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4.1.4.5 Das mathematische Denken der Schule von Alexandria

Apollonios von Perge (aus Pamphylien) (etwa 260–190 vor Chr.) studierte nur wenig später als Archimedes in Alexandria. In der Einleitung zum ersten Buch seines Werkes über die Kegelschnitte erwähnt er einen Besuch in Pergamon, wo er mit Eudemos von Rhodos zusammentraf. Pergamon, seinerzeit Teil des Ptolemäischen Reiches, war dann wohl auch über längere Zeit sein Wirkungsbereich. In seinem acht Bücher zählenden Hauptwerk Konica fasste er die Ergebnisse der antiken Kegelschnittlehre zusammen und schuf dabei eine einheitliche Lehre aller Kegelschnitte. Bedeutsam war deren Darstellung, weil sich in den Schnittfiguren von Kegeln mit Ebenen eine Reihe komplexerer geometrischer Körper – Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln – beschreiben und ins Maß setzen ließen (Abb. 4.40). Die Bücher I–IV sind griechisch, die Bücher V–VII (über Irrationalzahlen) sind arabisch erhalten; den Inhalt des achten Buches hat man zu rekonstruieren versucht.

Die Kegelschnittlehre des Apollonios von Perge systematisiert nicht nur die Darstellung der über Kegelschnitte zu identifizierenden geometrischen Objekte; sie setzt diese über die Darstellung verschiedener Kegelschnittprojektionen in Bezug zueinander. In dieser Darstellung, in der die entsprechenden Sätze über eine geometrische Umformung dieser komplexen Objekte ohne Maßzahlen, uns heute in den Koordinatensystemen oder den analytischen Beschreibungen entsprechender Körper zur Verfügung stehen, erlaubt es dennoch, Figuren wie Parabel und Hyperbel geometrisch zu charakterisieren und so mit den in ihren formulierten Funktionen geometrisch umzugehen.

Abb. 4.40 Kegelschnitte mit Darstellung von Parabel, Hyperbel und Ellipse

Apollonios von Perge erarbeitete zudem ein eigenes System zur Darstellung großer Zahlen, und verfasste weitere Schriften zu Teilproblemen der Geometrie – in denen dann etwa die Aufgabe beschrieben ist, einen Kreis zu konstruieren, der drei gegebene Kreise berühren soll. Nach Aussage des Eutokios, der einen Kommentar zu Archimedes geschrieben hatte, soll Apollonios von Perge den Näherungswert, den Archimedes für π ermittelt hatte, noch weiter eingeschränkt haben. Wie sicher sich diese konstruktive Geometrie war, zeigt auch die zweite große Leistung des Apollonios, die Begründung der sogenannten Epizykeltheorie.

