definition des Quantitativen des Aristoteles an, wenn sie etwa die Linie als eine breitenlose Länge beschreiben. Die Bücher I bis IV beschreiben dabei die Geometrie in der Ebene. Buch V behandelt die Verhältnislehre und schließt sich an Eudoxos von Knidos an. Buch VI. Das Buch sechs zeigt nun die geometrische Anwendung des Vorhergehenden mit einer Darstellung der Ähnlichkeitslehre. Die Bücher VII bis IX stellen die Lehre von den Zahlen dar und sind inhaltlich weitgehend pythagoreischen Ursprungs. Die Bücher X bis XIII enthalten Inhaltsbestimmungen ebener Flächen und von Körpern im Raum (Stereometrie). In Buch X findet sich zudem die Lehre von den Irrationalitäten, und in Buch XIII werden Untersuchungen über regelmäßige Körper systematisiert, welche auf Theaitetos zurückgehen.

Das Buch I beginnt – wie erwähnt – mit den beweislos anzuerkennenden Grundlagen mathematischer Operationen. In deren Darstellung definiert Euklid die Objekte seiner Wissenschaft. Dabei setzt Euklid die Anschauung voraus – wer nicht weiß, was ein Punkt ist, wird es aus Euklids Definition nicht lernen – grenzt dann aber durch seine Definitionen die Einheiten, mit denen in der Anschauung operiert wird, voneinander ab, und gibt so ein klar konturiertes Instrumentarium für mathematische Konstruktionen an die Hand. Dass diese Instrumente funktionieren, beweist, dass ihr Einsatz sinnvoll ist. Damit gewinnen sie in der Praxis ihre Realität. Und genau so können die Definitionen des Euklid durch Postulate oder aus solchen abgeleiteten Konstruktionen als sinnvolle Start- und Ausgangsbedingungen mathematischen Denkens gesichert werden. Die Postulate zeigen, wie mit diesen Elementen umzugehen ist, und verifizieren so in ihrer Praktikabilität den Sinn der entsprechenden Definitionen. Dadurch, dass sie in der Konstruktion in ihren Eigenschaften expliziert werden, wird dargelegt, dass diesen Definitionen eine mathematische Realität entspricht. Euklid unterscheidet nun zwischen Postulaten und Axiomen, wenn auch die Grenze zwischen beiden noch fließend ist. Dabei ist ein Postulat ein spezieller geometrischer Grundsatz, der die Möglichkeit einer Konstruktion, und damit die Existenz eines Gebildes sichert, das mit den in den Definitionen vorgegebenen Elementen konstruiert ist. Ein Axiom ist demgegenüber für Euklid ein allgemein logischer Grundsatz, den kein Vernünftiger, auch wenn er von der Geometrie nichts weiß, bestreitet. Dabei sind nicht alle dieser Axiome schon im Urtext von Euklid formuliert. Teilweise wurden sie von Heron von Alexandria ergänzt.

Propositionen sind zum einen als Aufgaben, zum anderen als Lehrsätze formuliert. Sie zielen auf den in ihrer Lösung liegenden Existenzbeweis. Dabei sind die wesentlichen Glieder einer Proposition – nach Proklos:

1. Die allgemeine Vorlage, der vorgegebene Lehrsatz oder die vorgegebene Aufgabe,

2. das speziell Gegebene, die Voraussetzung, unter der nun der Lehrsatz angewandt, respektive die Aufgabe nun mit konkreten Werten zu berechnen ist,

3. das speziell Geforderte, die Behauptung,

4. Die Konstruktion,

5. Beweis, die auf die Vorlage zurückgreifende Schlusszusammenfassung, die zeigt, wie unter Annahme des Lehrsatzes in der speziellen Bedingung der vorgegebenen Aufgabe nunmehr die Konstruktion belegt, dass die aus dem Lehrsatz geschlossene Behauptung richtig und damit der Lehrsatz anwendbar und insoweit korrekt ist.

