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4.1.4.4 Archimedes

Archimedes wurde um 287 vor Chr. als Sohn des dortigen Hofastronomen Pheidias in Syrakus geboren. Nach seinen Studien in Alexandria kehrte er in seine Heimatstadt zurück. Im zweiten Punischen Krieg leistete er bei der Verteidigung der Stadt gegen die Römer wesentliche Hilfe durch die Konstruktion von Kriegsmaschinen. Bei der Eroberung der Stadt 212 vor Chr. kam er ums Leben.

Über sein Leben ist sonst wenig bekannt. Schon in der Antike rankten sich um seine Person stattdessen aber Anekdoten, die aufwiesen, wie eindringlich diese Person auf die Zeitgenossen wirkte und wohl vor allem auch zeigten, wie die römischen Eroberer sich solch einer Persönlichkeit eines Wissenschaftlers und demnach einer in ihrer eigenen Kultur so bisher unbekannten Größe versicherten. So wird über sein Ende berichtet, dass er, der Konstrukteur der für die römischen Angreifer so vernichtenden Kriegsmaschinen, nach dem Fall der Verteidigungsringe seiner Stadt in ein mathematische Problem vertieft in seinem Studierzimmer saß und dem in seinen Bereich vordringenden Soldaten nur entgegenhielt, dass dieser bitte seine Zeichnungen nicht zerstören solle: noli turbare circulos meos (Störe meine Kreise nicht). Was der Soldat damit beantwortete, dass er sein Schwert zog und Archimedes tötete. Auch seine Entdeckung des Auftriebs wird in einer Anekdote berichtet. Hieron II., der Tyrann von Syrakus, wollte wissen, ob eine gekaufte Krone wirklich aus reinem Gold war. Er bat Archimedes, den Goldgehalt der kunstvoll gearbeiteten Krone zu überprüfen, ohne sie zu beschädigen. Archimedes dachte tagelang über dieses Problem bis, so die Anekdote, ihm im Bad plötzlich die Lösung einfiel. Als er sich in die Wanne einließ, schwappte das Wasser über, er hatte es mit seinem Körpervolumen verdrängt. Das auslaufende Wasser entsprach – das erkannte er – in seiner Menge seinem Körpervolumen. Sein Gewicht konnte er bemessen, und so konnte er mit Hilfe solch einer Volumenfeststellung das spezifische Gewicht eines jeden Körpers errechnen. Dies erkennend – so die Anekdote – sprang Archimedes aus dem Bade und lief – ich hab's gefunden schreiend – (griechisch: heureka) nackt und nass durch Syrakus.

Punischer Krieg

Romfьhrte insgesamt drei sogenannte Punische Kriege gegen Karthago, die ihm im

Resultat dieHerrschaft im westlichenMittelmeer und die ersten ьberseeischen Besitzungen einbrachten. Im ersten Punischen Krieg, 264–241, in dem es um den Besitz von Sizilien ging, war Syrakus 263 rцmischer Bundesgenosse geworden. Nachdem es den Rцmern gelungen war eine eigene Seestreitmacht aufzubauen, fiel Sizilien an Rom und wurde 228/227 als rцmische Provinz ebenso wie die nach einem Sцldneraufstand besetzten Inseln Sardinien und Korsika dem rцmischen Reich angegliedert. Der zweite Punische Krieg (218–201) fьhrte Rom durch das Feldherrngeschick des karthagischen Fьhrers, der zudem auch mit Philipp dem V. von Makedonien ein Bьndnis eingegangen war, in eine extrem kritische Situation, in der dann auch Syrakus aus dem Bьndnis mit Rom ausscherte. Nach dem Friedensschluss zwischen Philipp dem V. und Rom landeten die Rцmer in Afrika, wo Hannibal die entscheidende Schlacht bei Zama verlor. In deren Folge wurde Karthago politisch und wirtschaftlich entmachtet. Der dritte Punische Krieg fьhrte dann zur vцlligen Zerstцrung Karthagos.

So besagt nun auch das Archimedische Prinzip, dass das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit gleich groß wie das Gewicht des schwimmenden Körpers ist. Ein Körper, der in eine Flüssigkeit getaucht wird und dessen Dichte geringer als die von Wasser ist, wird demnach also nach oben getrieben. So geht ein Schiff nicht unter, da es leichter ist als die Wassermenge, die sein Gesamtvolumen verdrängen würde, so entsteht Auftrieb, der das Schiff schwimmen lässt. Das Prinzip und dessen Lösung sind von Archimedes in einer Schrift Über schwimmende Körper dargestellt.

Deren Argumentationsgang sei im Folgenden etwas eingehender dargestellt, da sich hier an einem vergleichsweise einfachen Beispiel zeigen lässt wie a) Archimedes, ganz im Sinne der geometrisch konstruktiv verfahrenden Geometrie, ein Problem der Physik berechnet, und dabei b) eine quantifizierende Physik konturiert, die über die Bewertung und Beschreibung von Größenzuordnungen physikalische Funktionen definiert und damit physikalische Größen identifiziert und charakterisiert. Und letztlich lässt sich c) zeigen,

Abb. 4.31 Archimedes über schwimmende Körper. a Qualitative Beobachtung, b Volumenmessung, c Gewichtsmessung

wie Archimedes dabei in einer Analyse von Folgen jeweilig von ihm darzustellender Zuordnungsverhältnisse dynamische Phänomene zu erfassen sucht (Abb. 4.31).