Die Epizykeltheorie sucht die Himmelsmechanik, die nach dem Modell des Aristoteles in einem Gefüge von ineinandergreifenden und zum Teil gegenläufig rotierenden Kugeln aufgefasst war, in einem alternativen Modell zu beschreiben. Schon in der Darstellung des Modells des Eudoxos war deutlich geworden, dass die astronomische Beobachtung der Planeten nicht einfach Kreisbahnen zeigte, sondern Positionsveränderungen, die zwar über weite Strecken kreisförmig erscheinen, ab einer bestimmten Position sich dann aber gegenüber dem Fixsternhimmel zurückbewegen, sich dann nach einer gewissen Zeit in ihrer Bewegungsrichtung wieder umkehren und eine kreisförmige Bewegung fortzusetzen scheinen. Insgesamt zeichnet sich so eine Schleifenbewegung in der relativen Positionie- rung der Wandelsterne zur Erde ab. Diese Bewegungsbahn kommt zustande, da die Erde in ihrem Lauf um die Sonne – wie wir heute wissen – den Planetenbewegungen der inneren nach- und den Bewegungen der äußeren Planeten vorläuft. So wird dann im Jahreslauf der äußere Planet in seiner Position zur Sonne überholt, gegenüber den inneren Planeten bleibt die Erde dann aber zurück. Projizieren wir die so erhaltene relative Positionierung der Planeten im Jahreslauf auf den Sternenhimmel so, wie er von der Erde her erscheint, so ergibt sich daraus die benannte Schleifenbewegung in der Positionierung der Planeten zur Erde. Diese ist im Modell des Eudoxos durch eine entsprechende Verkopplung mehrerer zum Teil gegeneinander laufender Kristallsphären dargestellt. In der Kombination der einzelnen Planetenbahndarstellungen durch Aristoteles gewinnen wir dann ein zwar im Prinzip einsichtiges, im Sinne einer formalen Behandlung aber eher unhandliches Modell des Planetensystems. Apollonios von Perge entwickelte demgegenüber eine Alternative. Ihm zufolge waren diese Schleifenbewegungen durch die einfache Kombination von zwei im Prinzip einheitlichen Bewegungen darstellbar. Hierzu war nur die einfache Vorstellung der Kristallsphären aufzugeben, die Aristoteles für sein Modell zugrunde gelegt hatte. Apollonios zufolge bewegten sich die die Planeten auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt sich dann seinerseits um die Erde bewegte. Daraus resultiert in einer richtigen Abstimmung der beiden Drehbewegungen die entsprechende zu beobachtende Schleifenbahn. Nun nahm Apollonios zum Zweiten aber nicht eine einfache Kreisbahn um die Erde an, vielmehr fasste er zumindest die der Sonne als eine exzentrische auf. Ganz nach der Vorstellung des Platons waren für die vollkommenen Himmelskörper so also vollkommene Bewegungen, Kreisbahnen, zu kombinieren. Unregelmäßigkeiten der Sonnenbahn ließen sich dabei dann dadurch erklären, dass die Kreisbahn nicht die Erde im Mittelpunkt hatte, vielmehr diese zur einzelnen Kreisbahn exzentrisch gelagert war. Die Erde verblieb dabei im Mittelpunkt des Weltalls, nur waren die Kreisbahnen der Himmelskörper zumindest zum Teil hierzu exzentrisch gelagert. Damit konnte Apollonios konnte so die unterschiedlichen Laufzeiten der Sonne um die Erde erklären. Schließlich erscheint unter dieser Annahme die gleichförmige Bewegung der Sonne auf dem Exzenter, von der Erde aus gesehen, ungleichförmig. Im Perigäum bewegt sie sich schneller, im Apogäum ist die Bewegung langsamer. Hipparchos von Nikaia (etwa 190–120 v. Chr.) erklärte hiermit dann auch die unterschiedlichen Längen der Jahreszeiten. In seiner Weiterentwicklung des Ansatzes von Apollonios zeigte er dann auch, dass für eine Beschreibung der die verschiedenen Planetenbahnen jeweils eine Kombination von Exzenter- und Epizykeltheorie notwendig ist. Nur so waren die Positionsdaten, die die Astronomen erhoben hatten, schlüssig in den Theoriekontext des Apollonios einzubringen. Geschah dies aber, war dieses Modell dem aristotelischen überlegen. Welchen Standard die astronomischen Beobachtungen zur Zeit des Hipparchos erlangt hatten, zeigt seine Entdeckung der Präzession der Tagundnachtgleichen oder Äquinoktien. Das Äquinoktium ist der Zeitpunkt, an dem die Sonne auf ihrer jährlichen scheinbaren Bahn, der Ekliptik, den Himmelsäquator schneidet. Die Präzision gibt eine regelmäßige Verschiebung dieser Tagundnachtgleiche an, die – wie wir heute wissen – daraus resultiert, dass die zur Umlaufbahn der Erde um die Sonne schräg gestellte Achse der Erde eine Pendelbewegung um den Pol der Ekliptik ausführt. Um diese minimalen Positionsverschiebung bestimmen zu können, verglich Hipparchos Beobachtungen, die der Astronom Timocharis knapp 160 Jahre vor ihm angestellt hatte, mit seinen Daten. Hipparchos schloss daraus, dass ein Fixstern (der Stern Spika) dem herbstlichen Tagundnachtgleiche Punkt in diesem Zeitraum um 2° näher gerückt sei und beschrieb so eine derartig leichte Vorwärtsbewegung der Fixsternsphäre.