Damit ist die Art des mathematischen Argumentierens bei Euklid dargestellt. Entsprechend diesem Schema werden nun die verschiedenen Problemstellungen in Einzelaufgaben behandelt. Lehrsätze werden formuliert, in ihrer Anwendbarkeit demonstriert und so gelehrt, wie eine konstruierende Mathematik mit ihren Problemstellungen umgeht, welche Art von Problemstellungen sie entwickelt und wie zuletzt in der Konsistenz einer mathematischen Gedankenführung ein eigener Raum des Mathematischen konstruierbar wird. Was fehlt, sind die Anwendungen, in denen mit den gewonnenen mathematischen Sätzen dann auch Naturgegebenheiten beschrieben oder Probleme etwa der Physik, der Vermessungslehre oder Astronomie gelöst werden.

So folgt nun im ersten Buch Euklids, in den §§ 1–26, eine Kongruenzlehre. Daran schließt sich in den §§ 27–32 eine Parallelentheorie an, die dann in den §§ 33–48 durch die Hauptsätze über das Parallelogramm ergänzt wird, und schließlich die Lehre von der Flächengleichheit entwickelt:[2]

Buch I Definitionen

1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.

2. Eine Linie breitenlose Länge.

3. Die Enden einer Linie sind Punkte.

4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.

5. Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.

6. Die Enden einer Fläche sind Linien.

7. Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmäßig liegt.

8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die ineinander treffen ohne einander gerade fortzusetzen.

9. Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade sind, heißt der Winkel gradlinig.

10. Wenn eine gerade Linie auf eine andere gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter.

...

13. Eine Grenze ist das, worin etwas endigt.

14. Eine Figur ist, was von einer oder mehren Grenzen umfaßt wird.

15. Ein Kreis ist eine ebene von einer einzigen Linie umfaßte Figur mit der Eigenschaft, das alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.

16. Und Mittelpunkt des Kresies heißt jener Punkt.

...

Postulate Gefordert soll sein:

1. Daß man von jedem Punkte nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,

2. Daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,

3. Daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,

4. Daß alle rechten Winkel einander gleich sind,

5. Und daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zueinander kleiner als zwei rechte sind.

Axiome

1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.

2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.

3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, so sind die Reste gleich.

...

7. Was einander deckt, ist einander gleich.

8. Das Ganze ist größer als der Teil.

Wie dies geschieht, zeigt etwa das Buch 7; in der Definition drei formuliert Euklid: Teil einer Zahl ist eine Zahl, die kleinere von der größeren, wenn sie die Größere genau misst. Was heißt hier nun aber nun „genau messen“? Euklid stellt diese Frage selbst und variiert nun die Definition wie folgt:[3]A ist Teil von b,a = b/n, wenn es eine ganze Zahl gibt (n), für die b× n= a“. Allerdings definiert Euklid aber das Produkt erst in Definition 15, durchbricht also hier seinen klaren Schematismus. Anzuwenden ist hier nun aber, nach seinem Text, die folgende Überlegung: Es gibt Zahlen, die aus mehreren solchen Teilen einer anderen Zahl bestehen, Euklid bezeichnet solche Zahlen als Zusammenfassung mehrerer solcher Einheiten, eine solche Zahl z bezeichnet Euklid als den Plural – Teile von b. Das heißt eine Zahl z heißt einige Teile von b, wenn z die Zahl b nicht genau misst, wobei Euklid meint, dass z eine eindeutig bestimmte Menge von Teilen von b sein soll.

Also gilt z = mp× b/n.

Das heißt nun, zwischen den Zahlen z und b gibt es immer eine Relation der Form

z = (b/n) mit eindeutig bestimmten Zahlen m und n.