Die Arbeit beginnt formal ganz im Sinne des aristotelischen Wissenschaftskonzepts, das wir in Euklid expliziert fanden: Es sei vorausgesetzt, daß die Flüssigkeit einen solchen Charakter hat, daß von gleich gelegenen und zusammenhängenden Teilen die stärker gedrückten die weniger gedrückten vor sich hertreiben, und dass jeder Flüssigkeitsteil von der oberhalb seiner gelegenen Flüssigkeit in lotrechter Richtung gedrückt wird, wenn die Flüssigkeit nicht durch ein Gefäß oder andere Umstände gedrückt wird.[1] Dabei expliziert diese Voraussetzung letztlich schon das Gesamtkonzept einer Hydrodynamik, das Archimedes mit dieser Schrift in seinen Grundlagen erörtert. Dadurch dass er die Flüssigkeit derart als eine Summe von aufeinander wirkenden Teilen beschreibt, die in Abhängigkeit ihrer jeweiligen Position in der Flüssigkeit nach Maßgabe der grundsätzlichen Eigenschaften der Bereiche des Flüssigen aufeinander wirken, ist nun ein Experimentalansatz eröffnet, der diese Annahmen nutzend zu Ergebnissen kommt, die dann – ganz im Sinne der Definitionen des Euklid – die mit diesen Voraussetzungen getroffenen Annahmen wieder rechtfertigen.

Nun folgen Zusatzbemerkungen, die zeigen, wie Archimedes von dieser qualitativen Annahme nun in eine geometrische Behandlung überleitet: Wenn eine Fläche die Eigenschaft hat, daß sie von allen durch einen und denselben Punkt gehenden Ebenen in einem Kreise geschnitten wird, dessen Mittelpunkt jener Punkt ist, so ist die Fläche eine Kugel.[2]

Natürlich sind in einem System, in dem sich die Teile, wie im Vorhinein angegeben, ordnen und die auf einen natürlichen Ort hin ausgerichtet sind, die entsprechenden Elemente dann auch in der beschriebenen Weise ausgerichtet; und so ist: Die Oberfläche jeder in Ruhe befindlichen Flüssigkeit . . . eine Kugel, deren Mittelpunkt der Mittelpunkt der Erde ist.[3] Es geht in dieser Schrift also mitnichten um die bloße Anwendungsdarstellung im oben skizzierten Sinne. Es geht vielmehr um eine grundsätzliche Betrachtung des Verhaltens von Flüssigkeiten, die nun auch in dieser prinzipiellen Art beschrieben werden. So folgert er dann auch: Es ist also klar, daß die Oberfläche einer in Ruhe befindlichen Flüssigkeit die Gestalt einer Kugel hat, welche den gleichen Mittelpunkt hat wie die Erde, da die Oberfläche ja die Eigenschaft hat, daß sie von jeder durch den Mittelpunkt der Erde gehenden Ebene in einem Kreise geschnitten wird, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt der Erde zusammenfällt.[4] Natürlich sind entsprechend die Ausrichtungen der einzelnen Flüssigkeitselemente zu beschreiben, und natürlich kann nunmehr im Kontext einer derartigen, letztlich dynamischen Vorstellung das Eintauchen eines Körpers in einer Flüssigkeit beschrieben werden, und zwar als das Einbringen einer Größe nach den Bestimmungsverhältnissen der das Verhalten der Flüssigkeit schon in sich ausrichtenden Teilgrößen. Und so gilt: Feste Körper, deren spezifisches Gewicht gleich dem der Flüssigkeit ist, werden in die Flüssigkeit so weit eintauchen, daß ihre Oberfläche nicht aus der Flüssigkeit herausragt, andererseits werden sie nicht sinken.[2] Archimedes legt im Weiteren dar, wie entsprechend das Verhalten eines Körpers zu und in einer Flüssigkeit zu beschreiben ist, er weiß um den Auftrieb und beschreibt ihn als eine Größe, die äquivalent dem Gewicht entsprechend der Differenz der Gewichte der verdrängten Flüssigkeitsmenge und des Körpers ist.[6] Und auch umgekehrt wird ein Körper, der spezifisch schwerer ist als die Flüssigkeit, die er verdrängt, beim Absinken um so viel leichter, wie die von ihm verdrängte Flüssigkeitsmenge wiegt.[7] Dabei ist der jeweilige Zustand des Körpers als ein dynamischer Zustand zu beschreiben, der mit geometrischem Mitteln als eine Relation zwischen Größen zu kennzeichnen ist – es wird vorausgesetzt, daß Körper, die in einer Flüssigkeit aufwärts getrieben werden, in der Richtung der durch ihren Schwerpunkt bezogenen Vertikalen steigen.[8] Das bedeutet nun auch, dass Archimedes nicht nur grundsätzlich den Auftrieb beschreibt, sondern auch Ausrichtung und Gleichgewichtszustände der resultierenden aufeinander wirkenden Größen, der Kräfte, als solche Maßrelationen beschreiben kann. Demnach kann er dann auch bestimmen, dass sich entsprechende Größen so nach ihrem Schwerpunkt hin ausrichten. Damit kann er, da er ein geometrisches Verfahren zur Rekonstruktion dieser dynamischen Wechselwirkungen nutzt, das hier angewandte Verfahren eben auch zur Beschreibung des Schwerpunktes komplexerer geometrischer Gebilde nutzen. Archimedes weitete so in einem zweiten Schritt seine Darstellung eines dynamischen Verhältnisses von physikalischen

Abb. 4.32 Der Hebebaum

Größen zu einer Beschreibung von mathematischen Proportionalverhältnissen aus. Die Darstellung des Auftriebs wird so zu einer Funktion, die nunmehr auch zur Bestimmung von Relationen genutzt werden kann, die die dynamischen Reaktionen eines Körpers, respektive die ihn zeichnenden geometrischen Verhältnisse beschreiben.

