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Jakobsstab

Der Jakobsstab ist ein einfaches Instrument zur Winkelmessung von entfernten Objekten. Hierzu wird über einen längeren Grundstab ein nach beiden Seiten exakt gleiches Querholz geführt, das über dem Grundstab zu verschieben ist. Setzt man den Grundstab direkt unter dem Auge an, so kann man über die Konstruktion hinweg zwei Objekte anvisieren (Abb. 4.46–4.47). Dazu kann nun das Querholz so verschoben werden, dass seine jeweiligen Kanten beide eben verdecken. Damit kann der Winkel zwischen den beiden Kanten und dem Visierpunkt bestimmt werden, was dann auch die Winkeldistanz der beiden anvisierten Objekte bestimmt. Ggf. trägt solch ein Jakobsstab dann auch mehrere Querhölzer, um mit einem Gerät kleine und große Winkelabstände messen zu können. Ein entsprechendes Visiergerät ist eine leichte Variation des schon beschriebenen Gnomons, und ist auch ähnlich einzusetzen. Der Gebrauch eines Jakobsstabes es ist für Hipparchos bezeugt, hat aber wohl einen sehr viel älteren Ursprung.

Der Name dieses Gerätes wurde diesem im Mittelalter verliehen, da es dem mit einem Kreuz geschmückten Stab eines Jakobspilgers, eines Pilgers, der nach Santiago de Compostella pilgerte, ähnelte. Da diese Pilgerreise als Ersatz für eine Pilgerfahrt nach Jerusalem anerkannt war, gewann sie im Mittelalter große Bedeutung. Emblem des Pilgers waren die Schalen der Pecten, der darauf dann so genannten Jakobsmuscheln.

Einfacher ist eine entsprechende Beobachtung mittels des Jakobsstabes auszuführen. Dies ist eine Visiereinrichtung, die es erlaubt, Winkel zu vermessen. Solch ein Gerät – so schreibt sehr viel später Vitruv – habe aber erst Aristarch von Samos nach 300 vor Chr. konstruiert. Nach Kleomedes hat Eratosthenes es zur Messung des Erdumfangs benutzt, um aus dem Sonnenstand den Breitenunterschied zwischen Alexandria und Syene (s. u.) zu bestimmen.

Aristarch von Samos (etwa um 310–230 vor Chr.) war ein Schüler des Straton von Lampsakos, der als Nachfolger des Th hrast etwa von 287 bis 269 das Aristotelische Lykeion leitete. Straton hatte ein eigenes naturphilosophisches System entworfen, in dem die Natur rein innerweltlich erklärt ist und auch der Geist des Menschen rein biologisch gefasst wird. Die Idee eines fünften Elementes im Supralunarraum, die Aristoteles favorisierte, wird von ihm verworfen. Die Gestirne bestanden für ihn einfach aus Feuer. Zudem

Abb. 4.46 Handhabung des Jakobstabes, die Visierline sollte allerdings direkt an das

Auge gesetzt werden

Abb. 4.47 Darstellung des Gebrauchs des Jakobsstabes

gab es – ihm zufolge und in direktem Gegensatz zur Lehre des Aristoteles – einen leeren Raum. Aristarch, das diskutierte – wie aufgeführt – auch Archimedes, setzte nun auch die Erde aus dem Mittelpunkt des Kosmos in eine Umlaufbahn um die Sonne, da ihm zufolge dieser größte Himmelskörper den Mittelpunkt des Kosmos bilde.