Wenn Zahlenpaare z, b oder auch d, c „dem Verhältnis nach gleich sind“, stehen sie in Proportionen zueinander. Euklid formuliert dann: Dass sie (die Größen) ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vielfältig einander übertreffen können.[4]

Die Zahl, das war schon in der Darstellung der Platonischen Philosophie deutlich, ist eine Verhältnisbestimmung. Zahlen sind nicht einfach Skalen, sie sind Relationen. Und so definiert später auch Euklid nicht, was das Verhältnis zweier Zahlen ist, sondern wann zwei Verhältnisse gleich sind. Im Sinne der benannten Konstruktionsverfahren ist dies sinnvoll, werden Größen hier doch ineinander transformiert, und es interessiert nicht, was das ist, was transformiert wird, vielmehr wird das, was da transformiert wird, nur in seinen Transformationsbedingungen interessant.

Diese Art der Relationsbestimmung ist Voraussetzung jeder mathematischen Operation, diese ist geometrischer Art.

Wie aber sind dann zwei Größen dem Verhältnis nach zu vergleichen? Hierzu sind Regeln für Größen vorzulegen, die bestimmen, wann sie in bestimmten abzählbaren Verhältnissen stehen. Was aber sind nun vergleichbare Größen?

Größen gleicher Art sind Größen – so Euklid –, die, wenn sie vervielfältigt sind, einander übertreffen können.

So kann ich dann, wenn ich Größenverhältnisse von Flächen bestimme, diese als Größen einander zuordnen. Das was so unterschiedlich anzuschauen ist, kann derart einander zugeordnet werden. Die Zahl erlaubt die Bestimmung der Größenverhältnisse, sie ist eine Größenbestimmung. Damit ist dies eine Darstellung von Zuordnungen, die diese Art der In-Bezugnahme aus der Anschauung herausnimmt.

Die weiteren Abschnitte behandeln die Quadratur, Schnitte von Flächen und Brüche. Dabei ist ein Bruch nach Euklid, ganz im Sinne Platons eine in Gedanken zerschnittene Einheit. Sind nun Brüche damit aber noch Zahlen, denn in der Theorie ist die Zahl mit dem Begriff der Unteilbarkeit verbunden. Also kann Euklid Brüche nicht als Zusammenfassung kleinerer Teile erklären, sondern muss die Teile einer Zahl als das behandeln, was sie sind: Teile.

Nun kann aber der Teil einer Zahl wieder eine Zahl sein.

Das heißt, auch in der Beschreibung der Brüche operiert man so mit Verhältnisbestimmungen. Wenn a = m (b/n) und c = m (d/n), zeigt dies nun allerdings nicht, in welchem Verhältnisse diese Größen stehen, sondern wie sie zueinander gleich sind.

Für geometrische Größen ist diese Definition nun aber problematisch, da es Größenbeziehungen sind, Relationen, die nun umgekehrt genau in ihren Verhältnissen bestimmt sind. Hier ist also die Eingrenzung des Euklid aufzulösen. Demnach folgt denn nun auch für die Theorie der Größenverhältnisse, dass man Kriterien dafür braucht, wenn zwei Größen gleicher Art sind. Dies wird nun zum Gegenstand der Theorie des 1. Teils des 1. Buchs der Elemente.

Daraus formulieren sich dann aufbauend Gesetzmäßigkeiten wie das Distributionsgesetz: Hat man zwei Strecken und teilt die eine von ihnen in beliebig viele Abschnitte, so ist das Rechteck aus den beiden Strecken den Rechtecken aus der ungeteilten Strecke und allen einzelnen Abschnitten zusammen gleich.[5] So lassen sich nun Konstruktionen entwickeln, in denen aufgewiesen wird, wie sich gleichartige Größen konstruieren. Damit sind dann Größenrelationen zu bestimmen. Der § 47 des ersten Buchs von Euklid macht die deutlich:[6]

Am rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite den Quadraten über den den rechten Winkel umfassenden Seiten zusammen gleich.

ABC sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel BAC. Ich behaupte, daß BC2 = BA2 + AC2 .

Man zeichne nämlich über BC das Quadrat BDEC (I, 46) und über BA, AC die Quadrate GB, HC; ferner ziehe man durch AAL II BD oder CE und ziehe AD, FC.