Deutlich wird darin nicht nur die Präzision des neuen Messens, sondern auch das Vertrauen in die Vermessungsqualitäten des Kollegen. Das zeigt uns – wie schon die Messbeschreibung des Archimedes – den hohen Status und den Standardisierungsgrad der Messungen im griechischen Kulturraum des 3. und 2. Jahrhunderts v. Chr. Hipparchos baute auf den Messungen der Kollegen auf, schließlich erlangte er seine Einsichten in die Bahnen der Planeten nur durch Vergleich mit den Messung der Generationen vor seiner Zeit. Diese Daten zwangen Hipparchos dann dazu, die einfache Bewegung der Himmelskörper um die Erde um einen zusätzliche Bewegungsdimension zu erweitern. Er beschrieb die Präzession – im astronomischen Sinne – eine Art von Schaukelbewegung der Fixsterne um die Erde. Diese eigentlich unerwartete Erweiterung seiner Vorstellung von der Bewegung der Himmelskörper basiert auf den Datensätzen, die ihm von seinen „Kollegen“ übermittelt und überliefert wurden. Sein Vertrauen in die Messpräzision – im einfachen Sinne – ist so groß, dass er, um diese Daten in sein Modell einzupassen, dieses um eine zusätzliche Bewegung erweitert.

Solch ein Vertrauen in die mathematische Darstellungsform leitete auch schon Apollonios von Perge, der mit seinem Epizykelsystem ein, mathematisch gesehen, sehr viel befriedigenderes Modell als die Hohlkugeln des Aristoteles entwarf. Noch heute kennen wir eine entsprechende uns selbstverständlich gewordene Konstruktion solch eines kosmologischen Modells. Das Epizykelmodell entspricht schließlich direkt den Zahnrädern unserer Uhrwerke, in denen über einen etwas anders gelagerten Mechanismus die Grundidee des Apollonios umgesetzt ist. Dort wird eine Planetenbewegung beschrieben, indem sich eine einfache Kreisbewegung mit einer zweiten ggf. auch dritten und vierten verkoppelt, um so die vermeintlichen Unregelmäßigleiten als eine Resultierende in der Überlagerung mehrerer gleichförmiger Bewegungen darzustellen: So sind die alten astronomischen Uhren, die ein geozentrisches Weltbild darstellen, im Prinzip Darstellungen von einfachen Kreisbewegungen mit sich überlagernden Kreisbewegungen, in denen dann die relative Position der einzelnen Planeten zu einer als ruhend angenommenen Erde dargestellt wird.[1] Seitens der geometrischen Konstruktion ist diese Kombination von sich überlagernden Kreisen dabei wesentlich eleganter als das System von ineinander gesetzten Schalen, das zudem die genaueren Messdaten, wie etwa eine exzentrische Positionierung der verschiedenen Bahnmittelpunkte von Sonne und Planeten, berücksichtigen musste. Es vertraut zum anderen damit aber auch der mathematischen Konstruktion, die nunmehr numerische Beziehungen abbildet und somit in ein geometrisches Modell umsetzt, das dann auch gar nicht mehr als eine reales physikalisch Maschine gedacht ist. Die mathematische Beschreibung an sich