Gegen diese Vorstellung bestand nun der Einwand, und genau in dieser Hinsicht argumentierte Archimedes, dass der Kosmos im Vergleich zu der Erde eine nicht ins Unermessliche führende, sondern immer noch überschaubare Gesamtausdehnung haben müsse. Gälte dies, dann wäre allerdings zu erwarten, dass eine Erdbewegung um die Sonne, d. h. eine

Abb. 4.48 Zum Abstandsverhältnis von Erde, Mond und Sonne, vgl. Text für Details

Kreisbewegung unter der Fixsternkugel, auch eine Verschiebung der Fixsternpositionen bewirken müsste. Nur dann, wenn die Fixsterne unermesslich weit von der Erdbahn entfernt seien, würde dies anders sein. Dann verhielte sich, wie dies Aristarch schreibt, die Erdbahn im Verhältnis zur Fixsternsphäre wie ein Punkt. Genau gegen diesen Satz hatte Archimedes polemisiert. Wie er formulierte, könne man solche zwei Größen ja gar nicht in ein Verhältnis setzen. Was dann auch der Hintergrund der Aussage des Aristarch sei, der schlicht schreibt, ab einer bestimmten Größe sind die Relationsunterschiede zu groß, um die Bewegung der Erde unter dem Fixsternhimmel als eine irgendwie signifikante Größe erfassen zu können. Demnach ist für die Frage, ob ein heliozentrisches Weltbild eine plausible Darstellung der realen kosmischen Verhältnisse sein könne, die Frage der Dimension des Kosmos entscheidend. Aristarch publizierte denn auch eine Schrift Über die Größen und Entfernungen der Sonne und des Mondes. Er kommt hier gegenüber Archimedes zu einer vergleichsweise kleinen Ausdehnung der Dimensionen dieses Dreiergefüges. Für die Frage des heliozentrischen Weltbildes entscheidend ist dann aber die relative Größe dieser Bahnen zu den Dimensionen des Fixsternhimmels. Von Aristarch ist hierzu nichts überliefert. In seinem Buch über die Sandzahl argumentiert Archimedes hierbei aber für ein vergleichsweise kleinräumiges Universum. Im Resultat ist dann die Position der Erde im Mittelpunkt des Alls plausibel.

In seiner Schrift über die Entfernungen und Größen von Sonne und Mond extrapoliert Aristarch die gängigen Landvermessungsverfahren in die Dimensionen des Alls. Dazu hatte er zunächst einmal zwei Winkel zu bestimmen, unter denen er zwei Himmelsobjekte zu seiner Beobachtungsposition positioniert. Dazu bemisst er die relativen Positionen von Erde, Mond und Sonne wie folgt: Bei Halbmond steht der Mond im rechten Winkel zu Sonne und Erde. Entsprechend ist das Dreieck Erde – Mond – Sonne ein rechtwinkliges. Nun kann er in dieser Position die Sonne anvisieren und findet hierfür einen Winkel zwischen Erde, Mond und Sonne von 87°. Für eine adäquate Vermessung benötigt er dann eine Streckenlänge; hier kann er, da ihm diese fehlt, diese Länge nur über Näherungsverfahren zu erschließen suchen (Abb. 4.48). So kommt er in seiner Darstellung denn auch zu sehr großen Abweichungen, er berechnet für die Distanz von Erde und Sonne das 19fache der Distanz Erde und Mond (wir können heute das 370fache annehmen). Und er schätzt den Sonnendurchmesser auf das 6,75fache des Durchmessers der Erde. Wir wissen, dass der Durchmesser 109mal so groß ist.

Die Dimensionsvorstellungen – das zeigte auch schon die Schrift von Archimedes – bewegen sich so in vergleichsweise kleinräumigen Vorstellungsdimensionen. Nach Archimedes stand dann auch entsprechend die Fixsternsphäre in überschaubarer Distanz zu den sich umeinander bewegenden Himmelskörpern. Entsprechend problematisch war es dann auch für Aristarch, dessen Schrift zum heliozentrischen Weltbild uns nur durch die Kritik des Archimedes bekannt ist, das Fehlen der zu folgernden Versetzung der Position der Fixsterne über den Verlauf des Jahres zu erklären. Aristarch schrieb zudem über optische Probleme, verbesserte den Gnomon und befasste sich mit der Sehnenrechnung.