Da hier die Winkel BAC, BAG beide Rechte sind, so bilden an der geraden Linie BA im Punkte A auf ihr die zwei nicht auf derselben Seite liegenden geraden Linien AC, AG Nebenwinkel, die zusammen = zwei Rechte sind, also setzt CA AG gerade fort (I 14). Aus demselben Grund setzt auch BA AH gerade fort. Ferner ist der Winkel DBC = FBA; denn beide sind Rechte (Postulat 4); daher füge man ABC beiderseits hinzu; dann ist der ganze Winkel DBA dem ganzen FBC gleich (Axiom 2). Da ferner DB = BC und FB = BA (I, Def 22) so sind zwei Seiten DB, BA zwei Seiten FB, BC (überkreuz) entsprechend gleich; und der Winkel DBA = dem Winkeln FBC; also ist Grundlinie AD = Grundlinie FC und das Dreieck ABD = dem Dreieck FBC (I, 4). Fewrner ist Pgm. BL = 2 × Dreieck ABD; denn sie haben dieselbe Grundlinie BD, AL (I, 41); auch ist das Quadrat GB =2 × das Dreieck FBC, denn sie haben wieder dieselbe Grundlinie, nämlich FB, und liegen zwischen denselben Parallelen FB, GC [Vom Gleichen die Doppelten sind aber einander gleich (Axiom 5).] Also ist BL = Quadrat GB. Ähnlich läßt sich wenn man AE, BK zieht, zeigen, daß auch Pgm. CL = Quadrat HC; also ist das ganze Quadrat BDEC den zwei Quadraten GB + HC gleich (Axiom 2). Dabei ist das Quadrat BDEC über BC gezeichnet und GB, HC über BA, AC. Also ist das Quadrat über der Seite BC den Quadraten über den Seiten BA, AC zusammen gleich.

Dabei lässt sich dieser Gedanke in einer Re-Konstruktion der Argumentation Euklids

noch einmal vereinfachend darstellen (Abb. 4.29).

Insoweit wird hier deutlich, wie Euklid argumentiert, wie er die Konstruktion nutzt, um Größenrelationen zu bestimmen und damit die Form des Geometrischen selbst zu konturieren.

Im zweiten Buch seiner Elemente behandelt Euklid allgemeine Größenbeziehungen mit den Mitteln der geometrischen Algebra, beschreibt das Gnomon und die mit ihm zu erhaltenden Darstellungen von Größenrelationen (Abb. 4.30). Er konstruiert dabei geführt

Abb. 4.29 Beweisführung Euklid's

Abb. 4.30 Darstellung der Nutzung eines Gnomons (h1 ), um bei Kenntnis der Höhe von h1 , der Länge des Schattens von h1 , a1 , und des Schattens von h2 , a2 , die Höhe von h2 zu bestimmen

durch die Anschauung und fasst dann auch Algebra in genau diesem Sinne als die Konstruktion des In-Relationen-Setzens.

Das dritte Buch der Elemente behandelt die Kreislehre. Buch vier beschreibt, auf pythagoreischer Grundlage, regelmäßige Vielecke, und im Buch fünf folgt eine strenge Begründung einer Propositionslehre allgemeiner Größen. Die darin behandelten Sätze sind selbst meist vorgriechischen Ursprungs, wobei die Lösungsvorschläge wiederum pythago- reischen Ursprungs sind. Seit Pythagoras behandelten die Griechen geometrische Probleme vornehmlich mit Hilfe von Proportionen, diese wurden zunächst als Übereinstimmung von Verhältnissen, die sich als Verhältnisse ganzer Zahlen fassen lassen, begründet. Die der Überlieferung zufolge in der Pythagoreischen Schule selbst erfolgte Entdeckung des Irrationalen bildet die Grundlage einer Verallgemeinerung solcher Verhältnisbestimmungen. Irrationale Verhältnisse sind ja nun nicht mehr in natürlichen Zahlen auszudrücken. Dabei führten nun allerdings die Versuche, durch Einführung des Unendlichkleinen als gemeinschaftlichem Maß inkommensurabler Größen die Lücke einer Proportionslehre zu schließen, die ansonsten solche nicht mit sich zu vermittelnde Größen hätte stehen lassen müssen, zu den bekannten Paradoxien, die Zenon etwa im Beispiel des Wettlaufs von Achilles mit einer Schildkröte behandelte. Entsprechend sucht Euklid denn auch nach einer Alternative. Er findet diese, indem er geometrische Konstruktionsverfahren nutzt. So schreibt er in §§ 3 und 4 des fünften Buches:[7]