So kann er dann – ausgehend von der Darstellung der Rauminhaltsverhältnisse eines Körpers und der von ihm verdrängten Flüssigkeitsmasse generelle Angaben zu Wichtungsfunktionen gewinnen: Denn in der Abhandlung über das Gleichgewicht wird bewiesen, daß der Schwerpunkt eines jeden Paraboloidsegments auf der Geraden liegt, die den Mittelpunkt der Grundfläche mit dem Scheitel verbindet ... [9]

Diese Verschränkung von Anwendung und Entwicklung eines weiterführenden mathematischen Programms ist typisch für Archimedes, so gelingt es ihm die Proportionen, die er in geometrischen Operationen definiert, als Funktionen zu kennzeichnen und somit geometrische Verfahren weiterzuentwickeln. Dabei nähert er sich dann auch einer Beschreibung dynamischer Phänomene. Er beschreibt Gleichgewichtszustände als Resultat von Interaktionen geometrisch zu fassender Gebilde, die Kräfte und Zustände, wie Gewicht und Masse eines Körpers, beschreiben. Dadurch dass er dann ein Gleichgewicht zwischen solchen wirkenden Größen beschreibt, setzt er sie in Beziehung, zeigt auf, was passiert, wenn sich eine dieser Größen variiert und kann so Kraftwirkungen darlegen. Besonders deutlich wird dies an seiner Behandlung des Hebelarms, mit dem er nicht nur einen Spezialfall, die mathematische Rekonstruktion eines Gleichgewichtszustandes zwischen unterschiedlichen Massen darzustellen vermag, sondern mit dem er dann überhaupt einen Ansatz schafft, mechanische Wirkungszustände zu beschreiben.

In seiner Abhandlung zeigt Archimedes, wie ein in einem Drehpunkt verankerter Hebel eine schwere Last mit einer verhältnismäßig geringen Kraft, die an einem Ende des Hebels ansetzt, heben kann. Er beschreibt damit den Wirkungsmechanismus des Hebebaumes der zum einen eine Kraft von einem Ort auf den anderen überträgt und der zum anderen als Lastarm einer Waage verschiedene Gewichte in ein Verhältnis zu setzen vermag (Abb. 4.32). Dieses Verhältnis entspricht den jeweiligen Längendifferenzen der Hebelarme.

Abb. 4.33 Verschiedene Gleichgewichtszustände an der Waage, die Entfer-

nung des Gegengewichts von dem Mittelpunkt der Waage ist direkt proportional zur Verringerung des für den Gleichgewichtszustand notwendigen Gegengewichtes (F1 , F2 , F3 )

Damit lassen sich Massen in Beziehung zueinander setzen. Diese Massen fasst Archimedes als Resultierende verschiedener Wirkungen auf. So kann er den Auftrieb eines Körpers im Wasser messen und dazu die verschiedenen wirkenden Kräfte, Gewicht des Körpers, Verdrängung des Wassers und die resultierende Auftriebkraft, als Größen antragen. Diese bezieht er nun über die Länge des Lastarmes auf eine andere Größe, die er mit Hilfe des Lastarmes in Bezug zu den ersten Messgrößen setzt: Wenn der Lastarm der einen Seite der Waage zum Beispiel fünfmal so lang ist, wie der Lastarm der anderen Seite, können wir letzteren auch mit einer fünfmal so schweren Last wie den Lastarm 1 belegen (Abb. 4.33). Verkürze ich die Waage auf einen Hebebaum, so werde ich mit einem verlängerten Hebebaum ein entsprechend vergrößertes Gewicht bewegen können. Ein fünfmal so langer Hebebaum erlaubt mir das bewegen einer um den Faktor fünf vergrößerten Kraft. Die Kraft, die ich am Ende des Hebebaumes aufwende multipliziert sich so mit der Länge des Hebebaumes zu der resultierenden Hubkraft. Natürlich ist auf Grund der entsprechenden Verlängerung des Hebebaumes die für die Gewichtsverlagerung zu durchmessende Strecke des Ansatzpunktes der wirkenden Kraft entsprechend verlängert. Den Hebebaum kann ich somit abstrakt als eine Größe fassen, die den Ansatzpunkt der wirkenden Kraft vom Drehpunkt weg verlagert und so eine resultierende höhere Hubkraft ermöglicht. Auch der Flaschenzug ist eine direkte Anwendung des Hebelgesetzes. Seine Erfindung wird Archimedes zugeschrieben.

Natürlich sind so aber eben auch geometrische Körper, in denen Archimedes diese Kraftwirkungen ausdrückt, in Bezug zueinander gesetzt. So können über den Hebel auch derartige Körper in Relation zueinander gesetzt werden. Archimedes nutzt denn auch seine Darstellung des Hebels, um so verschiedene geometrische Körper zueinander zu gewichten.