Eratosthenes von Kyrene, (282–um 202 vor Chr.), mit dem auch Archimedes im Briefkontakt stand, war einer der vielseitigsten Gelehrten der hellenistischen Epoche. Erste Erfahrungen gewann er als Schüler des hellenistischen Dichters Kallimachos. Er studierte in Athen bei Zenon von Kition und Ariston von Chios und wurde dann Mitglied der Akademie. 246 wurde er – wie schon erwähnt – von Ptolemaios III als Erzieher des Thronfolgers und Direktor der Bibliothek nach Alexandria berufen. Unter stoischem Einfluss verfasste er in Athen und dann noch in Alexandria Schriften über Güter und Übel, über Reichtum und Armut und über die Schmerzlosigkeit – als das höchste zu erlangende Gut. Von ihm erschienen Dichtungen, die unter Nutzung mythologischer Formen die Rückkehr der Seele in die Himmelssphäre darstellen. Als Bibliothekar arbeitete er zur Literaturgeschichte und Grammatik. Neben diesen Schriften bedeutsam sind vor allem seine historischen und geographischen Arbeiten. Wobei er in beiden Bereichen die Vielfalt der Erscheinungen in ihrer mathematisch zu erfassenden Gesetzmäßigkeit darzustellen suchte. Seinen Chronographien, von denen alle späteren Zeitrechnungen abhängen, legte Eratosthenes als Gerüst die Olympiadenfolge zugrunde und schlug als das Maß, mit dem der Abstand zwischen zwei nicht näher einzugrenzenden Daten zumindest zu schätzen sei, die Generation, die er mit 33 1/3 Jahren ansetzte, vor. Dazu kam eine Datierung nach der Blütezeit einer Epoche und durch die Feststellung von Zeitgenossen. Dieser Darstellung war eine Zeittafel beigegeben, die hauptsächlich literarische und politische Ereignisse notierte. In ihr legte er die im Weiteren verbindliche Chronologie der archaischen und klassischen Geschichte Griechenlands vor. Dazu veröffentlichte er ein Verzeichnis der Olympiasieger.

Seine in drei Büchern erschienene Geographika begründete die mathematische Geographie. Darunter verstand er die Vermessung der Erdkugel, über die er ein Koordinatennetz von Meridianen und Kreisumfängen legte und so die Erdoberfläche in Vierecke einteilte, in die er dann eine Erdkarte einzutragen suchte. Voraussetzung hierfür war es, den Erdumfang zu bestimmen und zumindest für einzelne Orte durch astronomische Beobachtung deren Koordinaten festzulegen. Eratosthenes verwarf dabei die bisherigen, letztlich auf Homer zurückführenden Weltbilder und stützte sich demgegenüber auf Anaximandros, Hekataios und die Berichte der Begleiter des Zuges von Alexander dem Großen.

Aus den Angaben, die Strabo über ihn gibt, ist der Aufbau seiner Geographika zu rekonstruieren. In den ersten beiden Büchern behandelte EratosthenesStrabo zufolge – die Veränderungen der Erdoberfläche, beschrieb de Inselwelt des östlichen Mittelmeeres und gab Angaben über Länge und Breite der entsprechenden Orte. Dazu führte Erastosthenes

ein Koordinatennetz aus astronomisch und klimatologisch bestimmten Parallelkreisen und Meridianen ein, die es ihm erlaubten, seine Positionsdaten auf einer Weltkarte anzutragen und so eine die Topographie der Erde darzustellen. Die Kartographie betrachtete Eratosthenes als die eigentliche Aufgabe des Geographen.

Dabei geht er wie folgt vor. Einzelne, wichtige Punkte bestimmt er mittels seiner auf Parallelkreise und Meridiane bezogenen Positionsdaten. In dieses Raster fester Positionen schrieb er nun vorliegende Messungen ein. Dieses System der sogenannten Sphragiden (Abgemessenes Grundstück) oder Plinthia (Rechteck) erlaubt es ihm, aus vorhandenen Straßen- und Küstenvermessungen, die er kompilierte, nunmehr, ausgehend von seinen im Koordinatennetz festgelegten Punkten, die Vermessungen der Landschaften in seine Karte einzutragen. Hierzu errechnete er aus den vorliegenden Vermessungen die Länge und Breite jedes Landes oder gegebenenfalls auch eines Länderkomplexes. Diese Daten erlaubten es ihm nun, die Konturen der Länder in einfachen geometrischen Formen zu umreißen und sie so in sein Koordinatensystem einzutragen. Damit waren dann die Grundlagen für eine umfassende, ggf. in Teilbereichen noch detaillierte Kartographie der Erde gegeben.