§ 3

Wenn eine erste Größe von einer zweiten Gleichvielfaches ist, wie eine dritte von einer vierten, und man bildet Gleichvielfache der ersten und dritten, dann müssen über gleiches weg auch die neugebildeten Größen Gleichvielfache der zugehörigen sein, die eine von der zweiten, die andere von der vierten. . . .

§ 4

Hat eine erste Größe zur zweiten dasselbe Verhältnis wie die dritte zur vierten, dann müssen auch bei beliebiger Vervielfältigung Gleichvielfache der ersten und dritten zu Gleichvielfachen der zweiten und vierten, entsprechend genommen, dasselbe Verhältnis haben. . . .

Ziel war demnach, die wesentlichen geometrischen Sätze ohne Proportionen herzuleiten – dies gelang Euklid durch den Ausbau der Flächenlehre. Dabei stellte er – in Referenz auf Eudoxos – zugleich auch die Lehre von den Verhältnissen auf eine neue Grundlage.

Das Buch sechs zeigt nun die geometrische Anwendung des Vorhergehenden, umfasst die Ähnlichkeitslehre und die allgemeine Flächenanlegung. Die anschließenden Bücher sieben bis neun formulieren eine elementare Zahlentheorie, und schließlich handelt das Buch zehn von den irrationalen Zahlen.

Während feststeht, dass Euklid im Buch zehn Vorarbeiten des Theaitetos (um 380) verwandte, ist zu dem Vorlauf der in den Büchern sieben bis neun abgehandelten Probleme wenig bekannt, allerdings ist die Arithmetik generell weniger gut dokumentiert. Anscheinend waren hier aber schon um 400 die Grundzüge dessen, was Euklid in diesen Büchern entwickelt, bekannt, so dass ggf. nur der Schluss von Buch IX originär wäre.

Das Buch sieben entwickelt in seiner ersten Hälfte die Grundlegung der Lehre von den Zahlenverhältnissen und behandelt im zweiten Teil das Problem der Teilbarkeit. Euklid geht dabei wiederum von Definitionen aus, die zeigen, dass er die Zahlen ganz im Sinne des Aristoteles als Mengen fasst, die er nun in ihrem Verhältnis zueinander beschreiben kann und in denen er so die Relationen definiert, die sich in den Zahlen als Funktionsbeziehungen ausdrücken lassen. So etwa im § 33 des sechsten Buches.

VII Buch Definitionen[8]

1. Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird

2. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge.

3. Teil einer Zahl ist eine Zahl, die kleinere von der größeren, wenn sie die größere genau mißt;

4. Und Menge von Teilen, wenn sie nicht genau mißt;

5. Und Vielfaches die größere von der kleineren, wenn sie von der kleineren genau gemessen wird.

6. Gerade ist die Zahl, die sich halbieren läßt;

7. Und ungerade die, die sich nicht halbieren läßt, oder die sich um die Einheit von einer geraden Zahl unterscheidet.

8. gerademal gerade ist die Zahl, die sich von einer geraden Zahl nach einer geraden Zahl messen läßt;

9. Gerade mal ungerade ist die, die sich von einer geraden Zahl nach einer ungeraden Zahl messen läßt;

10. Ungerademal ungerade ist die Zahl, die sich von einer ungeraden Zahl nach einer ungeraden messen läßt.

11. Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch die Einheit als gemeinsames Maß messen läßt.