In der einfachen Version sind dies zwei unregelmäßige Vierecke, die sich als proportionale Größen bestimmen lassen, wobei die jeweilige Länge der Lastarme zueinander deren Proportionen ausdrückt. Derart muss im oben genannten Beispiel die Kraft F2 sich zu F1 umgekehrt proportional dem Verhältnis von L2 zu L1 verhalten, um mit F1 in einem Gleichgewicht zu stehen.

Und so nutzt nun Archimedes, ganz in diesem Sinne das Proportionalverfahren, um die Gleichheit zwischen zwei geometrisch auszudrückenden Verhältnissen generell in Analogie zum Gleichgewichtszustand eines Hebels zu betrachten. Dieser erlaubt eine Beziehung zweier Größen P1 und P2 zueinander. Diese sind an sich, etwa in der Darstellung des Gewichts eines Körpers, der in eine Flüssigkeit eintaucht, als Resultierende verschiedener Wirkungen zu fassen. Damit ist diese Größe jeweils als eine Funktion zu beschreiben. Die Funktion wird in einer geometrischen Konstruktion dargestellt, die die verschiedenen resultierenden Wirkungen als aufeinander abgestimmte Teilgrößen bezeichnet. Folglich sind demnach, vergleicht man zwei solche als Funktionen darzustellende Größen, immer auch zwei geometrische Körper in einen Bezug zueinander gesetzt. Nimmt man den Hebel als einen abstrakten Maßstab, der nach einem geometrischen Verfahren konstruiert ist, und in seiner relativen Distanz die relative Gewichtung zweier geometrischer Körper ausdrückt, so ist in ihm ein Maßstab gefunden, zwei ggf. auch verschiedene geometrische Figurationen in einen Bezug zueinander zu setzen. Nun muss er nur eine geometrische Konstruktion finden, in der ein Körper derart in ein Verhältnis zu einer bekannten Größe gesetzt ist. Im vorliegenden Fall konstruiert Archimedes hierzu eine Figur, die es erlaubt, Teilgrößen, die die Extension dieser interessierenden Größe darstellen, in einen Bezug zu setzen.

Dazu greift er auf Darstellungen der Verhältnisbestimmungen von Parabeln zurück, wie er sie analog auch in seiner Darstellung über die schwimmenden Körper nutzte. Dann konstruiert er einen abstrakten Hebel, der diese Verhältnisbestimmungen als Gewichtsbestimmungen darzustellen erlaubt, und demnach die verschiedenen Größen in der Figur auf einen Schwerpunkt L hin ausrichtet. Da sich nun bezogen auf L Größen darstellen lassen, die er in einem Dreieck aufeinander in Bezug setzt, kann er nun mittels des abstrakten Hebels berechnen, in welchem Verhältnis diese Figur zu den Ausgangsgrößen steht. Damit hat er dann das Parabelsegment in ein Verhältnis zu dem berechenbaren Dreieck gesetzt und kann so in diesem Falle ausweisen, das das Parabelsegment gleich einem Dritten des Dreiecks ABD ist, womit er dass Parabelsegment über eine Verhältnisbestimmung als Größe bemessen hat. Archimedes nutzt also seine physikalischen Größen dafür, in ihnen Funktionen abzubilden und damit Funktionszuordnungen zu berechnen, die insoweit als mathematische Größen charakterisiert sind.

Damit kommt er zu allgemeinen Schlussfolgerungen, die auch zeigen, wie er physikalische Größen als Funktionsgrößen bestimmt. So ist der berühmte Archimedische Punkt, der es ihm erlauben würde, sofern er gesetzt ist, mittels eines Hebels die Erde aus ihrer Position zu hieven, ein Ausdruck nicht eines naiven physikalischen Verständnisses, sondern eines Größenbezuges, in dem Funktionswerte – Kraft und Masse – über einen Proportionalwert in einen Bezug zueinander zu setzen sind, und das in jeder Dimension.

Eine spätere, uns in ihrem Anspruch verzeichnend erscheinende Umsetzung solch einer anschaulichen Geometrie findet sich noch im endenden 17. Jahrhundert. Der Jesuit Athanasiusus Kircher nutzte dies Verfahren um relative Aussagen über die mögliche Größe des Turmes von Babel zu gewinnen (siehe Abb. 4.34 A. Kircher, Turris Babel). Diese unmittelbare „Realisierung“ der anschaulichen Geometrie des Archimedes demonstriert nicht einfach die Naivität der hier anschaulich gemachten Argumentation, sondern zeigt

Abb. 4.34 Athanasius Kircher – Das Konzept des Hebebaums – Illustration aus Turris Babel