Abb. 4.41 Schema, zusammenfassende Darstellung der gekoppelten Kreis – und Epizykelbewegung

ist hier zureichend. Sie ist in sich, d. h. mathematisch konsistent, und sie erlaubt es, die Messdaten in besserer Weise darzustellen. Die Weiterentwicklung des Modells von Apollonios zu Hipparchos zeigt genau dieses, die Adaptation des Grundmodells hin auf einen verbesserten Datenbestand. Die Epizykeltheorie ist ein mathematisches Modell, dem eine mathematische Realität zukommt, und das damit als Darstellung, die die relative Bewegung der Planeten zur Erde abbildet, Akzeptanz findet (Abb. 4.41). Die konkrete Mechanik hinter diesem Modell bleibt von dieser Konstruktion, die einen Datenraum in möglichst exakter Weise abbildet, unberührt. Insofern kann dann auch dieses Modell neben einer Vorstellung einer faktischen Positionierung der Planeten auf dann aber eben komplizierter zu denkende Kristallsphären übertragen werden. Das Modell des Apollonios war als ein Darstellungsverfahren zur Beschreibung der Planetenbahnen und nicht als die Darstellung der natürlichen Bewegungsabläufe verstanden. Diese Differenzierung ist schon Apollonios möglich und zeigt uns, dass bis über Hipparchos hinaus das Darstellungs- und Verständnisniveau einer archimedischen Physik im griechischen Kulturraum nicht nur etabliert blieb, sondern zunächst auch weiter ausgebaut wurde.

Natürlich blieb, das zeigte ja schon Archimedes, dieses mathematische Denken nicht im abstrakten Bereich einer bloßen Analysis stehen, sondern setzte sich gerade auch in der Antike in einer ganzen Reihe von Verfahren und Maschinen um, die sich dann regelrecht als eine praktische Mathematik darstellen lassen. Heron von Alexandria, der in der zweiten Hälfte des ersten nachchristlichen Jahrhunderts wirkte, ist solch ein praktischer Mathematiker, der sich als Mechaniker immer wieder auch direkt auf Archimedes berief. In seinen zum Teil nur arabisch überlieferten Werken – dem bedeutendsten auf uns

Abb. 4.42 Schematische Darstellung eines Wasserautomaten, der bei Einwurf einer Münze eine definierte Menge an Wasser abgibt

überkommenen Bestand des technischen Schrifttums der Antike – verband er Wissenschaft und Praxis. Das Rüstzeug für den Ingenieur bot er lehrbuchartig mit (erhaltenen) Illustrationen und Rechenbeispielen und gab Anweisungen für den Apparatebau. Heron schuf damit – gleichsam als Antipode zu Euklid – die im Weiteren verbindlich werdende Sammlung und lehrbuchartige Verarbeitung des ihm vorliegenden Materials praktischer Umsetzungen der mathematischen Physik, wie wir sie in ersten Bespielen bei Archimedes kennengelernt hatten. Analog den Elementen des Euklid haben seine Darstellungen seinerzeit schon vorliegende Sammlungen, wie die des Ktesibios oder des Philon von Byzanz, nahezu gänzlich verdrängt. Selbst die entsprechende Sammlung des Archimedes trat in der weiteren Rezeption hinter den Zusammenstellungen Herons zurück. Dabei wurden seine technisch/praktischen Schriften in der Folge der Abschriften bis zum Ausgang der Antike immer wieder mit Erweiterungen und Kommentierung durchsetzt, so dass es zum Teil nicht einfach ist, aus den vorliegenden Textbeständen auf die Urschriften des Heron zurückzuschließen. Dabei umfassten seine Arbeiten den Gesamtbestand des angewandt mathematischen Wissens seiner Zeit, und mit diesem dann auch die hierfür notwendigen geometrischen Darstellungs- und Ableitungspraktiken. So werden Beispiele zur Berechnung von Flächen und Körpern gegeben, die mechanischen Bücher beschrieben verschiedene Typen von Maschinen. Daneben gibt es dann auch Spezialstudien, wie ein Buch über Wasseruhren. All diese Werke nennt Heron selbst mehrmals Einführungen. Sie tragen also den Charakter von Lehrbüchern für Anfänger und Nichtfachleute und sind im Weiteren dann auch als solche genutzt worden. So ist Heron denn auch bestrebt, seine Darstellung möglichst praxisnah und von theoretischen Überlegungen möglichst frei zu halten. Fachausdrücke werden ausführlich erklärt und die beschriebenen Geräte in ausführlichen Anleitungen dargestellt. Ansatzpunkt für die Auswahl des Stoffes waren der praktische Nutzen und die Verwendbarkeit einzelner Konstruktionen (Abb. 4.42–4.44).