Voraussetzung seiner Koordinatendarstellung war dabei allerdings eine genaue Kenntnis des Erdumfangs. Eratosthenes konnte hierzu einen vergleichsweise genauen Wert berechnen. Ausgangspunkt dieser Bestimmung war die Bestimmung des Meridians zweier Orte. Er wählte nun mit Alexandria und Syene, die ungefähr auf dem gleichen Meridian liegen, zwei Beobachtungsstationen aus (Abb. 4.49). Nun konnte er Folgendes beobachten: Wenn die Sonne in der Stadt Syene im Zenit steht, bilden ihre Strahlen in Alexandria mit der Senkrechten einen Winkel von 1/50 des Kreisumfangs. Daraus schloss Eratosthenes, dass der Erdumfang 50 mal so groß ist wie die Entfernung von Syene und Alexandria. Diese entsprach 5000 Stadien. Also berechnet Eratosthenes einen Wert von 50 × 5000, das sind 250.000 Stadien, den er anscheinend noch auf 252.000 Stadien korrigiert hat. Berechnet man mit Plinius den Wert von 40 Stadien, als ein σ χoινoζ, was 12.000 Ellen zu je 0,525 m entspräche, so gelangen wir damit auf den recht guten Wert von 36.690 km für den Umfang der Erde.

Als Mathematiker soll Eratosthenes die Gleichung a : x = x : y = y : b durch Einschiebung gelöst, sowie eine Methode zur Aussonderung der Primzahlen aus der Folge der natürlichen Zahlen gefunden haben (das sogenannte Sieb des Eratosthenes). Bekannt ist auch seine Erfindung eines mechanischen Verfahrens zur Bestimmung zweier geometrischer Mittel, das sogenannte Mesolab. Dies erlaubte es, die Werte zur Verdoppelung eines Würfels direkt am Gerät abzulesen. Von Eratosthenes sind Gedichte über Sternbilder und Sternsagen (Katasterismen) sowie Epyllien (Hermes, Anterinys, Erigone) zumindest in Fragmenten erhalten.[1]

Hipparchos von Nikaia, um 190–125 v. Chr., war einer der bedeutendsten Astronomen der Antike, der entgegen der bislang vorwiegend theoretisch-spekulativ betriebenen griechischen Astronomie das Schwergewicht auf eine exakte, messtechnisch untersetzte Beobachtung legte und dabei viel Material aus Babylon verwendete. Bis auf ein Frühwerk, einen

Karte 4.8 Weltkarten nach Homer, Ptolemäus und Eratosthenes in einer historischen Darstellung von 1828

Kommentar zu einem astronomischen Lehrgedicht des Aratos von Soloi sind seine Arbeiten selbst alle verloren gegangen, so dass seine wichtigsten Arbeiten nur über den Bericht des Ptolemaios verfügbar sind, der auf den Arbeiten von Hipparchos aufbaute. Hipparchos legte für seine Berechnungen die Epizykeltheorie des Apollonios von Perge zugrunde. Wobei er zeigte, dass für die Planetenbahnen nur durch eine Kombination von Exzenter- und Epizykeltheorie eine befriedigende Darstellung von deren Bahncharakteristik möglich ist. Er berechnete die sich in der unterschiedlichen Länge der Jahreszeiten zeigende Anomalie der Sonnenbewegung und führte sie auf eine exzentrische Bahn der Sonne um die Erde zurück, bestimmte mit großer Genauigkeit die Mond- und ungenau die Sonnenentfernung. Hipparchos verbesserte die Methode des Eratosthenes, geographische Standorte mit Hilfe einer Zuordnung von Kreisumfang und Meridian zu bestimmen, und ermittelte so über die Darstellung der Sternenpositionen geographische Breiten und Längen. Hipparchos stellte außerdem eine Tabelle mit trigonometrischen Sehnen zusammen, die die Grundlage für die moderne Trigonometrie bilden. 134 vor Chr. beobachtete er einen neuen, ihm bis-