vor allem auch das Problem der späteren Rezeption des Archimedes, der seine mit geometrischen Mitteln formulierte Funktionenanalyse letztlich unverständlich blieb. So wurde der anschaulich mathematische Ansatz des Archimedes auf ein angewandt technisches Denken reduziert. Entsprechend feierte die Tradition den Archimedes der Kriegsmaschinenkonstruktionen und hatte nicht mehr im Blick, dass Archimedes in seiner Darstellung der physikalischen Größen Funktionswerte in Bezug zueinander setzte. Die von ihm „konstruierten“ Maschinen, wie die geometrisch beschriebenen Hebel, nutzte er vor allem, um Modelle für Funktionszuordnungen zu schaffen, mit denen er dann seine geometrischen Instrumentarien wesentlich erweiterte. Dass er so die Gleichgewichtszustände als dynamische Beziehungen deutet, ist das Eine. Dass er somit aber auch die Grenzen des seinerzeitigen analytischen Verständnisses mathematischer Relationen weit überstieg, ist ein Zweites. Das 1906 wiedergefundene Manuskript der Methodenlehre des Archimedes macht dies direkt einsichtig. Er nutzte mechanisch-physikalische Überlegungen, um prinzipielle Größenbeziehungen darzulegen und bewies diese dann in einer geometrischen Umschreibung der Proportionalzusammenhänge, wie dies mit dem euklidischen Werkzeug eines griechischen Mathematikers möglich war. Dabei macht seine Schrift zur Quadratur der Parabel deutlich, dass er nicht bei den Anschauungsbeweisen stehen blieb, sondern diese Anschauung auch nutzte, um eine Funktion zu definieren, die er dann als solche zu betrachten suchte. Im Gegensatz zu den Überlegungen des Byssos von Herakleis nutzte er die Exhaustionsmethode des Eudoxos nicht zur vereinfachten Zuordnung zweier mathematischen Größen – Byssos hatte das Verfahren der Annäherung der Größen genutzt, um zu demonstrieren, dass sich der Kreis in ein Polygon umschreiben ließ. Archimedes beschrieb mittels der Exhaustionsmethode eine unendliche geometrische Reihe. Diese konstruierte er in einem iterativen Verfahren, das immer kleinere Teilsegmente, die er über ein in eine Parabel eingeschriebenes Polygon setzte, darzustellen erlaubte. Dabei dachte er das Verfahren als eine Funktion, die dann auch einen Bezug auszudrücken vermochte, den er in abzählbaren Zahlen nicht mehr erfassen konnte.

So konnte er eine die Flächeninhaltsbestimmung über den Einsatz einer Darstellung einer infinitesimalen Größe handhaben. Er definiert damit Größen nicht einfach nur mehr über Relationen zueinander, sondern als Funktionen, die sich so in ihren Funktionswerten bestimmen lasen. Ganz ähnlich sind ja auch seine Darstellungen der relativen Größen komplizierter Körper nicht einfach Bemessungen von Zuständen, sondern die Beschreibung von Funktionszuordnungen. Das ist in der Tat eine neue Mathematik, die allerdings dem, der nur der zudem meist sehr komplexen mathematisch geometrischen Konstruktion folgt, nur bedingt einsichtig ist. Demnach war auch nach Auffinden der Methodenlehre dieses Verständnis des Maßverhältnisses und damit der Zahl, das das Denken des Archimedes bestimmte noch unklar. In seiner Schrift über den Sandrechner wurde dann deutlich aber. dass er in der Tat mit unendlichen Funktionsgrößen zu rechnen vermochte. Dort beschreibt er Zahlreihen als geometrische Reihen, die die einzelne Zahl auch im Unendlichen als eine Größe definieren, die in Bezug auf andere Elemente dieser Reihe in einem definierten Funktionsbezug steht. So kann er diese Zahl in dieser Reihe über die Relation zu den anderen Elementen in dieser Reihe definieren. Und da sich die verschiedenen Stufungen dieser Reihe jeweils proportional zueinander verhalten, wird so eine Operation mit relativen Größen auch im Unendlichen möglich. Archimedes kennt damit die Funktionsbeschreibungen der Art, in denen ein Element n einer Reihe auf ein anderes Element n′ über nx oder eine ähnliche Funktion zu beschreiben ist. Das bedeutet, dass Archimedes im Unendlichen zu rechnen vermag. Zahlen sind für ihn damit nicht einfach Platzhalter in einer Reihung, sondern Funktionswerte, die in ihrer relativen Distanz zueinander positioniert sind, und in dieser Distanz dann über Funktionen zu beschreiben sind. Dieses Verfahren nutzte er in der Zuordnung komplexer geometrischer Figuren in seiner Schrift über das Gleichgewicht ebener Flächen ebenso wie in seiner Darstellung über schwimmende Körper.

Archimedes ist so der Erste und für lange Zeit Einzige, der derart die mathematischen Operationen als Funktionen zu beschreiben vermag. Dass ihm dies mit dem mathematischen Handwerkszeug des Euklid gelang, zeigt die Potenz dieser aus der Anschauung erwachsenen Konstruktion mathematischer Größen.

Tolleno

Bei der Belagerung von Rhodos hatte der Techniker Kallias einen Kran entworfen,

der auf eine Stadtmauer gestellt wurde, und es erlauben sollte, die Gerдte der Angreifer zu fassen und zu zerstцren. Archimedes verbesserte dieses Hebegerдt, den Tolleno. Dessen Aktion wird von Polybios wie folgt beschrieben (8,8). Andere Gerate wiederum richteten sich gegen die Angreifer, die unter dem Schutz von Schirmdachern, um gegen die durch dieMauern geschleuderten Geschosse gesichert zu sein, vorgingen. Sie warfen Steine auf das Vorschiff, gros genug, das die Kampfenden, die dort standen, die Flucht ergreifen mussten; zugleich lies man eine an der Kette befestigte eiserne Hand herab, mit der die Bedienung dieses Gerates den Bug des feindlichen Schiffes, wie

es ihn zu fassen bekam, ergriff. Dann senkte man den Hebelarm diesseits der Mauer, hob darauf den Bug in die Hohe und stellte das Schiff senkrecht auf das Heck, machte darauf den inneren Hebelarm am Boden fest und lies das Tau, das die Kette und die daran befestigte Hand hielt, plotzlich los. Dadurch fielen einige Schiffe auf die Seite, andere kenterten, die meisten kamen, wenn das Schiff aus der Hohe herabsturzte, unter Wasser und liefen voll, so das die Verwirrung vollstandig war.[10]