12. Gegeneinander prim sind Zahlen, die sich nur durch die Einheit als gemeinsames Maß messen lassen,

13. Zusammengesetzt ist eine Zahl, die sich durch irgendeine (andere) Zahl messen läßt;

14. Gegeneinander zusammengesetzt sind Zahlen, die sich durch irgendeine Zahl als gemeinsames Maß messen lassen.

15. Man sagt daß eine Zahl eine Zahl vervielfältige, wenn die zu vervielfälftigende so oft zusammengesetzt wird, wieviel Einheiten jene enthält, und so eine Zahl entsteht.

16. Wenn zwei Zahlen bei gegenseitiger Vervielfältigung eine Zahl bilden, wird die entstehende eine ebene Zahl genannt, und die einander vervielfältigenden ihre Seiten;

17. Wenn drei Zahlen bei gegenseitiger Vervielfältigung eine Zahl bilden, ist die entstehende eine körperliche Zahl, und die einander vervielfältigenden Zahlen sind ihre Seiten

18. Quadratzahl ist eine Zahl gleichmal gleich, oder die von zwei gleichen Zahlen umfaßt wird;

19. Kubikzahl ist eine Zahl gleichmal gleichmal gleich, oder die von drei gleichen Zahlen umfaßt wird.

20. Zahlen stehen in Proportion, wenn die erste von der zweiten Gleichvielfaches oder derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen ist wie die dritte von der vierten.

21. Ähnliche ebene und körperliche Zahlen sind solche deren Seiten in Proportionen stehen.

22. Eine vollkommene Zahl ist eine solche, die ihren Teilen zusammen gleich ist.

Hauptgegenstand von Buch acht und des ersten Teils von Buch IX sind geometrische Reihen. In dieser Form wird die Lehre von den Potenzen, deren geometrische Deutung ja bei der dritten aufhört, und von den Wurzeln – unter Beschränkung auf rationale – dargelegt.

Das Buch zehn mit seiner Behandlung des Irrationalen galt schon in der Tradition als besonders schwierig. So wurden dann auch in der Renaissance die geometrischen Umformungen des Euklid, in denen er die Verhältnisbestimmungen des Irrationalen zu plausibilisieren suchte, durch algebraische Darstellungen ersetzt. Für Euklid galt es hier, die Wurzel und komplexe Gleichungen vollständig zu behandeln. Dabei ist damit umzugehen, dass es etwa für die Wurzel aus 2 keine rationale Lösung gibt. Wie sind dabei dann die hier erscheinenden irrationalen Größenbeziehungen selbst zu fassen? Euklid stellt für diese deren biquadratische Funktionen dar und setzt in deren Konstruktion nun die Verhältnisbeziehungen der Funktionen selbst in Relation zueinander ein. Es geht dabei darum, die bei der Konstruktion auf Grund der Postulate auftretenden irrationalen Strecken vollständig darzustellen. Auch hier setzt Euklid mit Definitionen an, die ihm die Operablen seiner Konstruktionsverfahren definieren. Die Bücher 11–13 bringen dann die Stereometrie und die letzten beiden Bücher der Elemente behandeln – wie benannt – die Darstellung regelmäßiger Körper.

Es wird deutlich, dass hiermit nicht nur eine Folge von Teildarstellungen, sondern die Strategie mathematischer Operationen und eine Darstellung der Sicherung mathematischer Verfahren in kompakter Form vorgelegt wurden. Die Elemente des Euklid sind ein Lehrbuch, das das Handwerkszeug des Mathematikers vermittelte, keine Forschungsliteratur. Damit zeigt sich uns hier zugleich auch, auf welch hohem methodischen Standard die dem Platonischen Konzept der Mathesis universalis folgende Naturforschung der griechischen Antike um 300 vor Chr. gründete. Die Elemente präsentieren das mathematische Basiswissen eines griechischen Naturforschers. Demnach sind die hier offerierten Denkformen und Darstellungswege verbindlich für die seinerzeitige Community. Auf dieser Basis und im Rahmen der so vorgegebenen Argumentationslinien wird im Weiteren formuliert. Die von Euklid getroffenen Definitionen und Postulate sind dabei verbindlich in dem Sinne, dass eine Mathematik auf diesen Voraussetzungen aufbauend weiterentwickelt, angewandt und kommuniziert wird.