Abb. 4.49 Die Darstellung des Erdumfangs durch Eratosthenes. Alexandria und Syene liegen in etwa auf gleichem Meridian, die Entfernung von Alexandria und Syene = 5000 Stadien; am Tag der Sommersonnenwende steht die Sonne in Syene mittags im Zenit. Der Schattenstab wirft keinen Schatten, der Boden eines tiefen Brunnens ist beleuchtet; zur gleichen Zeit wird in Alexandria mit dem Gnomon mit Halbkugelschale die Länge des Schattens gemessen, der Winkel AS′ entspricht 1/50 des Kreisumfangs. Also entspricht die Entfernung von Alexandria und Syene 1/50 des Erdumfangs, demnach entspricht der Erdumfang 50 × 5000

her unbekannten Stern. Dies veranlasste ihn, einen Sternkatalog anzulegen, der dann auch von Ptolemaios übernommen wurde. Hierin katalogisierte und berechnete er die Helligkeit von über 800 Sternen und zeichnete sie auf einer Karte ein. Dabei ging Hipparchos mit äußerster Genauigkeit vor. Beim Vergleich seiner eigenen Himmelsstudien mit denen früherer (auch babylonischer) Astronomen, wie etwa des Timocharis, entdeckte Hipparchos – wie schon beschrieben – die Präzession der Äquinoktien. Seine Berechnung der Länge des Jahres wich nur 6,5 Minuten von modernen Messungen ab.

Armillarsphдre

Ein astronomisches Gerдt zur Darstellung der Haupthimmelskreise der Astronomie

–Horizont, Ekliptik, Дquator, die durch konzentrische, und zumTeil bewegliche

Ringe veranschaulicht werden. Als einfaches Demonstrationsgerдt wurde sie schon

in derAkademie des Platon benutzt. BeiHipparch und Ptolemaios wurde sie zu einem Beobachtungsgerдt ausgebaut, Ptolemaios spricht vom Astrolabium. Dies geschah, indem die drehbaren Ringe je mit einem Diopter (Abb. 4.50) und Gradeinteilung versehen wurden. So waren dann ьber dieses Gerдt Himmelskцrper anzuvisieren und dabei auf eingestellte Positionen der Ekliptik oder des Дquators zu beziehen. In der einfachsten Form bestand die Armillarsphдre aus einem fest montierten, mit Gradeinteilung versehenen Bronzering, der entweder nach der Ebene des Himmelsдquators oder der Medianlinie ausgerichtet war. Ьber sie waren dann Sterne anzuvisieren und zu kartieren. Durch Kombination verschiedener dieser Ringe, jeweils nach den Vorstellungen ьber die Himmelsmechanik zusammengesetzt, konnte dieses Gerдt weiter ausgebaut werden. Ptolemaios Claudius beschreibt eine Armillarsphдre, die aus sieben konzentrischen Ringen bestand und in der nun eine Position eines Gestirns, bezogen auf die Grundkoordinaten der Astronomie, abzulesen war (Abb. 4.51).

Abb. 4.50 Darstellung der Dioptra, eines in der Astrono- mie und in der Vermessung eingesetzten Instrumentes. Die eigentliche Dioptra ist die auf der Kreisscheibe aufliegende Visiereinrichtung, diese konnte nun auf der Kreisscheibe verschoben werden. Auf dieser war dann die Winkeldifferenz zwischen zwei Messungen abzulesen

  • [1] G. A. Keller, Eratosthenes und die alexandrinische Sterndichtung, Zürich 1946
 
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