Natürlich gewinnt Archimedes damit auch praktische Resultate, die Geschichte über seine beeindruckende Kriegsmaschinen, die seine Hebelgesetze umsetzen, zeigt, das ebenso wie die Berichte über die gigantischen Brennspiegel, mit dem er die Römische Flotte dezimierte. Diese Erinnerungen beschrieben Archimedes als einen genialen Ingenieur. Und doch ist dieser Archimedes vor allem und zuerst ein Mathematiker, der in neuen Formen

Abb. 4.35 Polygonzug

denkt und genau damit dann auch eine neue Form von Physik zu schreiben ermöglicht: Es ist eine Physik der Kräfteverhältnisse, der Relationen von Wirkursachen, die sich in quantitativen Verhältnisbestimmungen beschreiben und so auf ihre Grundelemente zurückführen lassen. Physik benennt somit einen Zustand von wechselwirkenden Körpern, der mathematisch zu beschreiben und über diese mathematische Beschreibung in seiner Funktionalität einsichtig zu machen ist. Wie leistungsfähig seine Verfahren waren, zeigt etwa seine Darstellung des Näherungswertes für das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser. Schon vor Archimedes war bekannt, dass das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Durchmesser eine Konstante ist. Diese wurde in Ägypten und in Babylon durch einen Näherungswert umschrieben, der anscheinend als ein Erfahrungswert ermessen wurde. Archimedes berechnete diese Konstante, indem er das bekannte Verfahren der Quadratur des Kreises nutzte Wobei er dabei aber einen Näherungswert beschrieb, den er auch als solchen, als eine Annäherung des Polygonzuges an den Kreisbogen und nicht im Sinne des Byssos als eine Übertragung des Polygons in einen Kreis verstand. Analog zu Byssos bestimmte er die Annäherung eines äußeren und eines inneren Polygonzuges und konnte so den Wert dieser Konstanten π eingrenzen. Er fand heraus, dass π größer als 3,1408 und kleiner als 3,14285 war.

Sein Verfahren lässt sich wie folgt darstellen (Abb. 4.35).

Es gilt nach Pythagoras:

s2 = x2 + (s/2)2.

Für das Sechseck ist x = (3/4) = 0.866022. Es gilt: y =1 − x.

In unserem Fall ist y = 0.133983.

Wiederum nach Pythagoras gilt für das Sechseck a2 = y2 + (s/2) 2

Abb. 4.36 Sich verengende äußere und innere Polygonzüge

also a2 = 0.26795; a = 0.51764

π = 6a = 3.1058 etc.

Dies lässt sich nun noch fortführen und zwar für das äußere und das innere Polygon und entsprechend erhält Archimedes seine Werte (Abb. 4.36).

Die Sichel des Archimedes

Der Beweis ist wie folgt aufgebaut. Die Flдche der Sichel des Archimedes (Abb. 4.37) entspricht der Flдche eines Halbkreises mit demMittelpunkt M1 minus den Flдchen der Halbkreise um M2 und um M3. Also ist ein Kreis um M4 zu finden, dessen Flдche so groЯ ist wie die der Sichel des Archimedes. Da die Flдche eines Kreises ьber das Quadrat des Radius mal π zu berechnen ist, muss also ein Radius mit der Lдnge 1/2 CE gefunden werden, dessen Quadrat malgenommen mit 2 den entsprechenden Verhдltnissen der Radien um M1, M2 und M3 entspricht.

Noch in Alexandria konstruierte Archimedes die nach ihm benannte Archimedische Schraube, ein Wasserhebegerät (Abb. 4.38).

Cicero berichtet zudem von einem astronomischen Modell, das Archimedes gebaut hatte, um die Bewegung der Himmelskörper zu veranschaulichen. Nach dem Ruhm, den diese Maschine in der Antike besaß, hatte dies alle Vorgänger bei Weitem übertroffen:[11] In diesem Punkte müsse man die Erfindung des Archimedes bewundern, weil er ausgedacht habe, wie eine einzige Umdrehung trotz höchst unähnlicher Bewegungen die ungleichmäßigen und verschiedenen Umläufe erhalten bleiben lasse. Als Gallus diese Kugel in Bewegung setzte, geschah es, daß der Mond der Sonne in ebenso vielen Umläufen auf dem Planetarium folgte, wie

Abb. 4.37 Sichel des Archimedes

er in Tagen am Himmel selbst nachrückte, weshalb auch auf der Kugel eben jene Sonnenfinsternis sich darstellte und der Mond dann auf jenen Grenzpunkt fiel, welcher den Erdschatten bildet.