Eine erste dieser Anwendungen war in der sogenannten Katoptrik, der Lehre von den Spiegeln und der Reflexion, gefunden. Die Katoptrik entwickelte sich aus dem praktischen Gebrauch von Metallspiegeln und aus einer weiterführenden Beschreibung des schon vor Aristoteles ermittelten Reflexionsgesetzes. Die einfache Zuordnung von Einfalls- und Ausfallswinkel an einer planen Fläche ist aber nur der Ausgangspunkt umfassenderer Überlegungen, die insbesondere auch den Strahlengang des Lichtes an einer gekrümmten Fläche betrachten lassen. Eine entsprechende Theorie ist in der gegebenenfalls allerdings erst von Theon von Alexandria geschriebenen, traditionell aber Euklid zugesprochenen Schrift über die Lehre von den Spiegeln zu finden. Hier wird beschrieben, wie sich unter Voraussetzung der geradlinigen Ausbreitung der Sehstrahlen der Strahlengang in einem Hohlspiegel darstellen lässt. Wobei hier dann auch schon die Wirkung von Brennspiegeln beschrieben ist, die später Archimedes noch perfektionierte. Heron von Alexandria befasste sich mit konvexen und konkaven, zylinderförmigen sowie ebenen zusammengesetzten Spiegeln. Er lieferte als erster einen Beweis des Reflexionsgesetzes, indem er zeigte, dass ein Lichtstrahl nur dann den kürzesten Weg zurücklegt, wenn der Einfallsgleich dem Ausfallswinkel ist. Die gute Reflexion der Metallspiegel führte er auf das Verschmieren der Poren der Oberfläche durch Polieren zurück, so dass in dieses Material im Gegensatz zur Situation beim Wasser oder bei Kristallen kein Licht eindringen könne. Die Refraktion widersprach der Geradlinigkeit der Sehstrahlen; sie wurde infolgedessen in der Antike nicht geometrisch erklärt. Dagegen hat Ptolemaios die Brechungswinkel zwischen Luft und Wasser, Luft und Glas sowie Wasser und Glas bei Einfallswinkeln von 0° bis 80° genau gemessen. Ein Brechungsgesetz als funktionale Beziehung zwischen Einfalls- und Brechungswinkel konnte er jedoch daraus nicht ableiten, so dass diese Beziehungen dann mathematisch auch nicht weiter behandelt wurden.

Euklid, das zeigen schon die Fortschreibungen der Bücher 14 und 15, wird schon in der Antike kanonisch. Zentraler Ort der weiteren Entwicklung des mathematischen Wissens ist nach der Gründung des Museions und der Bibliothek der Ort, an dem Euklid schon vorab gearbeitet hatte: Alexandria. Auch Archimedes, der wohl originellste der in seinen Schriften überlieferte Mathematiker studierte dort und hielt auch später, nach seinem Rückgang in seine Heimatstadt, etwa mit Eratosthenes, der von Ptolemaios III. als Leiter der Bibliothek und zugleich als Erzieher des Prinzregenten nach Alexandria berufen worden war, Kontakt mit dieser zentralen Forschungsstelle.

  • [1] Proklos Diadochos, zit. nach: Euclides, Die Elemente I–XIII. Frankfurt 2005, S. 415
  • [2] Euklid, Die Elemente. Darmstadt 1995, S. 1–3
  • [3] Ebd., S. 14
  • [4] Euklid, 5 Buch, Def. 4, ebd., S. 91
  • [5] Ebd., S. 34
  • [6] Ebd., S. 32
  • [7] Eda., S. 95
  • [8] Eda., S. 141 f
 
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