Dabei verraten uns die Titel einzelner Werke – wie Vermessungskunde, Geschützkunde, Mechanik – im Sinne der Beschreibung und mathematischen Theorie der einfachen Maschinen: Hebel, schiefe Ebene, Keil, Winde und Flaschenzug – die schon benannte Schrift

Abb. 4.43 Darstellung einer der seinerzeit berühmten Zwitschermaschinen des Heron.

Das einströmende Wasser verdrängt Luft aus den unter den Vögeln befindlichen luftdichten Kästen. Die Luft kann nur über die Röhren entweichen, die durch den modellierten Vogelkörper führen, und hier mittels Stimmzungen Laute erklingen lassen

über Wasseruhren, Darstellungen zur Konstruktion von Gewölben und Automaten sowie die pneumatica, in der spezielle Luftdruck erzeugende und nutzende Maschinen beschrieben sind, die Spannweite dieser angewandten Mathematik.

Die Mathematik ist hier in ihrer Anwendung zu einer breit rezipierten Kulturtechnik geworden. Die Grundlage für die Konstruktion dieser Maschinen ist Gemeingut der antiken Techniker und Konstrukteure, und die Maschinen zeigen eine vielfältige Anwendung dieser Verfahren im Alltag, beim Militär und in der Ökonomie. Dabei zeigen seine metrica, drei Bücher über die Vermessungslehre, die geometrica, ein Buch über Flächenberechnungen und eine Darstellung der Volumenberechnungen, stereometrica, den hohen Standard solcher Anwendungsverfahren in der Antike. Herons Schriften erfuhren denn auch eine umfassende Verbreitung. Sie werden zum Standard auch im römischen Vermessungs- und Militärwesen. So beruhen die Feldmessmethoden der römische Agrimensoren, die im Tross des römischen Heeres mitzogen und die neu eroberten Provinzen kartierten, auf den Methoden Herons. Dabei sind die mathematischen Schriften Herons methodisch ganz im Sinne der euklidschen aufgebaut. Sie beginnen mit Definitionen, und schließen dann Voraussetzungen, Sätze und Beweise an. In einzelnen Darstellungen, etwa in der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks, geht er über Euklid auch hinaus. In der Behandlung der Geschützkaliber nutzt er Rechenverfahren mit der dritten Wurzel, wie überhaupt in seinen Arbeiten die neuen Methoden zu einer genäherten Berechnung von Wurzeln breiten Raum erhalten.

Über Heron und über Euklid bleibt das mathematische Wissen der hellenistischen Periode – zumindest in seiner Lehrbuchfassung – bis in die späte römische Antike verfügbar.

Abb. 4.44 Der automatische Türöffner nach Heron – für den rituellen Gebrauch: das Opferfeuer erhitzt den darunterliegenden Druckbehälter, damit drückt dieser bei Erwärmung Wasser in den frei hängenden Eimer, dieser wird mit zunehmendem Flüssigkeitsvolumen schwerer und setzt dann die Seilrollen in Bewegung, die die Tür öffnen

Die theoretische Mathematik des Archimedes ist hier schon Sage, Platon eine über den Neuplatonismus nun auch für das christliche Denken neu verfügbare Autorität. Die logischen Schriften des Aristoteles bleiben über das Bildungsprogramm, wie es Cicero auslobt und das Boëthius auch über den engeren Rahmen der Antike hinaus verbindlich macht, präsent. So haben wir hier in dem Korpus dieser wenigen Autoren in etwa auch das umrissen, was sich als Idee einer analytischen Naturforschung auch über die Antike hinaus dem abendländischen Denken tradiert.

  • [1] Ein Beispiel für solch eine Uhr findet sich in St. Marien in Rostock, vgl: M. Schukowski, Die Astronomische Uhr in St. Marien zu Rostock. Königsstein 1992
 
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