In seiner Sandzahl, der Arbeit, die sich mit den Dimensionen des Zahlenraumes beschäftigt, äußert sich Archimedes dann auch über die Dimensionen der Himmelskörper und deren Bahnen: Aus diesen Voraussetzungen folgt, daß der Durchmesser der Sonnenbahn kleiner ist als das 10.000-fache des Durchmessers der Erde, sowie daß der Durchmesser der Sonne kleiner ist als 10.000.000.000 Stadien. Da nämlich vorausgesetzt ist, daß der Durchmesser der Sonne nicht größer ist als der 30-fache Durchmesser des Mondes, der Durchmesser der Erde aber größer ist als der Durchmesser des Mondes, so ist klar, daß der Durchmesser der Sonne kleiner ist als das 30-fache der Erddurchmessers. Entsprechend bemisst Archimedes dann in Folge auch den Durchmesser des Kosmos: . . . daß aber der Durchmesser des Kosmos kleiner ist als 10.000.000.000 Stadien, ist hieraus klar. Da nämlich vorausgesetzt ist, daß der Umfang der Erde nicht größer sei als 3.000.000 Stadien. [12]

Dabei setzt er an mit einem Bericht über die Diskussion um die Frage eines heliooder geozentrischen Weltbildes: Du bist darüber unterrichtet, daß von den meisten Astronomen als Kosmos die Kugel bezeichnet wird, deren Zentrum der Mittelpunkt der Erde und deren Radius die Verbindungslinie der Mittelpunkte der Erde und der Sonne ist. Dies nämlich hast Du aus den Abhandlungen der Astronomen gehört. Aristarch von Samos gab die Erörterung gewisser Hypothesen heraus, in welchen aus den gemischten Voraussetzungen erschlossen wird, daß der Kosmos ein Vielfaches der von mir angegebenen Größe sei. Es wird nämlich angenommen, daß die Fixsterne und die Sonne unbeweglich seien, die Erde sich um die Sonne, die in der Mitte der Erdbahn liege, in einem Kreis bewege, die Fixsternsphäre aber, deren Mittelpunkt im Mittelpunkt der Sonne liege, so groß sei, daß die Peripherie der Erdbahn sich

Abb. 4.38 Archimedische Schrauben in einer Wasserkunst von 1725

Abb. 4.39 Figur zur Illustration des Verfahrens aus dem sog. Sandrechner, vgl. Text fьr Details, die Darstellung verdeutlicht dasMessverfahren, man beachte insbesondere

die Korrektur, die den ьber D ermitteltenWert auf den Mittelpunkt der Erde F rьckrechnet sowie die relative Dimensionen der hier einander zugeordneten Himmelskцrper

zum Abstand der Fixsterne verhalte, wie der Mittelpunkt der Kugel zu ihrer Oberfläche.[13] Für Archimedes ist nun klar, dass dies unmöglich ist. Schließlich sei die hier aufgestellte mathematische Beziehung unsinnig. Denn ein dimensionsloser Punkt könne in keiner Beziehung zur der Oberfläche einer Kugel stehen. Darauf korrigiert er das Argument des Aristarch, argumentiert dann aber gegen dessen Darstellung der Größe. Das Argument führt dann Beobachtungen insbesondere der relativen Größe der Sonne vor dem Tierkreis auf, um nunmehr Größenschätzungen vorzunehmen. Es ist dabei aber, schreibt Archimedes, nun recht schwierig, diese Messung genau auszuführen, weil weder die Augen, noch die Hände, noch die Instrumente, deren man hierzu bedarf, dies genügende Sicherheit für diese Beobachtung gewährleisten.[14] So beschreibt er darauf den Aufbau eines eigenen Messinstrumentes, dass es ihm erlaubt, einen Winkel zu gewinnen, der nicht größer ist als der Gesichtswinkel der Sonne, und versucht nun mit einer genau beschriebenen Apparatur, unter Korrektur der Sehfehler, die durch das Anvisieren aus einer Fläche, des Auges erwachsen, den Winkel zu bemessen in dem die aufgehende Sonne erscheint. Er bemisst für sie damit einen Durchmesser mit einem Wert zwischen 0,450 und 0,550 Grad (Abb. 4.39). Damit ist für ihn bewiesen, dass der Durchmesser der Sonne größer ist als die Seite des regelmäßigen Tausendecks, das dem größten Kreise des Kosmos eingeschrieben ist.[15]

Diese neue Physik des Archimedes ist also nicht einfach nur angewandte Mathematik. Es ist vielmehr eine Experimentalwissenschaft, die nicht nur Modelle, sondern auch Messapparaturen konstruiert. Die Konstruktion dieser Apparaturen schließt nicht einfach mit deren Realisierung, vielmehr werden etwaige zu erwartende Messfehler beschrieben, deren bedeutung bewertet und Korrekturverfahren beschrieben. Die Konstruktion der Apparatur zur Darstellung der relativen Größe der Sonne hat im Wesentlichen zur Aufgabe, Beobachtungsfehler zu korrigieren und von daher die Messung des Durchmessers der Sonnenscheibe zu objektivieren. Dabei erfolgt diese Korrektur schon über die Konstruktion, die es erlaubt, einen Messwert durch den Ansatz von zwei Visiereinrichtungen einzugrenzen. Aristoteles nimmt hier zwei Schablonen die er auf einer Latte verschiebt. Er bemisst damit die relative subjektive Wahrnehmung des Sonnendruchmessers. In der einen Schablone wird dabei die Darstellung der relativen Größe hochgefahren, so dass die Schablone einwenigmehrdarzustellenscheintalsdensubjektivzuerfahrendenSonnendurchmesser. Dagegen wird mit der zweiten Schablone der subjektiv wahrgenommene Sonnendurchmesser soeben unterschritten. So grenzt Archimedes den zu bemessenden Bereich von zwei Seiten ein. Er verfährt mit dieser Apparatur also analog zu dem Verfahren, mit dem er in seiner mathematischen Konstruktion den Näherungswert für die Konstante π fand. Auch hier grenzte er diesen Wert von zwei Seiten her ein. Dies zeigt, dass er seine Physik analytisch und experimentell nach einem methodischen Ansatz angeht. Wie Archimedes seine experimentellen Daten nutzt, um geometrische Konstruktionen zu optimieren, nutzt er auch die analytisch gewonnenen Einsichten in die Konstruktion von Näherungsverfahren für das experimentelle Vorgehen.

Dabei finden wir ihn in der Abhandlung über die Sandzahl in einer direkten Diskussion mit Positionen von Fachvertretern seiner Zeit. Er zitiert Referenzen – etwa für seine Schätzwerte – und weist somit auch aus, dass es zu seiner Zeit eine Fachdiskussion und eine Fachkorrespondenz zu Problemen der Naturforschung gab. Es ist bekannt, dass er in seinen Jahren in Syrakus mit einem weiteren Netz von Forschern, wie etwa den Kollegen in Alexandria, korrespondierte. Hier konturiert sich somit nicht nur seitens der Inhalte, sondern auch in den Strukturen das Bild einer Naturwissenschaft, das in den Problemstellungen, im Vorgehen und in der Organisationsform schon die prinzipiellen Momente der Situation der neuzeitlichen Naturforschung aufweist.

Dabei überbrückt Archimedes in seiner mathesis universalis dann auch die Dimensionen von Makro- und Mikrokosmos. Er zeigt, dass mit dem mathematischen Verfahren das Ganze der Welt – in den Dimensionen des unendlich Kleinen und den Dimensionen des Kosmos – zu erfahren ist. Die nach aristotelischem Muster organisierte Wissenschaft zeigt in Archimedes, was solch eine nach Prinzipien strukturierte Wissenssystematik vermag. Dass Archimedes dann in seiner Person den Bogen vom Theoretiker über den Experimentator bis hin zu dem erfolgreichen (Militär-)Techniker zu schlagen vermochte, setzt ihn dann schon in den Erinnerung nach wenigen Generationen ins Sagenhafte. Schon in den ersten Schritten dieser neuen Wissenschaft gerät sie zum Staunen der Welt. Entsprechend weit strahlt der Nachruhm des Archimedes aus, wenn auch in einer karikierenden Form. So zeigt dieser Nachruhm Archimedes auch, wie behutsam eine Kultur mit einem einmal gewonnenen Gefüge von Einsichten und Methoden umzugehen hat. Was sich letztlich von solchen Tradierungen in Lehrbüchern niederschreibt, ist ein Kondensat, das nur verfügbar bleibt, wenn es in der rechten Form interpretiert und umgesetzt wird. Fehlt es hier an Ausbildung, degeneriert die einmal gewonnene Höhe des Ausdrucks und der begrifflichen Finesse, so bleiben die Texte die diese Inhalte tradieren sollen, selbst wenn sie illustriert sind, verstellt . So geben uns die großen Mühen einer Rekonstruktion des Denkens dieses großen Naturforschers Zeugnis von signifikanten Brüchen der aus der Antike überkommenen wissenschaftlichen Traditionen. Die Tatsache, dass das Lehrbuch des Euklid über die Jahrhunderte bis in die Neuzeit durchgereicht wurde, sicherte nicht die differenzierten Einsichten des Archimedes, obwohl dieser seine Gedanken in der Sprache des Euklid niedergeschrieben hatte.

Dabei zeigt sich ein Denken, das einen Kosmos bemisst, und der methodisch reflektierten Messung vertraut, um anhand der in ihr erarbeiteten Darstellung von Größenverhältnissen zu entscheiden, ob der Kosmos heliooder geozentrisch organisiert sei. Diese Art des Zugehens auf die Phänomene der Natur ist in der römischen Naturgeschichte eines Plinius – wie wir noch sehen werden – nicht einmal mehr näherungsweise präsent. Mit Archimedes hatte sich die qualifizierende Darstellung von Formgrundverhältnissen zu einer quantifizierenden Forschung gewandelt. Hier wurden Größen über Verhältnisbestimmungen charakterisiert und in der Relation dieser Größen die Wirkursachen identifiziert, um den Zusammenhang einer Physis zu verstehen. Diese neue Physik beschreibt ihre Welt in Wirkreihen und Wirkungsvernetzungen, die sie mittels quantifizierender Verfahren darstellt. Hypothesen über die Zuordnung solcher Größen werden in ihr durch Messungen fundiert und in einer mathematischen Bearbeitung dieser Messgrößen gesichert.

  • [1] Archimedes, Über schwimmende Körper. In: Archimedes, Abhandlungen. Thun, Frankfurt 1996, S. 285
  • [2] Ebd
  • [3] Ebd., S. 286
  • [4] Ebd., S. 287
  • [5] Ebd
  • [6] Ebd, S. 290 f
  • [7] Ebd., S. 292
  • [8] Ebd, S. 293
  • [9] Ebd, S. 298
  • [10] Zitiert nach D. Hägermann, H. Schneider. Landbau und Handwerk. Propylen Technikgeschichte Bd. 1, Berlin 1997, S. 193
  • [11] Cicero, De republica 1, 22; Übersetzung zitiert nach D. Hägermann, H. Schneider. Propylen Technikgeschichte Bd. 1 Landbau und Handwerk. Berlin 1997, S. 207
  • [12] Archimedes, Die Sandzahl. In: Archimedes, Abhandlungen. Frankfurt 1996, S. 355
  • [13] Ebd., S. 349 f
  • [14] Ebd. S. 351
  • [15] Ebd, S. 352
 
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